数検3級 二次方程式の解の公式—係数の符号を拾って根号を含む解を整える練習｜武蔵野個別指導塾

負の係数の二乗から根号の整理、分子全体の約分まで、途中式をたどって使う解の公式です。

よくあるのは、受検者が負の係数を公式に入れ、二乗した結果まで負にしてしまう場面です。たとえば係数が -4 なら、二乗するのは括弧を含めた (-4)² で、値は 16 です。符号を含めて係数を読み、代入後は計算のまとまりを崩さずに進めると、解までの道筋を確認しやすくなります。ここでは二次方程式の解の公式を使い、根号を含む答えの整理と代入による検算まで扱います。

係数を拾う前に見る形

解の公式を使う問題には、いくつかの入口があります。まず、右辺が 0 の式から係数をそのまま拾う型です。x の前にある負号を係数の一部として読み、公式の中の引き算と区別します。数だけを先に書くと、符号を戻す段階で迷いやすくなります。

次に、右辺に数や文字の項が残っていて、左辺に移してから使う型があります。移項の前後では係数が変わるので、先に右辺を 0 にして同じ次数の項をまとめます。x² の項、x の項、文字のない項という順で並べると、空いている項も見つけやすくなります。

もう一つは、公式に代入した後の根号や分数を整える型です。根号の中から平方数を取り出し、分子のそれぞれの項と分母に共通する数があれば約分します。正と負の両方を表す ± を保ったまま整理できるかが、答えを読みやすくする分かれ目です。これらは練習用の出方であり、特定の出題頻度を示すものではありません。

標準形と公式の部品

二次方程式を ax² + bx + c = 0 の形にします。a、b、c はそれぞれ x² の係数、x の係数、文字のない項を表し、a は 0 ではありません。この形を標準形と呼びます。x の項がなければ b = 0、文字のない項がなければ c = 0 と読みます。係数は項についている符号まで含めた数です。

このとき、解の公式は次のように書けます。分数の横書きでは、分子と分母を括弧で囲み、分数の範囲をはっきりさせます。

x = (-b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

図1のように、3つの係数を取り出してから、それぞれの置き場所へ運びます。b は分子の -b と根号の中の b² の両方に現れます。同じ b でも、前者は符号を反対にし、後者は b 全体を二乗します。a は根号の中と分母に、c は根号の中に入ります。

図1で示すように、b が負なら -b は正になり、b² も正です。ただし、その2つは別々の計算です。-b を求めた結果を b² に再び代入しているわけではありません。たとえば b = -4 のとき、-b = -(-4) = 4、b² = (-4)² = 16 です。負の数の積は正になるため、二乗の結果に負号を残さないようにします。

± は、同じ式から足す場合と引く場合の2つを作る記号です。根号の中が正なら2つの値を求め、根号の中が 0 なら足しても引いても同じ値になります。根号の中が負なら、中学校で扱う実数の範囲にはその平方根がないので、実数の解はありません。根号の中の計算を終える前に解の個数を決めず、まず値を正確に出します。

公式を丸暗記するだけでなく、なぜこの形で使えるかも見ておきます。標準形の両辺を a で割って x² + (b/a)x = -c/a とし、両辺に (b/(2a))² を加えると、左辺は (x + b/(2a))² になります。右辺を通分すると (b² − 4ac)/(4a²) です。両辺の平方根を考え、x について整理すると、足す場合と引く場合を合わせて上の公式になります。a が負の場合も、± の2つを合わせれば同じ解の組が得られます。

計算の途中で迷ったら

公式の根号の中は、b の二乗と 4ac の差です。先に b² と 4ac を別々に計算し、それぞれの値を括弧付きで書けば、積が負になったときの引き算を確かめられます。たとえば a = -1、b = 2、c = 3 なら、b² は 4、4ac は -12 です。差は 4 − (-12) なので 16 です。a が負なら分母の 2a も負になることを忘れず、分子と分母の符号を合わせて整理します。

項が欠けた式では、並んでいる数を順番に a、b、c に当てはめると位置がずれます。たとえば 5x² − 7 = 0 なら、x の項を 0x と考え、a = 5、b = 0、c = -7 と読みます。この式は平方根を使っても解けますが、公式に入れる練習では 0 を省かず書くと、二乗する場所と文字のない項の場所を区別できます。

根号を整えるときは、中の数を平方数と別の整数の積に分けます。たとえば √72 は √(36 × 2) = 6√2 です。外へ出た 6 は根号全体に掛かる数なので、足し引きの相手と勝手にまとめません。根号を含む項と含まない項は種類が違い、2 + √2 を 3√2 とすることはできません。

また、分数を簡単にする操作は分子全体に対して行います。たとえば (6 + 4√2) / 8 は分子を 2(3 + 2√2) として (3 + 2√2) / 4 です。8 と 6 に共通する数だけを見ず、4√2 の係数にも同じ数が共通するかを調べます。途中の形と整理後の形が同じ値か、分子の括弧を展開して戻す方法でも確認できます。

解が2つあるとき、片方を代入して合ったことはもう片方の検算にはなりません。± を使ってまとめて計算するときも、根号を含む部分を正と負のどちらにも置けることを明示します。計算した値をもとの等式に戻すまでが、解を求める一連の手順です。

基本例題：負の係数を括弧に入れる

次の方程式を解き、根号を簡単にした形で答えてください。

2x² − 4x − 1 = 0

右辺はすでに 0 なので、a = 2、b = -4、c = -1 です。図2のように、符号を含めた係数をいったん並べ、その後で公式へ入れます。特に b の二乗と、4ac の積を別々のまとまりとして計算します。

式を1行ずつ進めます。

x = (-(-4) ± √((-4)² − 4 × 2 × (-1))) / (2 × 2)

x = (4 ± √(16 + 8)) / 4

x = (4 ± √24) / 4

x = (4 ± 2√6) / 4

x = (2 ± √6) / 2

最初の行では -4 と -1 を括弧に入れました。4 × 2 × (-1) は -8 で、その積を引くため根号の中は 16 + 8 です。√24 は √(4 × 6) なので 2√6 とできます。最後は分子の 4 と 2√6、分母の 4 をそれぞれ 2 で割りました。図2の最後の式は、足す場合と引く場合をまとめた答えです。

分子の一部だけを割ることはできません。たとえば (4 + 2√6) / 4 の 4 同士だけを消すと、残りの項に対する分母の働きが失われます。分子全体を 2(2 + √6) と見て、分母の 4 と共通する 2 を消すと、正しい約分の意味が見えます。引く場合も同じように 2(2 − √6) とできます。

検算では t = ±√6 と置き、2つをまとめて確かめます。x = (2 + t) / 2 とすると t² = 6 です。元の左辺は 2x² − 4x − 1 = (4 + 4t + t²)/2 − (4 + 2t) − 1 = (t² − 6)/2 = 0 です。t が正でも負でも成り立つので、2つの値はどちらも元の方程式を満たします。

移項してから根号を整える例

次の方程式を解き、根号を簡単にした形で答えてください。

3x² + 6x = 1

右辺を 0 にするため、両辺から 1 を引きます。3x² + 6x − 1 = 0 となるので、a = 3、b = 6、c = -1 です。右辺の 1 をそのまま c と読むと、別の方程式に公式を使うことになります。係数を書き出すのは移項の後です。

x = (-6 ± √(6² − 4 × 3 × (-1))) / (2 × 3)

x = (-6 ± √(36 + 12)) / 6

x = (-6 ± √48) / 6

x = (-6 ± 4√3) / 6

x = (-3 ± 2√3) / 3

√48 は √(16 × 3) なので 4√3 です。分子の -6 と 4√3、分母の 6 はいずれも 2 で割れますが、さらに 3 で割ることはできません。根号の前の係数 2 が 3 の倍数ではないためです。± の両側の項を見て共通因数を判断します。

別の進み方として、最初に両辺を 3 で割ってから公式を使うこともできます。ただし係数に分数が生じるため、この式では整数の係数のまま代入すると計算を追いやすくなります。どちらを選んでも同じ解に届く必要があります。分母を消そうとして、一部の項だけに 3 を掛け直すことのないよう注意します。

元の式に戻して確認します。u = ±2√3、x = (-3 + u)/3 と置くと u² = 12 です。左辺の 3x² + 6x は (9 − 6u + u²)/3 + (-6 + 2u) = (u² − 9)/3 = 1 となります。右辺の 1 に戻るので、足す場合と引く場合の両方が元の条件を満たします。

誤答のどこで符号が変わったか

基本例題の b = -4 を入れる際、(-4)² を -16 とする誤りを考えます。すると根号の中を -16 + 8 = -8 としてしまい、実数の解がないという結論に進んでしまいます。誤りは平方根を取る直前ではなく、その前の二乗にあります。図3のように、負号が括弧の内側か外側かを見比べると、違いを追えます。

図3の (-4)² は (-4) × (-4) で 16 です。一方、括弧のない -4² は、4 を二乗した後に負号を付けるので -16 です。見た目が似ていても二乗する範囲が異なります。公式の b² に負の b を代入するときは、前者の括弧を必ず書きます。

次に起こりやすいのは、根号の中の -4ac の符号を取り違えることです。基本例題では 4ac = -8 なので、それを引くと +8 です。掛け算の結果を括弧で囲んで 16 − (-8) と書けば、引く数が負だと確認できます。二乗と積を別々に計算してから引けば、どちらの符号で迷ったかも見つけやすくなります。

解を1つ書き落としたときは、公式に戻り、± の足す場合と引く場合を別行にして確かめます。ただし根号の中が 0 の場合は、2つの操作が同じ値を生みます。実際に得られた値が異なるかまで調べてから答えの個数を判断します。

手を動かす4問

いずれも実数の範囲で解いてください。解がある場合は、根号を簡単にした形、または約分した分数で答え、解がない場合はその旨を答えます。

1. x² − 6x + 2 = 0
2. 2x² + 3x − 2 = 0
3. 4x² − 4x + 1 = 0
4. 2x² + 2x + 3 = 0

答えと解き方

1. a = 1、b = -6、c = 2 です。公式に入れると x = (6 ± √(36 − 8)) / 2 = (6 ± √28) / 2 です。√28 = 2√7 なので、答えは x = 3 ± √7 です。v = ±√7 とすると、元の左辺は (3 + v)² − 6(3 + v) + 2 = v² − 7 = 0 です。足す場合も引く場合も元の式に戻ります。

2. a = 2、b = 3、c = -2 です。根号の中は 3² − 4 × 2 × (-2) = 25 なので、x = (-3 ± 5) / 4 です。足す場合は 1/2、引く場合は -2 です。1/2 を元の左辺に入れると 2 × (1/2)² + 3 × (1/2) − 2 = 0、-2 を入れると 8 − 6 − 2 = 0 です。2つの値をそれぞれ確かめます。

3. a = 4、b = -4、c = 1 です。根号の中は (-4)² − 4 × 4 × 1 = 0 です。したがって x = (4 ± 0) / 8 となり、足しても引いても同じ 1/2 です。答えは x = 1/2 です。元の左辺に戻すと 4 × (1/2)² − 4 × (1/2) + 1 = 1 − 2 + 1 = 0 となります。

4. a = 2、b = 2、c = 3 です。根号の中は 2² − 4 × 2 × 3 = -20 になります。負の数を二乗しても正の数を二乗しても結果は負にならず、0 の二乗も 0 なので、実数の平方根はありません。答えは実数の解なしです。元の左辺を 2(x + 1/2)² + 5/2 と変形すると、実数 x について常に正です。元の方程式の左辺が 0 になる値はないと、別の形からも確かめられます。

覚えておくこと

• 右辺を 0 にしてから、a、b、c を符号ごと拾います。
• 負の係数は括弧に入れ、二乗と積をそれぞれ計算します。
• ± の足す場合と引く場合を確認し、同じ値になる場合も見ます。
• 根号を簡単にし、分子の全項と分母に共通する数で約分します。
• 答えを元の式に戻し、左右が等しいことを確かめます。

途中式からつまずきを見分ける

お子さまが答えを間違えたときは、最初から公式を書き直す前に、係数を並べた行を見ます。そこで符号が違えば標準形への移項に戻り、係数が合っていれば代入の括弧を確認します。括弧まで正しければ、二乗、積、引き算の順に値を追うと、直す場所が絞れます。

個別指導で確かめる箇所も、解答の結果だけではなくこの境目です。係数を声に出して説明できるか、分子の全項を約分できるか、2つの解をそれぞれ元の式に戻せるかを見ます。途中の1行を根拠にして直せば、次の方程式でも符号を自分で点検できます。