数検3級 二次方程式の因数分解—右辺をゼロにして積がゼロになる条件を使う練習｜武蔵野個別指導塾

文字で割ると消えてしまう0の解を、共通因数として残します。右辺を0にする操作から因数ごとの場合分け、元の等式への代入まで進めます。

よくあるのは、受検者が二次方程式の両辺を文字で割り、出た答えに納得して次へ進む場面です。代入すると確かに等式は成り立ちます。それでも、割った文字が0になる場合を調べなければ、もう1つの解が消えているかもしれません。式を積の形にしてから、それぞれの因数が0になる場合を分けて考えましょう。求めた数を元の等式に戻すところまでが、この練習です。

どの形からゼロを作るか

二次方程式の因数分解では、文字を含む式が等しいという条件を、右辺が0の形に整理します。その後、左辺を積に直し、どの因数が0になるかを考えます。ここでは解の公式を使わず、因数分解できる式を扱います。次の3つは、練習するときに区別したい形です。

1. すでに右辺が0で、左辺を2つの括弧の積にできる形。積と和を見て因数を選びます。
2. 右辺にも項がある形。両辺から同じ式を引き、右辺を0にしてから整理します。
3. すべての項に文字が含まれる形。文字を共通因数としてくくると、文字が0の場合も残せます。

右辺を0にする前の等式で、左辺の因数を勝手に0にしてはいけません。たとえば積が6なら、どちらかが0では積も0になり、条件に合いません。まず等式全体を見て、零積の条件を使える形かどうかを判断します。

また、因数分解の答えと方程式の解は別のものです。括弧の積ができても、まだ文字の値を求めていません。各因数を0と置いてできる一次方程式を解き、最後に元の等式へ代入します。途中の形が正しいかと、得られた値が条件を満たすかは、別々に点検できます。

積がゼロになる道筋

2つの数の積が0なら、少なくとも一方は0です。逆に一方が0なら、もう一方がどんな数でも積は0です。この関係を零積の条件と呼びます。図1のように、積の形から2つの道に分けて考えます。両方が同時に0になる場合も、この「少なくとも一方」に含まれます。

図1では、AとBを数や式のまとまりの名前として使っています。A × B = 0 から A = 0 または B = 0 と進みます。「または」は、両方を除く意味ではありません。たとえば同じ因数を2回掛けた場合には、2つの道から同じ値が出ることがあります。

等式を整理するとき、右辺の項を左辺へ移す操作は、両辺から同じ項を引く操作です。符号が変わると覚えるだけでなく、何を両辺から引いたかを言葉にすると誤りを見つけやすくなります。整理した後に展開して元の左辺に戻るかも確認します。

文字で割る操作には注意が必要です。0で割ることはできません。文字が0かもしれない段階で両辺をその文字で割ると、0の場合を検討から外してしまいます。共通因数として文字を残せば、0の場合と、もう一方の因数が0の場合を並べて調べられます。

積の形が示すもの

積の式には、展開した式と同じ値が入っています。たとえば (x + 1)(x − 3) を展開すると x² − 2x − 3 です。xに同じ数を入れれば、どちらの形でも計算結果は一致します。ただし方程式を解くときは、積の形のほうが0になる条件を直接読み取れます。x + 1 が0なら積は0、x − 3 が0でも積は0です。

この考えは足し算にはそのまま使えません。2つの数の和が0でも、両方が0とは限らず、正の数と負の数が打ち消し合う場合があります。したがって x² − 2x − 3 = 0 の各項を別々に0と置いてはいけません。式全体を積に変えてから、因数ごとに場合を分けます。

因数分解したら、積が元の式へ戻るかを確かめる習慣を付けます。定数の積と一次の項の係数が両方合っていることが必要です。積だけが一致する組は複数あるので、和も見て選びます。符号が混ざる組では、負の数を含めた和を計算してください。

基本例題：移項して二つに分ける

次の方程式を解き、解を整数で答えましょう。

x² + x = 6

右辺を0にするため、両辺から6を引きます。各行の意味を追いながら進めます。

x² + x − 6 = 0

(x + 3)(x − 2) = 0

x + 3 = 0 または x − 2 = 0

x = -3 または x = 2

因数分解では、積が-6、和が1になる2つの整数として3と-2を選びました。展開すると x² − 2x + 3x − 6 となり、整理後の左辺に戻ります。図2のように、括弧をそれぞれ0にした後で一次方程式を解きます。括弧の中の数をそのまま答えると符号が逆になるので、等式を1行書くことが役立ちます。

図2の2つの解を、移項後ではなく最初の等式へ戻します。x = -3 のとき左辺は9 − 3 = 6、右辺も6です。x = 2 のとき左辺は4 + 2 = 6、右辺も6です。どちらも最初の条件を満たします。

代入で間違いが見つかったら、答えの符号だけを直して終わらせず、元の式から各行を見直します。たとえば移項の際に定数の符号を取り違えると、その後の因数分解や一次方程式が正しくても、別の方程式を解いたことになります。逆に、2つの代入が成功しても、解を漏らしていない理由は零積の条件による場合分けで示します。

文字でくくるか、括弧をまとめるか

次の方程式を解き、解を整数で答えましょう。

2x² + 5x = 3x

両辺から3xを引き、同類項をまとめます。

2x² + 2x = 0

2x(x + 1) = 0

2x = 0 または x + 1 = 0

x = 0 または x = -1

右辺の3xを移す前に2xで両辺を割ると、x = 0の可能性を失います。右辺を0にして共通因数をくくれば、2xという因数が残るので、0も候補に入ります。係数の2は0ではないため、2x = 0 から x = 0 と求められます。

元の等式へ戻すと、x = 0 では左辺も右辺も0です。x = -1 では左辺が2 − 5 = -3、右辺も-3です。両方が条件を満たすことを、元の左右の値で確認できました。因数分解の形を展開すると 2x² + 2x へ戻るので、途中の積も検査できます。

一方、共通因数が文字を含まない場合には、0ではない数で両辺を割って整理できます。大事なのは割るものが確実に0でないかどうかです。文字を含む式は値によって0になり得るので、その可能性を先に消さず、積の形で場合を分けます。

同じ因数が重なる場合もあります。たとえば (x − 4)(x − 4) = 0 なら、どちらの括弧を0としても x = 4 です。道は2つあっても異なる値は1つです。同じ値を2回並べる必要はありません。逆に、見た目が似た括弧でも定数が違えば、それぞれを解いて値を比べます。

失った解を取り戻す

誤答の例として x² = 5x を考えます。両辺をxで割って x = 5 とする方法は、5が条件を満たすので一見正しそうです。しかしxが0の場合には割る操作ができず、その場合の検討が抜けています。

図3のように右辺を移して因数分解すれば、x = 0 と x − 5 = 0 の両方を調べられます。x = 0 を元の式に入れると左右とも0、x = 5 では左右とも25です。したがって答えは0と5です。誤答の5は解ですが、解の一覧としては不十分です。

図3の分岐を省いて「括弧の中の数を反対にする」とだけ覚えると、文字そのものが因数のときに0を落としやすくなります。各因数を0と置く行を残せば、x = 0 がどこから出たかをたどれます。0を代入して元の等式が成り立つかも点検します。

もう1つの誤りは、積と和が合わない括弧を作ることです。定数の積が合っていても、交差する項の和が合わなければ元の式に戻りません。括弧を作ったら展開し、二次の項、一次の項、定数の順に比べます。解を代入して合わなかったときは、因数分解と移項の両方に戻ることができます。

検算が示すことと示さないこと

元の等式へ代入して左右が一致すれば、その値は解です。一致しなければ、その値は解ではありません。例えば候補を1つしか書かず、その代入が成功したとしても、別の解がない証明にはなりません。解の漏れを防ぐには、積が0となる場合を因数ごとに調べます。

また、等式を変形する各段階で両辺に同じ操作をしたかを見ます。移項後の式にだけ代入すると、移項の段階で違う式にしてしまった誤りは隠れます。元の式と変形後の式の両方に戻して比べると、どこで食い違いが生じたかを探せます。

時間が限られた練習では、まず右辺が0か、次に積にできるか、最後に各因数を0と置いたかを順に確認します。途中で計算が止まった場合は、無理に文字で割らず、共通因数や積と和を探し直します。式の形を整える一手を記録すれば、後から続きを考えるときにも役立ちます。

練習問題

次の方程式をそれぞれ解き、解を整数で答えてください。先に4問を解いてから、下の答えと元の等式への代入を見比べましょう。

1. x² − 7x + 12 = 0
2. x² + 2x = 15
3. 3x² = 12x
4. x² + 10x + 25 = 0

答えと解き方

1. 積が12、和が-7の組は-3と-4です。(x − 3)(x − 4) = 0 となるので、x = 3 または x = 4 です。元の左辺に3を入れると9 − 21 + 12 = 0、4を入れると16 − 28 + 12 = 0です。どちらも右辺の0と一致します。括弧の中の符号をそのまま答えにすると別の数になるので、各括弧を0と置いてください。

2. 両辺から15を引くと x² + 2x − 15 = 0 です。積が-15、和が2の組は5と-3なので、(x + 5)(x − 3) = 0 です。したがって x = -5 または x = 3 です。元の左辺は、-5のとき25 − 10 = 15、3のとき9 + 6 = 15となり、どちらも元の右辺に等しくなります。移項した数の符号を含めて確かめられます。

3. 両辺から12xを引いて 3x² − 12x = 0、共通因数でくくって 3x(x − 4) = 0 です。3x = 0 または x − 4 = 0 より、x = 0 または x = 4 です。元の左右は、0のときともに0、4のときともに48です。xで割れば4は残りますが、0の検討が抜けることに注意します。

4. 左辺は (x + 5)(x + 5) と因数分解できます。どちらの因数も同じなので、x + 5 = 0 から x = -5 です。元の左辺へ戻すと25 − 50 + 25 = 0となり、右辺と一致します。2つの因数から同じ値が出るため、異なる解として2つ書く必要はありません。

検算のときは、計算後の式に代入するだけでなく、問題に書かれた等式の左右をそれぞれ計算します。途中で項を移す際の誤りも拾いやすくなります。左右が一致しない値があったら、符号、因数の展開、各一次方程式の順にさかのぼります。一致した値についても、零積による場合分けが抜けていないかを別に確かめます。

覚えておくこと

右辺を0にしてから左辺を因数分解します。
積が0なら、少なくとも1つの因数が0です。
文字を含む式で割る前に、それが0になる可能性を考えます。
各因数を0と置き、出た値を元の等式に代入します。
同じ値が重なったら、異なる解としては1つです。

練習の見直し方

4問を比べると、最初から右辺が0の式も、移項が必要な式もあります。まず何を移したかを印に残すと、符号を確認しやすくなります。共通因数のある式では、括弧の外の文字を見落とさずに0と置きます。

同じ因数が2つある式では、解の個数を形だけで決めず、実際に両方の条件を解いて比べます。異なる因数でも、同じ値が出るかどうかは計算して判断します。答えを書いたら、元の左右を別々に計算し、等しいという問題の条件に戻します。数字が合わなければ途中を消さず、初めて一致しなくなった行を探してください。

括弧の展開が不安なら、各項を掛けた結果を省略せず書きます。符号を口に出して確認する方法もあります。式の変形、場合分け、代入はそれぞれ異なる確認なので、どこで迷ったかを分けて記録すると次の練習を選びやすくなります。

どこで道が分かれたかを見る

答えが1つ足りないときは、最初に文字で割っていないか、因数を0と置く行が2つあるかを見ます。答えの数は合うのに代入が合わないときは、括弧を展開して一次の項と定数を照合します。左右のどちらを整理したか、移項前の式も残しておくと、誤りの位置をたどれます。

個別指導では、お子さまが各行をどの操作で作ったかを口にして、0で割る可能性と符号を確認します。解が1つに重なる場合も、2つの因数から同じ値が出ることを説明できるかを見ます。元の等式に戻して左右が一致するまで、解の候補を確かめましょう。