高校物理 等速円運動—角速度と周期を結びつけて中心向きの合力を立てる｜武蔵野個別指導塾

糸の張力を鉛直と水平に分け、周期や角速度と結びつけながら円すい振り子の式を組み立てます。

よくあるのは、糸につながれた小球が水平な円を描く問題で、張力のほかに「向心力」という矢印をもう1本加えてしまう場面です。中心に向かう加速度は確かにありますが、その原因を新しい力として描く必要はありません。実際に小球を引く力を集め、その中心向きの合力が運動に必要な値になると考えます。速さ、周期、角速度をつないでから力の式へ進むと、図と答案の対応が見えます。

円の問題で求めるもの

出方の1つは、半径と周期から速さや加速度を求める型です。1周で進む道のりと角度を使うので、出発点に戻るまでの時間を周期として読み取ります。回転数が与えられた場合は、1秒あたりの回数なのか、1周にかかる秒数なのかを先に区別します。

次は、水平面上の物体について、張力や摩擦力が円の中心へ向く合力を担う型です。運動方程式の右辺は質量と中心向き加速度の積です。力の名前を覚えるより、何が物体を押すか、引くかを図に描いてから式に移すことが大切です。

もう1つは、糸が鉛直から傾いて小球が水平面内を回る円すい振り子です。張力を鉛直方向と水平方向に分け、鉛直方向のつり合いと水平方向の運動方程式を併用します。ここでは地面に静止した観測者を基準とし、鉛直面内で速さが変わる運動は扱いません。学校の範囲表で円運動の扱いを確認し、ノートの記号と照らして読み進めてください。

向きが変わる速度と中心向きの加速度

半径 r の円を一定の速さ v で回り、1周する時間を T とします。1周の道のりは 2πr なので、v = 2πr/T です。角速度 ω は単位時間に進む角度で、角度をラジアンで測れば ω = 2π/T、したがって v = rω です。角度の1周は 2π rad です。速さ v の単位は m/s、T は s、ω は rad/s で表します。

ラジアンは、弧の長さを半径で割って表す角度です。たとえば半径と等しい長さの弧に対応する中心角が 1 rad です。周期が半分なら同じ 2π rad を半分の時間で進むため、角速度は2倍になります。半径も一定なら速さも2倍ですが、中心向き加速度は4倍です。式を覚える際は、どの量を固定した比較なのかまで言葉にします。

速さが一定でも、速度は向きが刻々と変わるベクトルです。円周上の速度はその点で円に接する向きであり、加速度は中心を向きます。その大きさは a = v²/r = rω² です。図1のように速度と加速度は直角で、中心向きの加速度が速度の向きを変えます。中心方向の正を決めると、質量 m の物体について、実際に働く力の中心向き成分の和が m v²/r になります。

図1の円は運動の軌道、点はある瞬間の物体を表します。矢印の長さは値の比較を示さない模式図です。向心力は新しい種類の力ではなく、この中心向きの合力につけた名前です。張力がその合力を単独で担う場合もあれば、複数の力の成分を足す場合もあります。

慣性系である地面から見る式に、外向きの遠心力を加えてはいけません。回転する観測者の立場では見かけの力を導入して静止の式を作る方法もありますが、その立場での式と、地面から見た加速度を混ぜないようにします。どちらを使うか問題文と答案の冒頭で固定します。

式を選ぶ前の確認

半径と周期が与えられたときは、まず 1周の道のりを周期で割ります。角速度が与えられたときは、ラジアンを用いることを確認して半径を掛ければ速さが出ます。同じ円を回る物体でも、速さが大きければ中心向きにより大きな加速度が必要です。半径を固定して速さを3倍にすると、v²/r は9倍になります。この違いは張力の計算にも表れます。

一方、同じ速さで半径を大きくすると、曲がり方は緩やかになり、v²/r は小さくなります。角速度を固定して半径を大きくする比較では、速さも変わるため加速度は rω² に比例します。比較の条件が違うと結論も変わります。問題文の一定という言葉が速さを指すのか、角速度を指すのかを囲んでから判断してください。

力の式から張力が負になったときは、その値を大きさに直して答えにしてはいけません。糸は押せないため、仮定した張った状態を保てないという手掛かりです。面からの垂直抗力も押す方向に限られます。式の答えが実際の接触や糸の条件を満たすか、最後に必ず戻って確かめます。

水平面で糸が引く基本例題

【問題】なめらかな水平面上で、質量 0.50 kg の小球を、中心 O に固定した長さ 2.0 m の軽く伸びない糸につなぎます。糸は水平に張り、小球は速さ 4.0 m/s で等速円運動します。空気抵抗を無視します。地面から見て、周期を π を残した秒、角速度を rad/s、中心向き加速度を m/s²、糸の張力を N で求めてください。小数は示した値で表します。

図2のように小球を右端に置いて考えます。水平面は摩擦がないので、水平に小球を引く実際の力は糸の張力です。鉛直方向では重力と面からの垂直抗力がつり合います。中心 O の方向を正に取ると、水平の力の和は張力 F です。速度は円の接線に沿い、図では上向きです。

1周の道のりは 2π × 2.0 = 4.0π m です。速さが 4.0 m/s なので、道のりを速さで割ると、

T = 4.0π/4.0 = π s

です。1周の角度をこの時間で割り、

ω = 2π/π = 2.0 rad/s

を得ます。別に v/r = 4.0/2.0 = 2.0 rad/s としても同じです。中心向き加速度は、

a = v²/r = 4.0²/2.0 = 8.0 m/s²

です。運動方程式 F = ma に質量と加速度を代入して、

F = 0.50 × 8.0 = 4.0 N

となります。張力が正なので、糸が引くという条件に合います。鉛直方向に加速度はなく、垂直抗力は重力と同じ大きさで上向きです。面が小球を押し続けることも、この条件では矛盾しません。

答えを場面へ戻すと、角速度 2.0 rad/s は π 秒で 2π rad 進むことを意味します。また張力 4.0 N を質量 0.50 kg で割ると中心向き加速度は 8.0 m/s² です。半径 2.0 m で速さ 4.0 m/s の軌道に必要な加速度と一致し、糸はたるみません。図2の張力とは別に向心力を加えると、同じ働きを二重に数えてしまいます。

糸が傾くときの分かれ目

【問題】長さ 1.0 m の軽く伸びない糸の一端を固定し、他端に質量 0.30 kg の小球をつけます。小球は一定の高さで水平な円を描き、糸は鉛直方向となす角を 60° に保ちます。空気抵抗を無視し、重力加速度は計算用に 10 m/s²、sin 60° = √3/2、cos 60° = 1/2 とします。地面から見て、円の半径、張力、角速度、周期を求めてください。答えは根号と π を残し、単位を付けます。

糸の長さを斜辺とする直角三角形を考えます。角度は鉛直から測るので、半径は水平成分です。r = 1.0 × sin 60° = √3/2 m です。糸の長さそのものを半径とすると、水平な円の中心から小球までの距離を取り違えます。

小球に働く力は、糸に沿って固定点へ向かう張力 F と鉛直下向きの重力 mg です。高さが一定なので鉛直方向の加速度は0です。上向きを正とすれば F cos 60° − mg = 0 であり、

F × 1/2 = 0.30 × 10 = 3.0

F = 6.0 N

です。水平方向では張力の成分 F sin 60° が円の中心を向きます。したがって、

F sin 60° = mrω²

6.0 × √3/2 = 0.30 × √3/2 × ω²

ω² = 20、ω = 2√5 rad/s

です。角速度は大きさを求めるので正の根を選びます。周期は T = 2π/ω = π/√5 s、つまり √5π/5 s です。

この答えを元の条件に戻すと、張力の鉛直成分は 6.0 × 1/2 = 3.0 N で、重力 3.0 N とつり合います。水平成分は 3√3 N で、0.30 × √3/2 × 20 = 3√3 N に等しく、必要な中心向き合力を与えます。張力は正なので糸の拘束にも合います。

分かれ目は、角度が鉛直からか水平からかです。上の式の sin と cos は角度の指定に依存します。固定点と円の中心を結ぶ鉛直線、糸、小球から中心までの水平線を描き、どの辺が角に隣り合うかを確かめてください。また、張力と重力は鉛直にはつり合いますが、水平方向にはつり合いません。小球が一定の高さで回っていても、加速度が全方向で0になるわけではありません。

間違えた矢印を答案に戻す

「張力 F と向心力 m v²/r が両方中心へ働く」と書き、F + m v²/r = m v²/r とする誤答を考えます。これでは F = 0 となり、張った糸が引くという状況と矛盾します。原因は、合力の名前を、合力を作る個々の力の名前と同じ欄に置いたことです。

図3のように、水平面上の小球なら水平の実際の力は張力です。中心向きを正として F = m v²/r と書き直します。右辺は必要な加速度に質量を掛けた値で、左辺の張力とは別の矢印として追加する力ではありません。糸が斜めなら張力の中心向き成分を左辺に置きます。

別の誤りは、一定の速さだから加速度も0とすることです。速度の大きさは一定でも、向きが変化します。ある点と少し後の点で接線方向の矢印を描き比べれば、速度が同じベクトルではないことが見えます。加速度が0という答えを出したら、速度の向きまで一定かを確認します。

さらに、周期から角速度を求める際に 1/T とする答案もあります。1/T は1秒あたりの回転数で、角速度はそれに1周の角度 2π rad を掛けたものです。単位の rad/s と回転毎秒の違いを添えると、係数を落とした場所を探せます。

自分の手で確かめる問題

次の3問は、それぞれ地面を基準に考えます。答えは指定された形で単位を付け、必要な力が正の大きさを持つことも確かめてください。

1. 半径 3.0 m の水平な円を、小球が一定の速さで 1周 6.0 s かけて回ります。速さ、角速度、中心向き加速度を求めてください。π を残し、単位を付けます。
2. なめらかな水平面上で、質量 0.20 kg の小物体を水平な糸で中心につなぎ、半径 0.80 m の円を速さ 2.0 m/s で回します。空気抵抗を無視します。張力を N で求め、小数で表してください。
3. 長さ 2.0 m の軽く伸びない糸に質量 0.40 kg の小球をつけ、固定点の下で水平な円を描かせます。糸と鉛直の角は 45° で一定です。空気抵抗を無視し、計算用に重力加速度を 8.0 m/s²、sin 45° = cos 45° = √2/2 とします。円の半径、張力、角速度を根号を残して求めてください。

解答と途中の確認

1. 1周の道のりは 2π × 3.0 = 6.0π m です。これを 6.0 s で割り、速さは π m/s です。角速度は 2π/6.0 = π/3 rad/s です。加速度は v²/r = π²/3.0 = π²/3 m/s² です。速さ π m/s で 6.0 s 進む道のりは 6.0π m となり、元の円周に戻ります。角速度でも 6.0 秒間に 2π rad 進みます。

2. 中心方向の水平の力は張力 F です。F = mv²/r = 0.20 × 2.0²/0.80 = 1.0 N です。張力は正で糸は引く向きに働きます。逆に F/m = 1.0/0.20 = 5.0 m/s² で、速さと半径から出る 2.0²/0.80 と一致します。鉛直方向は垂直抗力と重力がつり合い、面から離れません。

3. 半径は r = 2.0 × √2/2 = √2 m です。鉛直方向の式は F × √2/2 = 0.40 × 8.0 = 3.2 なので、F = 3.2√2 N です。水平成分は F × √2/2 = 3.2 N です。これを 0.40 × √2 × ω² に等しく置けば、ω² = 4√2、ω = 2√(√2) rad/s です。張力の鉛直成分は 3.2 N となって重力に一致し、水平成分も求めた角速度の必要な合力に一致します。張力は正で糸が張る条件を満たします。

最後に手元に残すこと

周期 T と角速度は ω = 2π/T、速さは v = rω です。 中心向き加速度の大きさは v²/r = rω² です。 実際の力の中心向き成分の和を、その質量倍に等しく置きます。 傾いた糸では鉛直方向の式と水平の式を分けます。

答案を見直すときは、まず円の中心と接線を描けるかを見ます。速さの式が合っていても、半径に糸全体の長さを入れていれば、傾いた場合にずれます。次に小球に接するものを確かめ、実際に働く力だけを矢印にします。個別指導で確認するなら、本人にそれぞれの矢印の出どころを説明してもらい、中心向きの成分を選ぶところから式へ移ります。最後に求めた値を周期、力のつり合い、糸が張る条件へ戻せば、式の形だけでなく運動そのものを確かめられます。