数検4級 確率と樹形図｜同様に確からしい結果を重複なく数え上げる｜武蔵野個別指導塾

硬貨を2回投げた順序を枝で分け、数え漏れと重複を直して確率と樹形図を読み解きます。

よくあるのは、硬貨を二回投げた結果を一組に混ぜた樹形図を前に、表と裏が1回ずつ出る場合を1通りと数える場面です。最初が表で次が裏の場合と、最初が裏で次が表の場合は、順序を記録すると別の結果です。順序の違いを枝に残し、最後に条件に合う先端を数えると、何を分母と分子にしたかを説明できます。

どのような数え方を求められるか

1つ目は、硬貨を続けて投げ、出た面の順序を記録する型です。各回で表か裏かを分け、最後までたどった道筋を結果とします。たとえば2回なら、表と裏が1回ずつでも、どちらが先かによって道筋は2本あります。順序の区別をなくした集計から始めると、異なる道筋がひとまとめになるため注意します。

2つ目は、硬貨とさいころを使い、面と目に付いた条件を同時に満たす結果を数える型です。先に硬貨の面で枝を分け、各枝の先でさいころの目を分けます。先端には「表で偶数」のように2つの情報がそろいます。どちらか一方の情報だけで判定せず、1本の道筋の両方を読み取ります。

3つ目は、先に示された数え方を点検する型です。枝が途中で途切れていないか、同じ道筋を2回数えていないか、数えた結果を等しい重みで扱えるかを調べます。求める確率が0や1になる場合も、条件を満たす先端の個数を全体と比べれば判断できます。

ここでは、両面が同じ程度に出る硬貨と、各目が同じ程度に出るさいころを考え、それぞれの試行は他の試行の結果に左右されないものとします。偏りのある道具や、前の結果によって次の出方が変わる操作では、枝の先端を並べただけで等しい確率とはいえません。その違いを見落とさないことも、数え上げの一部です。

枝の先端を何として数えるか

樹形図は、操作の順に選択肢を枝分かれさせた図です。出発点から先端までたどった1本の道筋が、ここでは1回の実験の結果を表します。途中の枝はまだ結果の一部なので、途中と先端を同じ種類の結果として一緒に数えません。

図1のように、硬貨を2回投げるとき、最初の枝を1回目、次の枝を2回目に対応させます。表を表、裏を裏と書いてたどれば、表・裏と裏・表は別の道筋です。先端の4つは、順序まで記録した結果を重なりなく表します。

図1では、1回目のどちらの枝からも2回目の表と裏が出ています。先端に着いたときに初めて、2回分の結果がそろいます。表・裏は「1回目が表、2回目が裏」と読み、文字を入れ替えれば別の結果であることが確かめられます。

どの結果も同じ程度に起こりうることを「同様に確からしい」といいます。公平な硬貨をそれぞれ独立に投げると、1回目の表と裏は同じ程度に起こり、どちらの後でも2回目の表と裏は同じ程度に起こります。したがって、図1の4つの順序つきの結果は同様に確からしいと考えられます。結果の書き方だけを見て等しいと決めるのではなく、道具と操作を確かめます。

同様に確からしい結果が全体で4通りあり、そのうち条件に合うものが2通りなら、確率は2/4、約分して1/2です。分母は実験で起こりうる順序つきの結果の総数、分子はその中で条件を満たす結果の数です。樹形図をかく前に、1回の実験がどこで終わるかを決めておくと、分母に途中の枝を混ぜずに済みます。

基本例題：硬貨とさいころを続けて使う

公平な硬貨を1回投げ、続けて公平な6面のさいころを1回投げます。硬貨の面とさいころの目をこの順に記録します。それぞれの結果は互いに影響しないものとします。硬貨が表で、さいころの目が3以下になる確率を、約分した分数で求めてください。

まず硬貨の面で表と裏の2本に分けます。次にそれぞれの枝から、さいころの1、2、3、4、5、6の6本を伸ばします。図2のように、表の後にも裏の後にも同じ6つの目が続くので、先端には面と目が1組ずつ記録されます。

全体の結果を、硬貨の面を先にして書くと次のとおりです。

• 表の後は、表・1、表・2、表・3、表・4、表・5、表・6の6通りです。
• 裏の後は、裏・1、裏・2、裏・3、裏・4、裏・5、裏・6の6通りです。

2つの面それぞれに6通りあるため、全体は 2 × 6 = 12 通りです。表と裏は同じ程度に出て、どちらの面が出ても6つの目は同じ程度に出ます。互いの結果が影響しないので、列挙した12通りは同様に確からしい結果です。

次に条件に合う先端を選びます。「表で、3以下」ですから、表の枝のうち1、2、3へ進む3通りです。裏・1は目の条件を満たしても面の条件を満たしません。表・4は面の条件を満たしても目の条件を満たしません。両方に印を付けて初めて数えます。

したがって、求める確率は次のようになります。

3/12 = 1/4

答えは1/4です。確認すると、表の6通りのうち条件を満たすのが3通り、裏の6通りのうち条件を満たすのが0通りです。3 + 0 = 3通りで、先ほどの分子と一致します。また、選んだ3つを12通りの一覧に戻すと、どれも表で、目はそれぞれ1、2、3です。ほかの表の目は4以上、裏の結果は面が違うため、選び残しもありません。

分母を6にする誤りは、さいころの目だけを全体と見て、硬貨の面を記録から落としたときに生じます。今回は表・1と裏・1が別の結果です。まず何を1通りとするかを書き、その単位を分母と分子でそろえてから割り算します。

条件によって道筋の選び方が変わる例

公平な硬貨を3回投げ、各回の面を順に記録します。各回の結果は互いに影響しないものとします。表がちょうど2回出る確率を、約分した分数で求めてください。

各回に表と裏があるので、順序つきの結果は 2 × 2 × 2 = 8 通りです。各回の2つの面が同じ程度に出て互いに影響しないため、8通りは同様に確からしいと考えます。順に列挙すると、表・表・表、表・表・裏、表・裏・表、表・裏・裏、裏・表・表、裏・表・裏、裏・裏・表、裏・裏・裏です。

表がちょうど2回なのは、表・表・裏、表・裏・表、裏・表・表の3通りです。それぞれの裏の位置は3回目、2回目、1回目なので、同じ道筋を重ねて数えていません。条件を満たす3通りを全体へ戻すと、いずれも表が2回、裏が1回です。残る5通りは表の回数が3回、1回、または0回なので、条件から外れます。よって確率は 3/8 です。

分かれ目は「ちょうど2回」という言葉です。表・表・表は表を2回以上含みますが、ちょうど2回ではありません。一方、「2回以上」なら表・表・表も加えて4通りとなり、確率は4/8 = 1/2です。問題文の条件を先端に当ててから、数える集合を決めます。

条件に合う先端が見つからない場合も、答えを空欄にする必要はありません。たとえば3回投げて表が4回出るという条件は満たせないので、分子は0、確率は0/8 = 0です。反対に「表の回数が0回以上3回以下」であれば、8通りが条件に合うので、確率は8/8 = 1です。0と1も、全体と条件に合う数の比較から得られます。

混ぜてしまった結果を直す

図3のように、硬貨を2回投げるとき、表と裏が1回ずつ出る2つの順序を「表と裏」としてまとめ、表・表、表と裏、裏・裏の3種類を同じ重みで数える誤りがあります。この数え方で、表が1回出る確率を1/3とすると誤答です。

原因は、まとめた3種類の中に含まれる道筋の数が同じでないことです。表・表と裏・裏にはそれぞれ1通り、表と裏が1回ずつには表・裏と裏・表の2通りがあります。表が出た回数という分類自体は使えますが、その3分類を同様に確からしい結果として扱うことはできません。

修正するときは、まず各回を区別して4通りを書き出します。表・表、表・裏、裏・表、裏・裏のうち、表が1回なのは中の2通りです。したがって確率は 2/4 = 1/2 です。図3の分け直した先端をたどれば、最初と次の面が逆になっていることを確認できます。

もう1つの誤りは、最初に表が出た枝から表と裏を伸ばした後、最初に裏が出た枝を途中で止めることです。これでは裏・表と裏・裏が抜け、実験を2回終えた結果の全体になりません。どの枝からも次に起こりうる面を伸ばし、全先端が同じ回数まで進んでいるかを見ます。

反対に、表・裏を2回書けば、先端の数は増えても新しい結果は増えません。1回目の面と2回目の面を順に読み、同じ組が複数ないか照合します。数え漏れと重複は反対の誤りですが、どちらも先端の一覧と操作の順序を見比べると直せます。

練習：道筋を数えて判断する

いずれも公平な硬貨や、1から6の目が同じ程度に出る公平な6面のさいころを使います。各回や各道具の結果は互いに影響しません。確率は約分した分数、または0か1で答えてください。判断を求める問題では、理由も書いてください。

1. 硬貨を3回投げて面を順に記録します。裏がちょうど2回出る確率を求めてください。
2. さいころを1回投げ、続けて硬貨を1回投げます。目と面を順に記録するとき、目が5以上で硬貨が裏になる確率を求めてください。
3. 硬貨を2回投げる実験で、ある人が表・表、表・裏、裏・裏の3通りを全体としました。この一覧が正しいか判断し、正しく直したうえで、裏がちょうど1回出る確率を求めてください。
4. さいころを1回投げ、続けて硬貨を1回投げる実験で、「目が7で、硬貨が表」という条件を考えます。条件に合う結果があるか判断し、確率を求めてください。

練習の答えと解き方

1. 答えは3/8です。全体は3回の面を順に書く8通りです。裏がちょうど2回の道筋は、裏・裏・表、裏・表・裏、表・裏・裏の3通りです。それぞれ表が出る位置が異なり、元の条件に戻すと裏は2回ずつです。残る5通りは裏の回数が0回、1回または3回なので含めません。したがって 3/8 です。

2. 答えは1/6です。さいころの各目に表と裏が続くので、全体は 6 × 2 = 12 通りです。条件に合うのは5・裏と6・裏の2通りです。5と6はいずれも5以上で、面も裏です。1から4は目の条件に合わず、表の結果は面の条件に合わないので、数え残しはありません。確率は 2/12 = 1/6 です。

3. 一覧は正しくありません。裏・表が抜けています。1回目に裏が出た後も、2回目には表と裏の両方が起こります。正しい全体は表・表、表・裏、裏・表、裏・裏の4通りです。裏がちょうど1回なのは表・裏と裏・表の2通りなので、答えは 2/4 = 1/2 です。2通りを元に戻すと、どちらも裏が1回で、1回目と2回目の順序が違います。

4. 条件に合う結果はありません。さいころの目は1から6までなので、硬貨が表でも目が7となる道筋は作れません。全体は6つの目それぞれに表と裏が続く12通りで、そのうち条件に合うのは0通りです。答えは 0/12 = 0 です。硬貨の面を決める前に、目の条件が実現できるかを調べると見つけやすくなります。

練習3の一覧が誤っているからといって、分母に単に1を足すだけでは理由が残りません。抜けた裏・表を実際に書き、ほかの道筋と1回目から比べます。同様に練習4では、条件に合う結果がないことと、全体の結果がないことを区別します。実験自体には12通りの結果があるので、分母は0にはなりません。条件を満たす結果の数が0です。

枝を数える途中で手が止まった場合は、最初から図を描き直す前に、1つの先端を選び、そこに至る各回の結果を順に声に出します。記録すべき回数に足りなければ枝を伸ばし、同じ記録が別の先端にもあれば重複を直します。最後に条件を当てることで、図の完成と条件の選択を分けて点検できます。

手元に残す要点

• 枝は操作の順に伸ばし、最後までたどった道筋を結果とします。
• 分母と分子では、順序までそろえた同じ単位で結果を数えます。
• 等しい重みで割る前に、道具の公平さと各回の影響を確かめます。
• 条件に合う先端を選び、抜けと重なりを一覧へ戻して調べます。

つまずいた場所を見分ける

樹形図の先端が足りないときは、計算をやり直す前に、途中の各枝から次に起こりうる結果が出そろっているかを見ます。先端の数は合うのに確率が違うときは、問題の条件を1つずつ各道筋へ当て、選んだ理由を言葉にします。表の回数でまとめた後に等しい重みとして扱っていないかも確かめます。

個別指導で確かめるなら、お子さまに1本の道筋を指して「何回目に何が出たか」を順に説明してもらい、次に選ばなかった道筋が条件から外れる理由を尋ねます。答えが合っていても、分母をなぜその数にしたかが曖昧なら、公平さと順序つきの結果に戻ります。道筋の意味を保った数え上げが、確率の分子と分母を支えます。