数検5級 基本の作図—等しい距離を手掛かりに垂直二等分線を描く練習｜武蔵野個別指導塾

垂直二等分線で弧の交点が一つしかない失敗を取り上げ、両端から等距離の二点を結ぶ理由を確かめられます。

よくあるのは、受験者が交点を一つしか取らず線を引く場面です。線分の両端から弧を描いたのに、紙の上側だけで弧が交わり、下側の交点を取り忘れます。その一点から定規で線を引いても、線分の真ん中を通る保証はなく、直角にもなりません。コンパスが示す「等しい距離」を二つの交点にそろえて初めて、垂直二等分線の条件が揃います。

ここでは垂直二等分線、垂線、角の二等分線を、定規とコンパスの手順に分けて扱います。移動やおうぎ形の長さは扱わず、線をどう引くかに絞ります。数検5級の図形のうち基本的な作図は、中学校1年程度の範囲に入る内容として公式の頁に並んでいます。

作図で問われる型の見分け方

1つ目の型は、線分の垂直二等分線を描く問題です。線分ABが与えられ、「垂直二等分線をかけ」と指示されます。答えは、ABの中点を通りABに垂直な直線です。見た目で真ん中を見当つけて引くのではなく、両端からの距離が等しい点をコンパスで集めます。

2つ目は、ある点から直線へ垂線を下ろす、または直線上の点から垂線を立てる問題です。下ろす場合は、点から直線上の二点へ等距離の弧を取り、その二点を中心に交点を作ります。立てる場合は、直線上の与えられた点を中心に弧を描き、交わった二点からさらに等距離の交点を取ります。どちらも「等しい距離の交点を二つ使う」流れは共通です。

3つ目は、角の二等分線です。角の頂点を中心に弧を描き、両辺との交点を取り、その二点から同じ開きで交点を作り、頂点とその交点を結びます。垂直二等分線を弧の交点から引くときは、異なる二つの交点が必要です。角の二等分線では、頂点と、両辺上の点から描いた弧の交点一つを結びます。道具は定規とコンパスに限り、長さをものさしの目盛りだけで決める方法にはしません。

等しい距離が直線を決める

作図の芯は、コンパスの開きが「同じ長さ」を保つことです。Aに針を置いて弧を描くと、その弧上の点はAから同じ距離にあります。開きを変えずにBへ針を移せば、次の弧上の点はBから同じ距離になります。図1のように、線分ABの両端から同じ開きで弧を描くと、交点PとQはどちらもAからもBからも等距離になります。PとQを結ぶ直線は、ABを二等分し、かつABに垂直です。これが垂直二等分線です。

垂線は「直線に垂直な直線」です。点から直線へ最短で降りる向きが垂線の向きです。角の二等分線は、角の内側で両辺からの距離が等しい点の集まりです。どれも、等距離の条件を交点に集め、その交点を定規で結ぶ、という順です。目分量で直角や半分に見える線は、検算の代わりになりません。引く線を決める二点が、既に与えられた点なのか、弧の交点として作る点なのかを区別し、その線が求める条件に合う理由を説明します。

用語を短く整理します。線分は両端がある直線の一部、直線は両側に延びます。中点は線分を二等分する点です。垂直は交わる角が直角である関係です。二等分は長さや角を二つに等しく分けることです。作図の答案では、どの点を中心に、どの開きで弧を描き、どの二点を結んだかを、図の補助線と合わせて読み取れるように残します。

基本の例題：線分の垂直二等分線

例題1。線分CDがあります。CとDを結ぶ線分の垂直二等分線を、定規とコンパスで描きなさい。答えは、CDの中点を通りCDに垂直な直線です。手順を一行ずつ書きます。

まずコンパスの針をCに置き、開きをCDの半分より少し大きくします。開きがCDの半分以下だと弧が交わらないことがあります。次に、その開きのままCを中心に弧を描き、線分の両側へ十分に伸ばします。同じ開きを保ったまま針をDへ移し、Dを中心に弧を描きます。図2のように、二つの弧は線分の上側と下側で交わり、交点をE、Fとします。最後に定規でEとFを結び、直線EFを引きます。この直線が求める垂直二等分線です。

なぜこれでよいかを、距離で確かめます。EはCを中心とする弧上にあるのでCEの長さは、Cから描いたときの開きと同じです。同時にEはDを中心とする弧上にもあるのでDEも同じ開きです。よってCE=DEです。同様にCF=DFです。等距離の二点E、Fを結ぶ直線は、線分CDの垂直二等分線になります。中点をMとすると、MはEF上にあり、直線EFと線分CDはMで直角に交わります。目で見て直角っぽいだけでは足りず、等距離の交点が二つあることを図で示せます。

検算の仕方は次のとおりです。作図後にコンパスでCからM、DからMを測り、開きが同じかを見ます。さらに、Mの近くでEFとCDの交わりが直角に見えるか、直角定規があれば当てて確認します。数検の会場で直角定規が使えない場合でも、手順どおり二つの交点を取ったかを見直せば、見た目だけの線より確かな答えに近づきます。

少し難しい例題：角の二等分線

例題2。点Oを頂点とし、半直線OAと半直線OBがつくる角AOBがあります。角AOBの二等分線を作図しなさい。答えは、角の内側で両辺から等距離にある点を通る、Oから出る半直線です。

手順は次です。コンパスの針をOに置き、適当な開きで弧を描き、半直線OAとの交点をP、半直線OBとの交点をQとします。このときOP=OQです。次に、開きを変えてもよいですが、PとQの両方から届く大きさにそろえます。Pを中心に弧を描き、角の内側に十分伸ばします。同じ開きでQを中心に弧を描き、先の弧との交点をRとします。最後にOとRを結びます。半直線ORが角AOBの二等分線です。

分かれ目は、PとQを取ったあとに開きをそろえるところです。Pだけから弧を描いてOと結んでも、両辺からの距離は等しくなりません。RはPからもQからも等距離なので、角の内側で二等分の条件を満たします。角の二等分線では、既にある頂点Oと交点Rの二点で向きが定まるため、Rは一つ取れば十分です。PとQからの弧は同じ開きで描き、PQの半分より大きい開きで、角の内側にあるO以外の交点を選びます。

垂線の問題へつなげるときも同じ発想です。直線l上にない点Sからlへ垂線を下ろすには、Sを中心にlと二つの交点が出る開きで弧を描き、その二点を中心に等距離の交点をlのSと反対側に取り、Sとその交点を結びます。直線上の点から垂線を立てるときは、まずその点を中心に直線上の左右へ交点を取り、そこから等距離の交点を直線の外に作ります。どの場合も「等距離の印を二つ以上残す」が共通の型です。

よくある誤りと直し方

誤答の典型は、弧の交点を一つだけ取って線を引くことです。線分ABの両端から弧を描いたのに、紙の余白が片側にしかなく、交点が上側の一点Tだけで終わります。そのTと、線分上の適当な点を結んで「できた」とすると、中点を通らないことも、直角にならないこともあります。原因は、二等分線が「等距離の点が集まる直線」であり、その直線を決めるには異なる二点が必要だと抜けていることです。一点だけでは向きが定まりません。

直し方は明確です。同じ開きのまま、線分の反対側にも弧が交わるように描き足し、もう一つの交点Uを取ります。図3のように、正しい線はTとUを結んだ直線です。Tだけから引いた線は、たまたま中点近くを通って見えても条件を満たしたとはいえません。作図の途中で弧が短すぎるときは、開きを保ったまま弧を長く描き直し、交点が二つ見えるまで進めます。

別の誤りは、コンパスの開きを途中で変えてしまうことです。Aから描いたあと、Bへ移す前に開きをいじると、交点までの距離がA側とB側で食い違います。針を移すときは、開きをロックしたまま運ぶか、一度机に置いて開きを目で確認します。角の二等分でも、PとQから描くときの開きが違うと、交点Rが角の二等分からずれます。手順を声に出すと、「同じ開きで」「交点を二つ」の二点が抜けにくくなります。

保護者の方が横で見るときは、完成した線の美しさより、弧の交点がいくつ残っているかを一緒に数えるとよいです。交点が一つしかない答案は、その場で描き足せます。お子さまが「真ん中に見えたから」と説明したら、等距離の印がどこにあるかを指してもらい、説明が距離の言葉に変わるかを確かめます。

別題の練習

次の問題を、定規とコンパスを使う前提で考えてください。数値の答えが要る問は、指定の形で答えてください。作図の問は、取る交点の個数と結ぶ点を文で示してください。

問1。線分GHがある。垂直二等分線を作図するとき、最初にコンパスの針を置く点をGまたはHの記号で答えなさい。また、最後に定規で結ぶ点の個数を整数で答えなさい。

問2。角KLMの二等分線を作図する。頂点を中心に弧を描いて両辺との交点を二つ取ったあと、次に行う操作を、次のア〜ウから一つ選び、記号で答えなさい。ア：頂点と中点を結ぶ。イ：二つの交点を中心に同じ開きで弧を描き、その交点と頂点を結ぶ。ウ：両辺に直角になる線を一本引く。

問3。直線m上にない点Wから、mへ垂線を下ろす。Wを中心に描いた弧がmと交わる点の個数として適切なものを、2または1または0のうちから整数で答えなさい。

問4。線分ABの長さが6 cmのとき、垂直二等分線を描くためのコンパスの開きについて、次のア〜ウから適切なものを一つ選び、記号で答えなさい。ア：開きを必ず3 cmちょうどにする。イ：開きを3 cmより大きくし、両端から弧が二箇所で交わるようにする。ウ：開きを6 cmより大きくし、一端だけを中心に円をかく。

問5。点A、Bから同じ開きで弧を描き、交点P、Qを取って直線PQを引いた。この直線が線分ABの垂直二等分線になる理由を、「等しい距離」という言葉を用いて一文で書きなさい。

答えと解き方

問1の答え。最初に針を置く点は線分の端点GまたはH、最後に結ぶ交点の個数は2です。順に書くと、端点から始め、結ぶ点は2個です。一方の端から弧を描き、同じ開きでもう一方の端から弧を描き、できた二つの交点を結びます。交点を1個しか取らない手順は不十分です。

問2の答え。イです。頂点を中心に取った二つの交点から、同じ開きで弧を描いてできた交点と頂点を結びます。アは中点がまだない段階で結べません。ウは角の二等分ではなく垂線の発想です。

問3の答え。2です。垂線を下ろす定石では、点Wを中心とする弧が直線mと二つの点で交わる開きを選びます。交点が1つだと、その先で等距離の交点を左右対称に取れません。0個は弧が直線に届いていません。

問4の答え。イです。開きは線分の半分より大きい必要があり、3 cmちょうどに固定する必要はありません。6 cmより大きく一端だけを中心に円をかく方法では、両端からの等距離条件が作れません。自作の長さ6 cmは検算用の場面であり、制度の数字ではありません。

問5の答え例。PもQもAからの距離とBからの距離が等しいので、PとQを結ぶ直線はAとBから等しい距離にある点の集まりになり、線分ABの垂直二等分線になる、です。距離が等しいことの言い換えが抜けていると不十分です。

覚えておくこと

• 作図の芯は、コンパスが保つ等しい距離である。
• 垂直二等分線は、線分の両端から同じ開きで弧を描き、交点を二つ結ぶ。
• 角の二等分線は、頂点からの弧で両辺の点を取り、その二点から同じ開きの交点と頂点を結ぶ。
• 両端から描いた弧だけで垂直二等分線を決めるときは、弧の交点を二つ取ります。
• 開きを途中で変えない。針を移す前に開きを確かめる。

つまずきの見分け方と個別指導で確かめる箇所

つまずきが見える瞬間は、弧を短く描いて交点が一つしか残らないときです。本人に「今、等しい距離の印はいくつあるか」と聞き、二つ答えられないときは手順の途中で止まっています。個別指導では、線分の垂直二等分線をその場で描いてもらい、針を置いた点、開いた大きさ、交点の個数、最後に結んだ二点を順に説明してもらいます。説明が「真ん中に見えた」で終わるときは、距離の言葉に直るまで同じ線分でやり直します。角の二等分でも、両辺上の点から同じ開きだったかを指差して確認します。定規を当てる前に、垂直二等分線なら弧の二交点、角の二等分線なら頂点と弧の交点を選べたか確認します。

交点を二つ取ってから結ぶ。等しい距離が、垂直二等分線の向きまで決める。