数検5級 平面図形の移動—対応する点と向きをそろえて移動後を描く練習｜武蔵野個別指導塾

軸までの距離や回転の中心を手掛かりに三角形の頂点を移し、移動後の位置を逆の操作で確かめましょう。

よくあるのは、受験者が対称移動を平行移動と同じ向きで写す場面です。三角形の左端を右へ動かしたので、残りの頂点も同じだけ右へ動かすと、形は保たれていても鏡に映した形にはなりません。どの点がどこに移るかを先に決め、結ぶ順序まで追うと、見た目に頼らず判断できます。

ここでは平行移動、対称移動、回転移動を扱います。図形全体を一度に眺めて悩むときは、頂点を一つ選び、移動の条件をその点に使うところから始めます。

図形を動かす問題の見分け方

1つ目の型は、向きと距離を指定して図形を平行移動する問題です。例えば「右へ3 cm、上へ2 cm」とあれば、どの頂点も同じ向きに同じ距離だけ動きます。右に動かす量と上に動かす量を別々に追い、移した点を元と同じ順に結びます。辺の長さが同じでも、動かす向きが違えば条件に合いません。

2つ目は、直線を軸にした対称移動です。軸を鏡として、点とその移った先が軸から等しい距離にあるようにします。移動前後の点を結ぶ線は軸に垂直です。移動の距離は点によって変わるので、1つの頂点の動きを残りの頂点にそのまま使えません。

3つ目は、中心と角度を指定した回転移動です。中心からの距離を変えずに、指定の向きと角度だけ各点を回します。時計回りか反時計回りかも条件です。どの型でも、答えは形が似ているだけでは足りず、指定された移動で各頂点が対応する必要があります。

対応する点に目印をつける

移動前の点をA、移動後の対応する点をA′と書きます。BからはB′、CからはC′へ対応させます。図1のように、平行移動では各点を結ぶ矢印の向きと長さが同じです。三角形の辺ABは辺A′B′に、辺BCは辺B′C′に対応します。

図1では頂点ごとの矢印が同じ方向に伸びています。頂点を結ぶ前に、矢印が平行で同じ長さかを確認します。平行移動では図形の裏返しや回転は起こらず、辺の向きも保たれます。移動の途中で図形が元の位置に重なっても、終わりの点が条件に合っていればかまいません。

対称移動の軸は、対応する2点を結ぶ線分を垂直に二等分します。つまり軸との交点から両側の点までの距離が等しく、軸と線分が直角に交わります。軸上にある点は移動後も同じ位置です。軸に近い点ほど移動する距離は短く、軸から離れた点ほど長くなります。

回転移動では、中心と元の点を結ぶ線分を考えます。その長さを保って、中心のまわりに指定された角度だけ動かした先が対応点です。中心にある点は動きません。移動前後の2本の線分が作る角だけでなく、回る向きも読むことが必要です。180度の回転なら両方向とも同じ位置に着きますが、90度では区別しなければなりません。

どの移動も、対応する辺の長さや角の大きさを保ちます。ただし、合同な図形が描けただけで正しい移動とは限りません。軸や中心、指定された向きとの関係を点ごとに確かめます。対応を示す記号は、形が重なって見えにくいときにも役立ちます。

図形の一部が軸をまたいでいる場合も、各点について軸の反対側を探します。左側にある点は右側へ、右側にある点は左側へ移り、軸上の点はその場に残ります。左右のうち一方へ図形全体を押し出す操作ではありません。辺が軸と交わる場合は、その交点も移動後に同じ位置に残ります。

回転では中心が図形の外にあっても、図形の頂点にあっても同じ決まりを使います。例えば頂点が中心と重なる場合、その頂点は動かず、ほかの頂点がそのまわりを回ります。中心から点までの長さが保たれるという条件は必要ですが、円周上には候補がたくさんあります。角度と向きも使って初めて移動先が決まります。

図を描くときは、薄い補助線で対応点を探し、最後に必要な辺をはっきり結びます。補助線の交点を別の頂点と取り違えないよう、元の記号に印を付けた名前を対応先に書きます。形だけで点を選んだときは、対応する辺の両端が正しいかまで戻って確かめます。

基本例題：軸をはさんで三角形を写す

方眼の1目盛りを1 cmとします。縦の直線を軸として、その左側に点A、B、Cがあります。Aは軸から左へ1 cmで高さは下の基準線から1 cm、Bは左へ4 cmで高さは1 cm、Cは左へ1 cmで高さは3 cmです。三角形ABCを軸に関して対称移動し、対応する頂点をA′、B′、C′として位置を描き、それぞれの軸からの距離と高さをcmの整数で答えます。

図2のように、まずAから軸に垂直な線を引きます。軸は縦なので、垂直な線は横向きです。Aから軸まで1 cmですから、軸の反対側にも同じ1 cmを取ります。そこがA′で、高さは元のAと同じ1 cmです。

次にBを移します。Bから軸までは横に4 cmあるので、軸の右側に4 cm取ります。B′の高さは1 cmです。AとBでは軸までの距離が違うため、Aが右へ2 cm動いたからといってBも右へ2 cm動かすことはできません。

最後にCを移します。Cは軸から左へ1 cm、高さ3 cmなので、C′は軸から右へ1 cm、高さ3 cmです。A′、B′、C′をこの順に結ぶと、求める三角形ができます。答えを整理すると、右側での軸からの距離と高さはA′が1 cmと1 cm、B′が4 cmと1 cm、C′が1 cmと3 cmです。

検算では逆向きにたどります。A′から左へ軸まで1 cm、さらに1 cm進むとAです。B′からは4 cmずつ、C′からは1 cmずつ進むとそれぞれ元の点に戻ります。各線分は横向きで縦の軸に垂直です。さらにABとA′B′はいずれも3 cm、ACとA′C′はいずれも2 cmです。辺の対応も合っています。

ここで高さを軸からの距離と混同すると、C′を下の基準線の近くに置いてしまいます。対称の軸に垂直な距離は横に測り、高さはそのまま保つという役割の違いを、点を打つたびに確認します。図形が軸の反対側へ移ったことだけでは十分ではありません。

少し難しい例題：移動を続ける

方眼上の点Pは、点Oから右へ2 cm、上へ1 cmの位置にあります。PをOを中心に反時計回りに90度回し、その点をQとします。さらにQを右へ3 cm平行移動した点をRとします。Oを基準としてQとRがそれぞれ左右に何cm、上下に何cmの位置か、整数で答えます。

まずPへの道を右へ2 cm、上へ1 cmと分けます。反時計回りに90度回すと、右向きの2 cmは上向きに、上向きの1 cmは左向きになります。したがってQはOから左へ1 cm、上へ2 cmです。2つの移動を同時に考えず、回転後のQをいったん打つことが分かれ目です。

次にQから右へ3 cm進みます。左へ1 cmの位置から軸となるOの真上まで1 cm、そこからさらに右へ2 cmです。RはOから右へ2 cm、上へ2 cmです。上への距離は横向きの平行移動では変わりません。

逆にRから左へ3 cm戻すとQになり、QをOのまわりに時計回りに90度回すとPに戻ります。OからPまでの右向き2 cmと上向き1 cmは、逆回転でそれぞれ再現されます。回転の中心をQに変えたり、右へ3 cm動かしてから回したりすると、指定された順序とは別の操作になります。途中の点にも名前をつけると、順序を守りやすくなります。

誤答を直す：全頂点を同じ距離で動かす

基本例題でAを右へ2 cm動かした後、BとCも右へ2 cm動かしたとします。Aは正しい位置に着きますが、Bはまだ軸の左側にあり、Cは正しいC′の位置に着きます。図3のように、Bの移動距離は軸までの4 cmの2倍でなければなりません。

原因は、1点に必要だった移動を図形全体の移動の規則だと考えたことです。右へ2 cmという操作は平行移動としては成立しますが、この三角形の対称移動にはなりません。Bから誤った点までの中点は軸上になく、軸に関して両側が等距離という条件を満たさないからです。

修正するときは誤ったBの像を消し、Bから横に軸まで4 cm、さらに右側へ4 cm進めます。図3では正しいB′から逆に4 cmずつ戻れば元のBに着きます。同じ距離で動かした形も元と合同ですが、合同かどうかと軸について対称かどうかは別の検査です。

逆に、平行移動で頂点ごとに違う距離を取ると、辺の長さや向きが変わることがあります。回転移動では中心からの距離が合っていても、時計回りと反時計回りを逆にすれば別の点です。答えを見直す際には、形を先に直そうとせず、問題に書かれた移動の条件に戻ります。

練習：点を移してから結ぶ

次の各問は自作の問題です。方眼の1目盛りは1 cmとし、指定された位置を整数のcmで答えます。各問の点は同じ名前でも別の点です。図を描く場合は移動前後の点に名前を付け、移動後の頂点を元と同じ順に結びます。

1. 点A、B、Cは基準点Oからそれぞれ右へ1 cm上へ1 cm、右へ4 cm上へ1 cm、右へ1 cm上へ3 cmにあります。三角形ABCを左へ2 cm、上へ3 cm平行移動します。各頂点の移動後の位置をOからの左右と上下で答えます。
2. 縦の直線を軸とし、点Dは軸の左へ3 cmで基準線から上へ2 cm、点Eは軸上で基準線から上へ4 cmにあります。2点を軸について対称移動した位置を、軸からの左右と基準線からの高さで答えます。
3. 点Fは点Oから右へ3 cm、下へ2 cmです。FをOのまわりに時計回りに90度回した点の位置を、Oからの左右と上下で答えます。
4. 点Gは点Oから左へ2 cm、上へ3 cmです。GをOのまわりに180度回した後、下へ1 cm平行移動します。最後の点の位置をOからの左右と上下で答えます。

答えと確かめ方

1. A′は左へ1 cm、上へ4 cm、B′は右へ2 cm、上へ4 cm、C′は左へ1 cm、上へ6 cmです。Aは右へ1 cmの位置から左へ2 cm動くため、Oの左側に1 cm出ます。各点から逆に右へ2 cm、下へ3 cm進めると、問題で与えられたA、B、Cに戻ります。例えばB′は右へ2 cmの位置から右へ2 cm、上へ4 cmの位置から下へ3 cmで元の位置です。3点が同じ向きと距離で動いたことも確かめられます。

2. D′は軸の右へ3 cmで高さ2 cm、E′は軸上で高さ4 cmです。DとD′の中点は軸上にあり、両点を結ぶ横線は縦の軸に垂直です。D′から軸へ3 cm、さらに左へ3 cm進むとDに戻ります。Eは軸からの距離が0 cmなので、その位置が変わらないことにも注意します。軸上の点を反対側へ押し出す必要はありません。

3. 答えは左へ2 cm、下へ3 cmです。右向き3 cmを時計回りに90度回すと下向き3 cm、下向き2 cmを同じように回すと左向き2 cmになります。答えから反時計回りに90度戻すと、左向き2 cmは下向き2 cmに、下向き3 cmは右向き3 cmになり、元のFの位置を再現します。回る方向を逆にすると、元の条件に戻す検査で食い違います。

4. 答えは右へ2 cm、下へ4 cmです。180度の回転後は右へ2 cm、下へ3 cmです。そこから下へ1 cm進めます。最後の点から上へ1 cm戻し、Oを中心に180度回すと左へ2 cm、上へ3 cmとなってGに戻ります。最後の平行移動を戻してから回転を戻す順序が、元の操作を逆にたどる順序です。

覚えておくこと

平行移動は、各点を同じ向きに同じ距離だけ動かします。
対称移動は、軸に垂直な方向で両側の距離を等しくします。
回転移動は、中心からの距離を保ち、指定の向きと角度で回します。
対応点を元の順に結び、逆向きに戻して条件を確かめます。

どこで迷ったかを確かめる

お子さまが移動後の図を描けなかったときは、最初に選んだ頂点とその移し方を説明してもらいます。軸までの距離を測れないのか、反対側に同じ距離を取れないのかで、次に練習する操作が変わります。描けた場合も、対応する点を結ぶ線が軸に垂直かを尋ねると、見た目だけで決めていないかを確かめられます。

個別指導では、回転前後を中心と結んだ2本の線を示してもらい、距離と回転方向のどちらを根拠にしたかを聞きます。複数の移動なら、途中の点をどこに置いたかも確認します。図形の形と移動の条件を照らし合わせると、誤った点を自分で直せます。