高校地学 連星と変光星—光度曲線の形から周期と星の関係を読み解く｜武蔵野個別指導塾

深い谷と浅い谷の時刻から公転周期を求め、食で隠れる光の寄与と脈動による変化を区別します。

よくあるのは、高校生が光度曲線の深い谷から次の浅い谷までを公転周期とする場面です。谷が現れるたびに同じ配置に戻ったのでしょうか。2つの星の前後が入れ替わった配置なら、見かけは似ていても同じ状態ではありません。明るさの時間変化を手がかりに、繰り返しの単位と、その背後にある星の関係をたどります。

要点（結論から）

• 同じ種類の谷の繰り返しと、隣り合う谷の間隔を区別します。
• 食の深さは隠された部分から届く光に関係します。
• 光度比だけでは半径と温度の組を一意に決められません。

曲線に出会ったときの3つの問い

第1の型は周期の読解です。横軸の時刻と縦軸の量を確かめ、同じ形の谷から次の同じ形の谷まで測ります。深さの異なる谷が交互にある場合、隣り合う谷の間隔と曲線全体の周期を区別します。食が2回あるという条件を確かめず、谷の間隔をいつでも2倍することもできません。

第2の型は明るさの収支です。食のないときは2星から届く光を足し、食のときは隠された部分から届く光を引きます。ここで使うのは観測者に届く放射束です。恒星そのものの全放射光度と名前が似ていますが、観測量と星の性質を混同しないようにします。

第3の型は原因の比較です。星が互いに隠し合う食連星でも、星自身の大きさや温度が変わる脈動変光星でも明るさは変化します。曲線の形だけから候補を考えることはできますが、単独の観測で原因や半径を断定できるとは限りません。色やスペクトルの時間変化を合わせ、どの説明が資料と両立するか調べます。

隠れる光と変わる星

連星は、互いの重力のもとで共通の重心の周りを運動する2つの恒星です。視線方向の位置関係によって、片方がもう片方の手前を通ることがあります。食が起きるには軌道の向きと星の大きさが適切である必要があり、連星が必ず食を示すわけではありません。離れて見えない場合も、両星の光の合計が時間によって変わることがあります。

図1のように、同じ2星でも前後が入れ替わると隠される面が変わります。図は模式図で、星や軌道の縮尺は実寸比ではありません。深い谷を主極小、浅い谷を副極小と呼びます。谷の深さは隠される領域の面積と、その領域の単位面積あたりの明るさなどに依存します。深い谷で手前にある星が必ず大きい、あるいは隠れた星の全光度が必ず大きい、と曲線だけで決めることはできません。

図1の配置では、手前の円が奥の円の一部を隠すと考えます。観測者に届く2星の光のうち、奥の星の隠れた部分の寄与が減ります。実際には星の表面の明るさの分布や形状も曲線に影響します。単純な問題では、それらを無視する条件を置いて計算します。

一方、脈動変光星では星自身が膨張と収縮を繰り返し、表面温度も変化します。全放射光度Lは半径Rと絶対温度Tを使い、放射の近似が成り立つときL ∝ R²T⁴と表せます。球の表面積が半径の2乗に比例し、単位面積からの放射が温度の4乗に比例するためです。半径が増えても温度が下がれば、光度が必ず増えるとは限りません。

同じ光度の変化を、半径と温度の異なる組み合わせで説明できることを縮退といいます。例えば基準に対し半径が4倍、温度が半分なら、光度比は4²・(1/2)⁴で1です。半径も温度も変わらない場合も光度比は1です。光度の値だけでは、この2つを区別できません。可視光の明るさと全波長の光度も同じとは限らず、波長帯を指定して比較します。

食連星の周期を読むときは、深い谷と浅い谷を別の印として記録します。同じ深さの谷が繰り返しても、それだけで公転周期が確定するとは限りません。2回の食が同じ深さと形に見える場合には、見かけの明るさの繰り返しが公転周期の半分になる可能性があります。逆に、欠測や測定誤差で谷が見落とされると、真の繰り返しを長く読む恐れもあります。

例題1　交互の谷を追う

自作の資料で、ある食連星の放射束を同じ波長帯で連続的に測ったところ、深い谷の中心が時刻0日、8日、16日、浅い谷の中心が4日、12日でした。深い谷と浅い谷はそれぞれ同じ形で繰り返し、この区間に他の食はありません。1公転につき深い食と浅い食が1回ずつ起こるとします。公転周期を日単位の整数で求め、隣の谷の間隔と区別してください。

図2のように、同じ種類の谷を結んで時間を読みます。図は問題の谷の中心を示す模式図で、谷の形の細部は測定値ではありません。

深い谷を目印にすると、次の深い谷までの差は次のとおりです。

8 − 0 = 8日

16 − 8 = 8日

浅い谷でも12 − 4 = 8日です。条件から1公転に各食が1回なので、公転周期は8日です。隣の深い谷と浅い谷の間隔は4日ですが、前後の配置が入れ替わった段階であり、1公転には達していません。

答えを場面に戻すと、時刻0日の深い食から8日後と16日後に同じ種類の食が起こります。時刻4日の浅い食も8日後の12日に戻り、資料と一致します。別の読み方として、深い谷と浅い谷の組を1組として見ても、0日と4日の組が8日後に繰り返します。等間隔の谷が現れたことだけで周期を決めず、谷の種類と問題の条件を使います。

例題2　隠された部分の寄与

自作の食連星について、同じ波長帯の放射束を任意単位で表します。食のないとき星Aから8、星Bから3が届きます。ある食では、Aの見える面からの寄与の1/4がBに隠され、Bの寄与は変わりません。食の最中の合計放射束と、食のないときに対する割合を、それぞれ整数と既約分数で求めてください。隠される部分は一様な明るさとします。

食のないときの合計は、2星の寄与を足します。

8 + 3 = 11

隠されるAの寄与は次のとおりです。

8・1/4 = 2

食の最中に届く合計は次のとおりです。

11 − 2 = 9

求める割合は9/11です。別の方法では、残ったAの寄与6にBの寄与3を足して9とします。答えの9に失われた2を戻すと11となり、食のないときの条件を再現します。割合も11・9/11 = 9となります。

ここで1/4は星Aの半径の割合ではなく、Aから届く光のうち隠される割合です。一様という条件がない場合、面積の1/4が隠れても、届く光のちょうど1/4が失われるとは限りません。またBが手前にあるという情報から、Bの全光度や温度を単独で決めることもできません。

例題3　同じ光度を生む別の変化

自作の脈動星のモデルで、基準時の半径をR、絶対温度をT、全放射光度をLとします。別の時刻の半径が2R、温度がT/2であるとき、全放射光度をLの何倍か既約分数で求めてください。両時刻でL ∝ R²T⁴が成り立つとします。さらに、同じ光度比を半径が変わらないモデルでも作れるか考えます。

光度比は半径比の2乗と温度比の4乗の積です。

半径比の2乗 = 2² = 4

温度比の4乗 = (1/2)⁴ = 1/16

光度比 = 4・1/16 = 1/4

したがって1/4倍です。半径が変わらないモデルでも、温度比を1/√2とすれば、その4乗は1/4です。半径比の2乗は1なので、同じ光度比が得られます。どちらの組も元の関係に戻すと1/4になり、光度比だけでは2通りを区別できません。

観測を設計するなら、まず同じ装置と波長帯で、予想される複数周期にわたって時刻と明るさを記録します。谷の前後だけでなく、谷と谷の間も測り、取り逃しを減らします。比較に使う星や背景の扱いをそろえ、測定のばらつきを各点に付けると、深さの差が誤差に比べて十分大きいか検討できます。色の変化やスペクトルの周期的な変化を別に測れば、食と脈動を見分ける材料が増えます。観測や実験は学校の指導の下で行います。

測定が途中で中断した場合、離れた2点の差をそのまま周期とせず、欠測区間に別の谷が入る可能性を残します。時刻の記録が壊れて順番が不明なら、周期を計算する前に記録を照合します。装置の変動や雲による暗化が疑われるときは、比較星や別の観測を調べてから天体の変化と判断します。候補が複数残る結果も、失敗として数値を作るのではなく、次に必要な観測を示す結論です。

間違えた線を引き直す

図3のように、深い谷から隣の浅い谷までを周期と書いた答案を考えます。2つの谷は別の配置に対応するので、その線は隣接する食の間隔です。同じ種類の谷まで線を延ばし、さらに1公転中の食の回数という条件を確認します。図は模式図で、時刻の縮尺は例題1と同じです。

別の誤りは「暗い谷では光度が小さい星が隠れる」という決め方です。深さは隠された部分から届く光で決まり、星全体の光度だけでは定まりません。食の前後の合計と、隠れる部分の寄与を別々に書けば、どの量が必要か見えます。

さらに、明るさが周期的に変わることから食連星と断定する答案もあります。脈動でも周期的な変化は生じます。曲線が食を示唆しても、色やスペクトルの変化と照合し、複数の説明を残す姿勢が必要です。観測量に等級が使われる場合は数値が小さいほど明るいので、放射束のグラフと縦方向の意味が逆になることにも注意します。

練習　資料を読んでから答えを確かめる

次の5問は自作の条件です。観測される明るさは、断りのない限り同じ波長帯の放射束で、時刻の単位は日です。

1. 深い谷の中心が3日、15日、浅い谷が9日、21日にあります。1公転に各食が1回起こり、他の食はありません。公転周期を整数の日数で求めてください。
2. 食のないとき2星の放射束はそれぞれ12と5です。前者の寄与の1/3が隠れ、後者は変わりません。食の最中の合計と元に対する割合を、整数と既約分数で求めてください。
3. ある脈動星の半径が基準時の3倍、絶対温度が同じとします。全放射光度は半径の2乗と温度の4乗の積に比例します。光度比を整数で求めてください。
4. ある変光星の谷が2日、7日、12日に同じ深さと形で現れました。隣の谷の間隔を整数の日数で求め、これだけで公転周期を決定できるか、2つの食という語を使って答えてください。
5. ある観測では、暗くなる間に色も周期的に変化しました。脈動と食のどちらかを確定する前に必要な資料を1つ挙げ、色の変化という語を使って理由を述べてください。

練習の答えと戻し方

1. 深い谷の差は15 − 3 = 12日、浅い谷の差も21 − 9 = 12日です。条件より公転周期は12日です。3日に12日を足すと15日、9日に12日を足すと21日となり、両方の観測時刻に戻ります。隣の谷までの6日は配置の交代までの間隔です。

2. 食のないときは12 + 5 = 17です。隠れる寄与は12・1/3 = 4、残る合計は17 − 4 = 13です。割合は13/17です。13 + 4 = 17、17・13/17 = 13となり、元の合計と食の最中の値を再現します。答えは13と13/17です。

3. 半径比の2乗は3² = 9、温度比の4乗は1⁴ = 1です。光度比は9・1 = 9倍です。温度を固定したまま半径比3を式に戻すと9倍となり、問題の関係に合います。半径が3倍でも表面積は3倍ではないことが要点です。

4. 間隔は7 − 2 = 5日、12 − 7 = 5日です。明るさの繰り返しは5日ですが、公転周期はこの資料だけでは決定できません。1公転に似た2つの食があれば、公転周期が10日でも5日ごとに谷が現れます。2日に10日を足すと12日で、途中の7日にも食があるという資料に合います。1公転に1回の食という別の条件なら5日も候補です。

5. 例として、時間ごとのスペクトルを追加します。色の変化は脈動による温度変化でも、異なる色の星が食で隠れる場合でも生じうるため、色だけでは原因を確定できません。スペクトルの変化が周期とどう対応するかを調べ、複数のモデルと照合します。資料を加えても識別できない場合は、結論を保留して別の波長帯や時刻を増やします。

要点のしおり

• 同じ種類の谷の繰り返しと、隣り合う谷の間隔を区別します。
• 食の深さは隠された部分から届く光に関係します。
• 光度比だけでは半径と温度の組を一意に決められません。
• 周期や原因の候補は、欠測と追加資料を含めて検討します。

答案のどこで立ち止まるか

個別指導では、まず生徒が曲線上に周期を示す線を引き、その両端にどの食かを書けるかを確かめます。線の長さだけが合っていても、同じ配置に戻る根拠が説明できなければ、谷の種類と1公転中の回数に戻ります。放射束の問題では、2星の合計、隠れた寄与、残りの順に量の意味を口に出して点検します。

半径と温度の問題では、倍率を先に書き、2乗と4乗を別に計算してから掛けます。結果を元の条件に戻し、別の組でも同じ値になるか試すと、光度曲線から推論できる範囲が見えてきます。谷の形を配置と結び、残る不確かさまで書いた答案が、連星と変光星の読み取りを支えます。