高校物理 単スリットの回折—幅と波長の比から暗線の条件と中央の広がりを読む｜武蔵野個別指導塾

波面を対に分けて暗線を導き、中央明部が暗線間隔の2倍になる理由をたどる単スリットの回折。

よくあるのは、高校生が暗線の間隔を中央明部の幅と同じにする場面です。スクリーン上の明るい部分を見れば、幅を測りたくなります。しかし中央には0次の暗線がありません。中央を挟む最初の暗線をそれぞれ選び、中心から片側までの距離を2倍する必要があります。波がスリットの幅全体から届くことを出発点に、暗くなる方向と画面上の位置をつなげます。

どの距離を求めるのか

単スリットに単色光を正面から当てると、正面に広い明部があり、その両側に暗い位置が現れます。問われる型は、幅と波長から暗線の角度を求める問題、スクリーンまでの距離から暗線の位置を求める問題、測定された広がりからスリット幅を逆算する問題です。まず角度の条件を立て、次に必要な場合だけ位置に直します。

中心から最初の暗線までの距離を片側の半幅と呼びます。中央明部の幅は左右の最初の暗線の間の距離です。小角近似が成り立つとき、同じ側で隣り合う暗線の間隔は半幅に等しく、中央明部はその2倍です。この比は、中央に暗線があると誤認すると失われます。角度が大きい場合には位置と次数が比例しないため、2倍という距離の関係にも注意が必要です。

幅全体を対にして暗線を作る

スリットの幅を a、光の波長を λ とします。幅の方向を縦に取り、正面から角 θ だけ傾いた方向を考えます。入射波はスリット面で同位相とし、観測点はスリットに比べ十分遠く、各点から観測点へ向かう光線はほぼ平行とします。スリットの両端からその方向へ進む光の経路差は a・sin(θ) です。図1のように幅の両端を結ぶ線分を進行方向へ射影すると、この差が得られます。

図1のように、幅の上半分と下半分の対応する点を組にします。最初の暗線では両端の経路差が λ なので、半幅離れた各組の経路差は λ/2 です。各組の波は逆位相で、等しい振幅とみなせる遠方では打ち消し合います。端の2点だけが消えるという説明ではなく、幅全体の各点を対応させることが肝心です。

次の暗線は幅全体の経路差が 2λ の方向です。幅を4等分し、隣り合う区画を2区画ずつ組にします。組の中で対応する点の経路差が λ/2 となり、それぞれが消えます。一般に正の整数 m に対して幅を 2m 等分すれば、同じ議論から暗線の条件は

a・sin(θ) = m・λ　（m = 1, 2, 3, …）

です。反対側にも対称な暗線があります。m = 0 では全点が同位相であり、この分割による打ち消しは起きません。0を暗線の次数に含めない理由です。この条件で暗線があることは示せますが、暗線の間の明るさの詳しい分布や副次的な明部の極大位置はこの議論だけでは求めません。

スクリーンをスリットから距離 L の位置に置き、正面の中心からの距離を y とすると、幾何から tan(θ) = y/L です。L が a より十分大きく、さらに y が L より十分小さいとき、sin(θ) ≒ tan(θ) ≒ y/L とできます。したがって片側の m 番目の暗線は yₘ ≒ m・λ・L/a、中央明部の幅は 2λ・L/a です。λ と a は同じ長さの単位にそろえます。距離の式は近似であり、角度の条件そのものと区別します。

基本例題：片側の距離から全幅へ

幅 0.20 mm のスリットに波長 500 nm の単色光を正面入射させます。スクリーンは 2.0 m 先にあり、遠方および小角近似を用いてよいものとします。片側の最初の暗線までの距離と中央明部の幅を、mm で有効数字2桁で求めてください。

図2のように、中心から上側の暗線までを y₁ とし、反対側も同じ距離にあります。図2では2つの半幅を加えて中央明部の幅を読みます。

a = 0.20 mm = 2.0・10⁻⁴ m、λ = 500 nm = 5.0・10⁻⁷ m です。最初の暗線には m = 1 を入れます。

sin(θ₁) = λ/a = (5.0・10⁻⁷)/(2.0・10⁻⁴) = 2.5・10⁻³

y₁ ≒ L・sin(θ₁) = 2.0・2.5・10⁻³ = 5.0・10⁻³ m = 5.0 mm

中央明部の幅 = 2y₁ = 10 mm

片側の角度は小さく、y₁/L = 0.0025 なので近似の前提とも整合します。答えを戻すと y₁/L = 0.0025、これに a を掛けた経路差は 5.0・10⁻⁷ m で波長に等しくなります。10 mm を片側に取ると中央から暗線を2本分進むことになり、求めた全幅とは違います。

標準例題：広がりから幅を決める

遠方のスクリーンまでの距離を 1.5 m に固定し、波長 600 nm の単色光を正面入射させます。中央明部の両端の暗線の間が 18 mm でした。小角近似を用いてスリット幅を mm で有効数字2桁で求めてください。

片側の距離は 18/2 = 9.0 mm です。y₁ ≒ λ・L/a を a について解けば、

a ≒ (λ・L)/(y₁) = (6.0・10⁻⁷・1.5)/(9.0・10⁻³) = 1.0・10⁻⁴ m = 0.10 mm

です。別の方法では全幅 W を初めから使い、W ≒ 2λ・L/a と立てても同じです。0.10 mm を代入すると片側 9.0 mm、全幅 18 mm に戻ります。y₁/L = 0.0060 なので小角近似の条件にも合います。幅を半分にすると各点間の経路差が同じ値に達するにはより大きな角度が必要となり、中央明部は広がります。

発展例題：小角近似を使わない

幅 a が波長 λ の4倍のスリットに、単色光を正面入射させます。遠方近似は使えますが小角近似は使わないものとし、スクリーンまでの距離を 12 cm とします。最初の暗線の中心からの距離と中央明部の幅を根号を含む cm で求めてください。スクリーンはスリット面に平行とします。

暗線の条件より sin(θ₁) = 1/4 です。θ₁ は0°より大きく90°より小さいので、直角三角形から cos(θ₁) = √15/4、tan(θ₁) = 1/√15 です。従って y₁ = 12/√15 cm、中央明部の幅は 24/√15 cm です。y₁/L = 1/√15 を三角形に戻すと、斜辺を4、対辺を1とでき、sin(θ₁) = 1/4 が再現されます。

ここで y₁ = L/4 とすれば sin と tan を等しいと置いたことになります。その近似が許されるかは問題の条件で判断します。また a・sin(θ) = m・λ は sin(θ) が1以下である方向に限られます。m・λ > a ならその次数の実数の角度はなく、等号は90°の限界方向で、有限の距離にある平行なスクリーンの有限位置には対応しません。

角度の条件と画面の端

暗線の次数を数えるときには、まず m・λ/a が1未満かを調べます。条件を満たす角度があっても、スクリーンが小さければその点が画面の外に出る場合があります。角度の存在と、実際の画面に収まることは別の条件です。画面の中心から端までの距離を R とすると、片側の暗線が画面内にある条件は L・tan(θₘ) ≤ R です。等号はちょうど端に重なる場合を表します。

また、左右の位置が中心に対して対称になるのは、正面入射で配置が対称という仮定によります。入射が傾いた配置では、ここで使った中心からの対称な距離をそのまま当てはめません。問題の図に角度が記されているときは、スリット面への法線から測っているかを先に確かめます。波長を変えたときの比較でも、媒質が同じという条件を保ち、その媒質中の波長を使います。

測定の設計とグラフ

紙上で測定を設計するなら、波長と距離を固定し、幅の異なるスリットごとに左右の最初の暗線の位置を記録します。左右の座標を x左、x右 とすると、中央明部の幅は x右 − x左 です。原点の置き方に多少のずれがあっても差には共通のずれが入りません。反対に片側だけを測ると中心の位置の読み違いが結果に直接入ります。

小角近似の範囲では、横軸を 1/a、縦軸を中央明部の幅 W としたグラフは原点を通る直線で、傾きは 2λ・L です。軸の単位をそろえて傾きを読み、幅ではなく逆数を横軸に取ったことを確認します。幅 a を横軸に取れば反比例する曲線です。原点を通る直線を無条件に期待するのではなく、近似の範囲と測定のばらつきを先に点検します。

暗線が太く見えるときは、同じ基準で左右の最も暗い位置を読み、複数回測った幅の散らばりを比べます。スリット幅の表示誤差、スクリーンの傾き、波長の混在も結果に影響します。スクリーンの距離 L を増やせば幅は増え、位置の読み取りやすさは上がりますが、光が弱くなれば暗線の判定が難しくなることもあります。回折像を観察する実験では、学校で指導を受けて光源を扱い、観察中も光が目に直接届かない配置を守ります。

間違えた式から戻る

基本例題で「暗線の間隔が 5.0 mm だから中央明部も 5.0 mm」としたとします。図3のように、同じ側の第1暗線と第2暗線の間は 5.0 mm ですが、中央明部の端は左右の第1暗線です。図3では中央をまたぐ区間が2区間分あることを確かめます。

原因は、次数を並べたとき中央に0次暗線を置いてしまうことです。修正するときは中心を先に印し、左右に第1暗線、第2暗線を順に書きます。中央から片側の第1暗線までは 5.0 mm、反対側も 5.0 mm なので全幅は 10 mm です。次数の式に m = 0 を代入して暗線と判断する操作も、波面分割の前提に戻れば避けられます。

別の誤りはスリット幅を大きくしたとき、光が通る範囲も広くなるから回折像も広がると判断することです。暗線の方向は開口の幾何学的な幅そのものではなく、幅全体で波長分の経路差が生じる角度で決まります。同じ波長なら幅が広いほど必要な角度は小さくなります。

練習：条件を描いてから計算する

各問で単色光は正面入射し、遠方近似と、指定された場合の小角近似を用います。途中で丸めず、指定の形で答えてください。

1. 幅 0.30 mm、波長 600 nm、スクリーン距離 3.0 m とします。小角近似を用い、片側の第1暗線の距離と中央明部の幅を mm、有効数字2桁で求めてください。
2. 幅 0.40 mm、波長 400 nm、スクリーン距離 2.0 m とします。小角近似を用い、同じ側の第2暗線と第3暗線の間隔を mm、有効数字2桁で求めてください。
3. 波長 500 nm、距離 1.0 m のとき中央明部の幅が 4.0 mm でした。小角近似を用い、スリット幅を mm、有効数字2桁で求めてください。
4. 幅が波長の5倍です。片側の第2暗線の sin(θ) を分数で求め、片側の第6暗線が存在するか判定してください。
5. 波長とスクリーン距離を固定します。小角近似の範囲でスリット幅を元の 3/2 倍にすると、中央明部の幅は元の何倍ですか。分数で答えてください。

練習の答えと途中式

1. λ/a = (6.0・10⁻⁷)/(3.0・10⁻⁴) = 0.0020 です。片側は 3.0・0.0020 = 0.0060 m = 6.0 mm、全幅は 12 mm です。片側の距離を L で割って a を掛けると 600 nm に戻ります。
2. 暗線間隔は λ・L/a = (4.0・10⁻⁷・2.0)/(4.0・10⁻⁴) = 0.0020 m = 2.0 mm です。第2、第3の位置はそれぞれ 4.0 mm、6.0 mm で、差は 2.0 mm です。
3. 片側は 2.0 mm です。a = (5.0・10⁻⁷・1.0)/(2.0・10⁻³) = 2.5・10⁻⁴ m = 0.25 mm です。戻すと片側 2.0 mm、全幅 4.0 mm です。
4. sin(θ₂) = 2/5 です。第6暗線なら sin(θ₆) = 6/5 が必要で、1を超えるため存在しません。第2暗線の値は1以下で方向として許され、幅に掛けると経路差は 2λ です。
5. W は 1/a に比例するので 2/3 倍です。元の幅を a、変更後を 3a/2 と置くと、両者の積 a・W は同じで、逆比を確認できます。

手元に残す要点

暗線は a・sin(θ) = m・λ、m は正の整数です。 小角近似では片側の位置は yₘ ≒ m・λ・L/a です。 中央明部は左右の第1暗線の間で、幅は約 2λ・L/a です。 近似が不適切なら sin から角度を決め、y = L・tan(θ) を使います。

どこで止まっているかを見る

式に2が足りないときは、左右の暗線と中心を一列に描いてもらい、求める区間の両端を指して確かめます。単位が合わないときは nm、mm、m を同じ単位へ直した行を確認します。角度と位置を混同するときは、まず経路差の図に sin(θ)、次にスクリーンの直角三角形に tan(θ) を書き込みます。

個別指導で説明を点検するなら、半幅離れた点の組がなぜ逆位相かを言葉にし、2番目の暗線で4分割を描けるかを見ます。答えの数値を元の条件に戻して初めて、式の選択と距離の読み取りを一緒に確かめられます。中央を挟む2本の暗線が、回折像の幅を決めます。