高校数学I たすき掛けの因数分解—積と和の条件を同時に満たす組を探す｜武蔵野個別指導塾

両端を作る積と中項を作る和を別々に照合し、整数の候補を尽くして分解の可否を判断します。

高1の自習で、斜めに掛けた数が何となく合った気がして、そのまま括弧を作る場面があります。ところが展開すると、最初と最後の項は合っていても、真ん中の項が違うことがあります。たすき掛けでは、掛け算で両端を合わせた後に、交差する2つの積を足す必要があります。その理由を式からたどり、候補の探し方と確かめ方を練習します。

どの条件を合わせる問題か

整数係数の二次式を、整数係数の一次式2つの積に直す問題を考えます。例えば先頭の係数が1でない式では、定数の組だけでなく、xの係数の組も選ぶ必要があります。両方の組を決めたら、交差する積の和が中項の係数に一致するかを調べます。

出方の1つは、中項が正で定数項も正の式です。もう1つは、定数項が負で、交差する2つの積が異符号になる式です。さらに、候補を試しても一致しない場合には、探し残しがあるのか、整数係数の一次式には分解できないのかを区別します。分解できないことを示すには、いくつか失敗したというだけでは足りません。考える候補を重複なく並べ、すべてを確かめる必要があります。

ここでいう因数分解は、与えられた整式を、次数がより低い整式などの積の形に表すことです。この記事で扱うのは整数係数の二次式を整数係数の一次式2つの積にする方法です。実数係数まで広げた分解の可否とは区別します。共通因数がある式は、最初にくくり出してから残りを調べると候補が小さくなります。

4つの数から生まれる3つの条件

整数 a、b、c、d を使い、2つの括弧を (ax + b)(cx + d) と置きます。二次式を作るので a と c は0ではありません。分配法則を使い、1項ずつ掛けると次のようになります。

(ax + b)(cx + d)
= acx² + adx + bcx + bd
= acx² + (ad + bc)x + bd

この式から、先頭の係数は ac、定数項は bd、中項の係数は ad + bc です。両端の積を合わせても、ad + bc が目的の値でなければ、元の式には戻りません。図1のように、縦に並べた数の積と、斜めに交差する積の和は別々の条件です。

図1で左列を a、b、右列を c、d と見ると、上の2つの積が ac、下の2つの積が bd です。斜めには a と d、b と c を掛け、その結果を足します。図の形は計算を整理する手段であり、図を描いただけで等式が成立するわけではありません。

先頭の係数が正なら、a と c は同符号です。両方が負のときは、それぞれの括弧から負号を1つずつ出せるので、積を変えず両方の先頭を正にできます。したがって、候補を網羅するときは a、c を正の整数としてよいことになります。先頭の係数が負なら、式全体からまず負号をくくり出せます。

定数項が正なら b と d は同符号です。先頭を正にそろえた後、中項が正なら両方正、中項が負なら両方負になります。定数項が負なら b と d は異符号です。このとき中項の符号だけでは、どちらの定数を負にするか決まりません。2通りを調べ、交差する積の和で選びます。

候補を漏らさないには、まず先頭の係数を正の整数2つの積に分けます。例えば12なら 1と12、2と6、3と4 です。次に定数項の絶対値についても積の組を並べます。括弧を丸ごと入れ替えても積は同じなので、先頭の組の順序は固定できますが、その固定した並びに対して定数の左右の置き方は両方調べます。定数が同じ数の組なら左右を入れ替えても同じ候補です。

基本例題: 正の項を照合する

問題1　6x² + 11x + 3 を、整数係数の一次式2つの積に因数分解してください。

6の積の組として 3と2、3の積の組として 1と3 を試します。どちらの定数も正にして、左に1、右に3を置きます。図2のように、上段の積は6、下段の積は3です。斜めの積は9と2なので、和は11になります。

図2の配置は (3x + 1)(2x + 3) に対応します。交差する積を一方ずつ書き、最後に元の式へ戻します。

3・2 = 6
1・3 = 3
3・3 + 1・2 = 9 + 2 = 11
(3x + 1)(2x + 3)
= 6x² + 9x + 2x + 3
= 6x² + 11x + 3

したがって答えは (3x + 1)(2x + 3) です。最後の展開では、x²の係数、xの係数、定数項をそれぞれ元の式と照らしました。候補が1つ見つかれば、この問題の因数分解としては十分です。一方、最初に選んだ組が失敗したときは、式自体が分解できないと決めず、他の積の組を続けて調べます。

同じ 3と2 の先頭の組でも、定数を逆に置くと (3x + 3)(2x + 1) となります。交差する積の和は 3・1 + 3・2 = 9 です。両端の積が一致していても中項が11にならないため、この配置は答えになりません。どこで候補が外れたかを中項の計算で示せます。

標準例題: 異符号の置き方を比べる

問題2　12x² − 11x − 5 を、整数係数の一次式2つの積に因数分解してください。

先頭には3と4、定数項の絶対値には1と5を試します。定数項が負なので、定数の符号は異なります。3の側に1、4の側に5を置く場合、符号の2通りは次のように比べられます。

3・(-5) + 1・4 = -15 + 4 = -11
3・5 + (-1)・4 = 15 - 4 = 11

求める中項は -11x ですから、前者を選びます。後者は定数項こそ -5 ですが、中項の符号が逆になります。積だけで選ばず、符号込みの和を計算することが必要です。

(3x + 1)(4x - 5)
= 12x² - 15x + 4x - 5
= 12x² - 11x - 5

展開した結果が問題の3項に一致するので、答えは (3x + 1)(4x − 5) です。なお、先頭を 3と4 に決めたまま定数の大きさを5と1に入れ替えた場合も、別の候補です。この問題では既に答えが得られましたが、見つからなければ入れ替えや他の先頭の組も試します。

発展例題: 候補を尽くして判断する

問題3　6x² + x + 2 が、整数係数の一次式2つの積に因数分解できるか調べてください。できるなら積で、できないなら理由を答えてください。

仮に (ax + b)(cx + d) と表せたとします。先頭の係数が正なので、括弧を入れ替えることと両方の符号を同時に変えることにより、a、c を正にし、組を 1と6 または 2と3 に限れます。定数項が2なので、b、d は同符号で、絶対値の組は 1と2 または 2と1 です。

b、d が両方負なら、a、c が正なので ad + bc は負です。中項の係数1にはならないため、両方正の場合を調べます。各行は先頭の組を固定したうえで、定数の左右を両方試しています。

(a, c) = (1, 6), (b, d) = (1, 2): ad + bc = 2 + 6 = 8
(a, c) = (1, 6), (b, d) = (2, 1): ad + bc = 1 + 12 = 13
(a, c) = (2, 3), (b, d) = (1, 2): ad + bc = 4 + 3 = 7
(a, c) = (2, 3), (b, d) = (2, 1): ad + bc = 2 + 6 = 8

どの和も1ではありません。負の定数の組も先に除いたため、整数係数の一次式2つの積には因数分解できません。これは整数の組についての結論です。整数の候補で見つからないという事実を、そのまま別の係数の範囲に広げてはいけません。

この判断では、候補の列挙が証明の中心です。上の表の4行が必要な理由は、先頭の2通りと、定数の配置の2通りを組み合わせるからです。逆に、括弧全体を左右入れ替えただけのものは、既に調べた行と同じ積なので追加する必要はありません。負の組を除くときも、単に「正の中項だから」と済ませず、交差する積の両方が負になることを確かめます。

定数項が0のときは扱いが変わります。整数の積が0なら少なくとも一方は0ですから、無理に正負の組を並べず、全項に共通する x をくくり出します。また、中項が0のときは交差する積がともに0とは限りません。正と負の積が打ち消し合う候補もあります。和が0という条件をそのまま使います。

誤答をほどく: 端の一致で止めない

6x² + 11x + 3 に対し、(3x + 3)(2x + 1) と答えたとします。6と3をそれぞれ作る組は合っていますが、図3のように交差する積は3と6で、その和は9です。中項が 11x の問題には一致しません。

図3の配置を実際に展開すると、誤りの位置が見えます。

(3x + 3)(2x + 1)
= 6x² + 3x + 6x + 3
= 6x² + 9x + 3

修正するときは、同じ先頭の組を保ち、定数の左右を入れ替えます。すると交差する積は9と2になり、その和が11になります。常に入れ替えれば正解になるわけではありません。入れ替えても合わなければ、先頭や定数の別の積の組へ進みます。

符号の誤りも同じ方法で発見できます。負の数を含む斜めの積は、絶対値だけを足さず符号付きで書きます。2つの項を足す前に、どちらが負かを括弧と対応させると、定数項は合っているのに中項の符号が逆になる失敗を見分けられます。

練習問題

次の1〜4は、整数係数の一次式2つの積に因数分解してください。5は、整数係数の一次式2つの積に因数分解し、中項の係数が0になる理由も示してください。

1. 4x² + 12x + 5
2. 15x² − 2x − 8
3. 8x² + 2x − 3
4. 10x² − 7x + 1
5. 9x² − 16

解答と考え方

1. 先頭の係数4を 2・2、定数5を 1・5 と見ます。交差する積の和が 2・5 + 1・2 = 12 です。

(2x + 1)(2x + 5)
= 4x² + 10x + 2x + 5
= 4x² + 12x + 5

よって答えは (2x + 1)(2x + 5) です。先頭の2つが同じ場合も、定数の積と交差する積の和を別々に確認します。

2. 先頭を 3と5、定数を 2と -4 と置きます。定数の積は -8、交差する積の和は -12 + 10 = -2 です。

(3x + 2)(5x - 4)
= 15x² - 12x + 10x - 8
= 15x² - 2x - 8

答えは (3x + 2)(5x − 4) です。交差する積の係数は-12と10です。負の係数の絶対値12が正の係数の絶対値10より大きいため、和は-(12 − 10) = -2となります。

3. 先頭を 4と2、定数を 3と -1 と置きます。定数の積は -3、交差する積の和は -4 + 6 = 2 です。

(4x + 3)(2x - 1)
= 8x² - 4x + 6x - 3
= 8x² + 2x - 3

答えは (4x + 3)(2x − 1) です。定数が異符号でも、中項は正にも負にもなりえます。どちらの符号になるかは交差する積を計算して決めます。

4. 定数項は正、中項は負なので、先頭を正にそろえると定数は両方負です。5と2、-1と -1 を選べば、交差する積の和は -5 − 2 = -7 です。

(5x - 1)(2x - 1)
= 10x² - 5x - 2x + 1
= 10x² - 7x + 1

答えは (5x − 1)(2x − 1) です。定数の積が正だからといって、両方を正にすると中項も正になる点に気をつけます。

5. 先頭を 3と3、定数を 4と -4 にします。交差する積は -12と12なので、和は0です。

(3x + 4)(3x - 4)
= 9x² - 12x + 12x - 16
= 9x² - 16

答えは (3x + 4)(3x − 4) です。中項が書かれていないことは、その係数が0であることを意味します。交差する2項が消えることを展開で確かめました。

手元に残す要点

• 先頭の係数と定数項を、それぞれ2つの整数の積に分けます。
• 交差する積の和が中項の係数に一致する配置を探します。
• 定数が異符号なら、どちらを負にするかも調べます。
• 候補がないと結論する前に、組と左右の配置を尽くします。
• 得られた積を展開し、3つの係数を元の式と照合します。

手が止まった場所を見分ける

両端は合うのに答えが違うなら、交差する積を2つ書き出して、符号を付けたまま和を取り直します。候補が思いつかないなら、先頭と定数の積の組を別々に列挙し、固定した先頭の組に対して定数の左右を試します。途中で見つかった組を急いで消さず、どの条件に合わなかったかを残すと、同じ候補を再び試す手間を減らせます。

個別指導で確かめるなら、まず生徒自身に括弧の4つの数と元の3つの係数の対応を説明してもらいます。次に、失敗した配置を展開し、どの係数が違うかを指さして確認します。候補を尽くしたと言えるかは、符号と左右の配置を含む一覧を見ながら一緒に検討できます。たすき掛けの線は、積と和の条件を結ぶための目印です。