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高校数学I 外れ値と相関—一つの点を加える前後を計算して判断を見直す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I データの分析を掘り下げる

散布図に1点を加えた前後で平均と分散を計算し、相関が強まる例と弱まる例から削除の判断を問い直しましょう。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、散布図の離れた点を除けば相関は必ず強まると決める場面です。右上に離れた点なら、残りの点の並びと同じ方向を支えていることもあります。右下に離れた点なら、右上がりの並びを崩すこともあります。

その1点が入力の誤りか、正しく測られた値かは、図の位置からは決まりません。まず点を含む場合と除いた場合の数値を同じ方法で計算し、差が生じた理由を調べます。以下のデータは計算のために作ったものです。

1点をめぐる問いの形

第一の型は、元の対の一覧と追加する1点が与えられ、追加前後の平均、分散、相関係数を比べる問題です。2列を別々に並べ替えず、同じ観測のxとyを組のまま扱います。平均が動くので、元の平均からのずれを追加後にもそのまま使うと計算がずれます。

第二の型は、元の点が同じでも、追加する点の位置が異なる2通りを比べる問題です。相関係数の符号は向き、絶対値は直線的な関連の強さを表します。負の値が正の値より小さいという大小と、絶対値による強弱を分けて答えます。

第三の型は、集計結果から除外の判断を言葉で説明する問題です。値が離れていること、数値が大きく変わること、測定に誤りがあったことは別の事柄です。数字が気に入らないという理由で除外せず、記録や測定の条件を調べます。

動く中心と、ずれの積

各観測を(x, y)と書きます。xの平均はxの合計を観測数nで割った値、yの平均も同様です。xの分散は各xとxの平均との差を二乗し、その合計をnで割ります。yの分散も同じように定めます。共分散は、同じ観測についてxとyの偏差を掛け、その合計をnで割った値です。

相関係数rは、共分散をxの標準偏差とyの標準偏差の積で割ります。標準偏差は分散の非負の平方根です。どちらかの分散が0なら分母が0なので、rは定義できません。共分散が0でも、両方の分散が正ならrは0と計算できます。この2つは異なる状況です。

計算を短くするには、二乗の平均から平均の二乗を引いて分散を出せます。また、xとyの積の平均から、2つの平均の積を引くと共分散が出ます。どちらも、追加後の観測数と追加後の平均を使う点が要です。

図1のように、各対から5種類の合計を作れば、1点を加えたときの更新を追えます。左から順にx、y、x²、y²、xyの合計です。元の6点と追加点(10, 10)の値を足し、7点分の合計にします。

図1の元の6点は後の基本例題の点です。合計が変わると平均も変わり、偏差は全点で計算し直す必要があります。二乗和や積の和を使う方法は、その変化をまとめて反映します。

「外れ値」という語には、1変量の四分位範囲を使う判定方法もあります。ここでは、昇順のデータを上下に分け、奇数個なら全体の中央値を除き、それぞれの群の中央値をQ₁、Q₃とします。IQR = Q₃ − Q₁として、Q₁ − 1.5・IQR未満またはQ₃ + 1.5・IQR超を候補にする規約を使います。境界と等しい値を含める考え方もあるため、この規約を唯一の定義とはしません。

散布図では、xとyの組として他の点から離れていることも見ます。片方の値の規約による候補と、散布図で目立つ点は同じとは限りません。いずれの場合も、候補であることは誤測定の証明にならず、記録を点検する出発点です。

基本例題：同じ向きに遠い点を加える

ある6枚の自作カードについて、印の横位置をx、縦位置をyとして次の6組を記録しました。単位はいずれも目盛りです。7枚目として(10, 10)を加え、前後のxとyの平均、分散、相関係数を整数または分数で求め、相関の強さを比べてください。分散は目盛りの二乗を単位とします。さらにxの外れ値候補を、上下群の中央値を使う上の規約で答えてください。

(-3, -2), (-2, -3), (-1, -1),
(1, 1), (2, 3), (3, 2)

図2のように6点は右上がりに並び、追加点はその方向の先にあります。目盛りをそろえて描いても、図の見た目だけで係数を決めずに計算します。

元の6点のxの合計とyの合計はいずれも0です。x²とy²の合計はいずれも28、xyの合計は26です。したがって平均、分散、共分散は次のようになります。

xの平均 = 0/6 = 0
yの平均 = 0/6 = 0
xの分散 = 28/6 - 0² = 14/3
yの分散 = 28/6 - 0² = 14/3
共分散 = 26/6 - 0・0 = 13/3
r = (13/3)/(√(14/3)・√(14/3))
  = (13/3)/(14/3)
  = 13/14

標準偏差の積は14/3で、正です。追加後は合計がそれぞれ10、二乗の合計がそれぞれ128、積の合計が126になります。新しい平均を用いて計算します。

xの平均 = 10/7
yの平均 = 10/7
xの分散 = 128/7 - (10/7)²
          = 896/49 - 100/49
          = 796/49
yの分散 = 796/49
共分散 = 126/7 - (10/7)・(10/7)
       = 882/49 - 100/49
       = 782/49
r = (782/49)/(796/49)
  = 391/398

2つの係数は正で、391・14 = 5474、13・398 = 5174なので、391/398 > 13/14です。したがってこの1点を加えると、正の直線的な相関は強まります。反対にこの点を除くと、13/14へ弱まります。元の6点に戻して合計0、二乗和28、積和26になることも確認できます。

追加後のxを並べると-3, -2, -1, 1, 2, 3, 10です。中央の1を除くと、下の3個の中央値は-2、上の3個の中央値は3です。よってQ₁ = -2、Q₃ = 3、IQR = 5です。

下の境界 = -2 - 1.5・5 = -19/2
上の境界 = 3 + 1.5・5 = 21/2

10は21/2より小さく、この規約ではxに候補はありません。図では離れて見えても、必ずこの規約の候補になるわけではありません。相関の変化は候補判定とは別に調べます。

標準例題：反対側に加える

基本例題の元の6組を使い、7枚目を(10, -10)に替えます。前後の平均、分散、共分散、相関係数を整数または分数で求め、係数の符号と絶対値を比較してください。元の値は先ほどの6点の結果を使えますが、追加後は平均から更新します。

追加後のxの合計は10、yの合計は-10です。x²とy²の合計は各128、xyの合計は26 − 100 = -74です。7組に戻して数えると、どの合計にも追加点が1回含まれています。

xの平均 = 10/7
yの平均 = -10/7
xの分散 = 128/7 - (10/7)² = 796/49
yの分散 = 128/7 - (-10/7)² = 796/49
共分散 = -74/7 - (10/7)・(-10/7)
       = -518/49 + 100/49
       = -418/49
r = (-418/49)/(796/49)
  = -209/398

符号は正から負に変わりました。強さを比較すると、209・14 = 2926 < 5174 = 13・398なので、209/398 < 13/14です。この追加では絶対値が小さくなり、直線的な相関は弱まります。追加点の位置によって変化の向きが異なることを、2つの計算が示しています。

元の6点と追加点を逆に分けて、xの合計10、yの合計-10、二乗和128、積和-74を確認できます。xの並びは基本例題の追加後と同じなので、その規約ではxの候補はありません。yの昇順は-10, -3, -2, -1, 1, 2, 3で、中央値-1を除くとQ₁ = -3、Q₃ = 2、IQR = 5です。下の境界は-21/2なので-10は未満ではなく、yにも候補はありません。

発展例題：候補を含む場合と除く場合

同じカードの6組に(12, 12)を1組加えます。7組のxについて、奇数個の中央を除いた上下群の中央値を四分位数とし、Q₁ − 1.5・IQR未満またはQ₃ + 1.5・IQR超を候補とします。候補と、候補を含む場合および除く場合のrを整数または分数で求めてください。候補を除く計算は比較のためであり、正しい記録を消す指示ではありません。

xの昇順は-3, -2, -1, 1, 2, 3, 12です。中央の1を除くとQ₁ = -2、Q₃ = 3、IQR = 5です。境界は-19/2と21/2で、12 > 21/2ですから候補は12です。yの値も同じ集合なのでyでも12が候補です。

追加後の合計はx、yとも12、二乗和はともに28 + 144 = 172、積和は26 + 144 = 170です。7組の値に戻して計算します。

xの平均 = 12/7
yの平均 = 12/7
xの分散 = 172/7 - (12/7)²
          = 1204/49 - 144/49
          = 1060/49
yの分散 = 1060/49
共分散 = 170/7 - (12/7)・(12/7)
       = 1190/49 - 144/49
       = 1046/49
r = (1046/49)/(1060/49)
  = 523/530

候補の対を除くと元の6組になり、r = 13/14です。523・14 = 7322 > 6890 = 13・530なので、候補を含む方が強い正の相関です。候補を消すと必ず強まるという判断は、この例で成り立ちません。

ただし、この比較から(12, 12)が正しい記録だとも誤りだとも決まりません。横と縦の記入欄を取り違えていないか、測定時の条件が6枚と同じだったかを確認します。誤記と判明して元の値を特定できるなら訂正し、理由がわからなければ含む集計と除く集計を区別して示します。点を除いた結果だけを根拠に、元の7枚の関係を言い切ることはできません。

間違いを表に戻す

図3のように、標準例題で「追加点のxは正、yは負だから、追加後の共分散は-100/7」と答える誤りを考えます。-100は追加点1組の積ですが、元の6組の積の合計26が抜けています。さらに、積の平均は共分散そのものではなく、追加後の平均の積を引く必要があります。

図3の順番で元の積和26と追加の積-100を合わせ、-74を7で割ります。そこから平均の積-100/49を引くと-418/49です。負の数を引くところを足し間違えないよう、括弧を残して1行ずつ計算します。

別の誤りは、相関係数が13/14から-209/398へ下がったので「負の相関が強まった」とだけ述べることです。数の大小は下がっていますが、もとの正の相関との強さは絶対値で比較します。方向が反転し、絶対値は小さくなったと両方書くと、読み手に変化が伝わります。

また、追加後の片方の分散が0なら、分母を計算する段階で止めます。0で割って0と答えることはできません。データの欠落や転記漏れがあれば、対の対応と個数を元の表に戻して確認してから計算します。

手を動かして確かめる5問

いずれも相関係数は定義できる条件を確認し、値は整数または分数で答えてください。単位のある値の分散の単位は元の単位の二乗です。分散はデータ数で割ります。四分位数を求めるときは昇順にし、奇数個なら中央を除いた上下群、偶数個なら同数の上下群の中央値を使います。外れ値候補はQ₁ − 1.5・IQR未満またはQ₃ + 1.5・IQR超とします。

紙に付けた印の基準点からの横と縦の位置をcmで表す4組が(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)です。さらに(5, 0)を加えます。前後の平均、分散、共分散、rを求め、強さの変化を述べてください。
7個の部品の2方向のずれをmmで表すと(-6, -6), (-4, -4), (-2, -2), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (24, 24)です。xの候補と、7組のr、候補の対を除いた6組のrを求めてください。
7地点の単位のない2つの指標が(-3, -3), (-2, -2), (-1, -1), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (9, -9)です。最後の対を含む場合と除く場合の平均、分散、共分散、rを求め、符号と強さを比べてください。
単位のない2つの値の3回の記録が(1, 3), (2, 3), (4, 3)です。(8, 3)を加えた前後でrを求められるか、各変量の分散を計算して答えてください。
6個の箱の基準位置からの2方向のずれをcmで表すとき、xとyの平均がともに0、分散がともに3、共分散が2と計算されています。7個目として(6, 6)を加えます。追加後の平均、分散、共分散、rと、追加前後の強さを求めてください。与えられた集計値が6組から得られたものとして計算します。

5問の答えと道筋

1. 直線から外れる点

追加前の合計はxが10、yが20、二乗和はそれぞれ30、120、積和は60です。4組に戻して数えると、各yは2xで対応しています。

xの平均 = 10/4 = 5/2
yの平均 = 20/4 = 5
xの分散 = 30/4 - (5/2)² = 5/4
yの分散 = 120/4 - 5² = 5
共分散 = 60/4 - (5/2)・5 = 5/2
r = (5/2)/(√(5/4)・√5) = 1

追加後の合計は15と20、二乗和は55と120、積和は60です。

xの平均 = 15/5 = 3
yの平均 = 20/5 = 4
xの分散 = 55/5 - 3² = 2
yの分散 = 120/5 - 4² = 8
共分散 = 60/5 - 3・4 = 0
r = 0/(√2・√8) = 0

両分散は正なので0は定義された値です。絶対値は1から0になり、直線的な相関は弱まります。追加点を戻しても積和が60のままなのは、5・0 = 0だからです。

2. 候補があっても一直線

xはすでに昇順です。中央の2を除くと、Q₁ = -4、Q₃ = 6、IQR = 10です。

下の境界 = -4 - 1.5・10 = -19
上の境界 = 6 + 1.5・10 = 21

24 > 21なので候補は24です。7組はすべてy = xで、xの合計は24、二乗和は112 + 576 = 688です。

xの平均 = yの平均 = 24/7
xの分散 = yの分散 = 688/7 - (24/7)² = 4240/49
共分散 = 4240/49
r = (4240/49)/(4240/49) = 1

候補の対を除くと6組です。合計は各0、二乗和と積和は各112なので、両分散と共分散は112/6 = 56/3です。したがってr = 1で、除いても相関の強さは変わりません。6組に(24, 24)を戻すと、合計24、二乗和688、積和688に戻ります。

3. 方向が逆転する点

最後の対を除いた6組は、両変量の合計0、二乗和28、積和28です。

xの平均 = yの平均 = 0
xの分散 = yの分散 = 28/6 = 14/3
共分散 = 28/6 = 14/3
r = 1

最後の対を含むと合計は9と-9、二乗和はともに109、積和は28 − 81 = -53です。

xの平均 = 9/7
yの平均 = -9/7
xの分散 = 109/7 - (9/7)² = 682/49
yの分散 = 109/7 - (-9/7)² = 682/49
共分散 = -53/7 - (9/7)・(-9/7)
       = -371/49 + 81/49
       = -290/49
r = (-290/49)/(682/49) = -145/341

両分散は正です。含めると正から負に変わり、絶対値は1から145/341へ小さくなります。7組に戻すと、最後の積-81が負への変化に寄与しています。

4. 分母が0になる場合

追加前のxの合計は7、二乗和は21です。yは3が3回なので、平均3からの偏差がすべて0です。

xの分散 = 21/3 - (7/3)² = 14/9
yの分散 = 0

追加後はxの合計15、二乗和85、yは3が4回です。

xの分散 = 85/4 - (15/4)² = 115/16
yの分散 = 0

前後ともyの標準偏差が0なので、rは定義できません。共分散が0になることと、rが0になることは別です。4組を見直すと、追加後もyは変化していません。

5. 集計値から加え直す

6組の平均が各0なので合計は各0、分散が各3なので二乗和は各18です。共分散が2なので積和は12です。これに(6, 6)の寄与を足し、7組の合計6、二乗和54、積和48に戻します。

xの平均 = yの平均 = 6/7
xの分散 = yの分散 = 54/7 - (6/7)²
                    = 378/49 - 36/49
                    = 342/49
共分散 = 48/7 - (6/7)・(6/7)
       = 336/49 - 36/49
       = 300/49
追加後のr = (300/49)/(342/49) = 50/57
追加前のr = 2/3

50・3 = 150 > 114 = 2・57なので、正の相関は強まります。元の6組の合計、二乗和、積和をそれぞれ7組の値から追加点の寄与を引いて復元すると、0、18、12に戻ります。

覚えておくこと

追加後は個数、平均、偏差を更新します。
共分散と2つの標準偏差からrを求め、分母が正か調べます。
方向は符号、直線的な強さは絶対値で比較します。
候補の判定と記録の誤りの確認を分けます。
含む場合と除く場合の両方を計算し、対象を明記します。

どの段階で迷ったかを見る

計算結果が合わないときは、まず元の点の対応と個数を書き出します。次に合計、二乗和、積和の表を作り、追加点の寄与がそれぞれ1回入っているかを調べます。ここまで合っていれば、追加後の平均とその積を使ったか、標準偏差の積が0でないかをたどります。

個別指導で確かめるなら、途中式に丸を付けるだけでなく、「この積はどの観測の組か」「この分母は何組を数えたか」と尋ねると、対応の誤りと公式の取り違えを区別できます。最後に、候補を除いた数値を示す理由と元の測定記録を確認する理由を、自分の言葉で説明してみてください。1点の影響は、点の位置と集計対象を結び付けた計算から読み取れます。