高校数学I 完全な相関の条件—一直線に並ぶ点と相関が定義できない点を比べる｜武蔵野個別指導塾

水平に並ぶ点では相関係数を定義できません。標準偏差と直線の向きから完全相関の条件を調べましょう。

よくあるのは、測定表から描いた散布図で点が水平な一直線に並び、「一直線だから完全な相関だ」と考える場面です。横の値は変化していても、縦の値が全部同じなら、縦の標準偏差は0です。相関係数の式にはこの標準偏差が分母に入るため、計算を始める前に立ち止まる必要があります。

点が一直線に並ぶことと、相関係数が1または-1になることを、条件を添えて結び付けましょう。点の対応を保ちながら、直線の向きと分母の両方を調べます。

どんな問いで条件が必要になるか

散布図から係数を判断する問いでは、点が非水平・非垂直の直線にすべて乗るか、右上がりか右下がりかを調べます。目盛りを見ずに線の見た目の角度だけで判断すると、軸の尺度の違いにも惑わされます。

表に未知の値があり、完全な正または負の相関となるように値を求める問いもあります。先に既知の異なる2点から直線を決め、残りの点を代入します。その後、指定された符号と標準偏差が正であることを確認します。代入の式だけを解いて終えると、水平線になる場合を見落とします。

もう一つの型は、同じxや同じyがある表を判定する問いです。同じ座標の点が重なっても、その点はそれぞれ元の観測に対応します。異なる2点が必要か、同じxに異なるyが対応していないかを調べることが入口です。

直線と標準偏差を一緒に見る

同じ対象から得た値の組を (x, y) とし、各組を散布図の1点で表します。xの平均とyの平均からの差をそれぞれxの偏差、yの偏差と呼びます。共分散は、対応する偏差の積の平均です。xとyの標準偏差をそれぞれsₓ、sᵧ、共分散をcとすると、両方が正のとき、相関係数は r = c/(sₓ・sᵧ) です。分散も共分散も同じ組数で割ります。

rは-1以上1以下です。その範囲の証明はここでは扱いません。両標準偏差が正であるデータについて、r = 1は全点が右上がりの1本の直線上にあること、r = -1は全点が右下がりの1本の直線上にあることと、それぞれ同値です。ここでいう直線は水平でも垂直でもありません。

図1のように、右上がりと右下がりには、それぞれ正と負の完全な相関があります。一方、水平線ではyが一定でsᵧ = 0、垂直線ではxが一定でsₓ = 0です。どちらも分母が0なので、rを0や1と決めることはできません。全点が同じ位置に重なる場合は両方の標準偏差が0です。

図1の各点は対応する組を表します。水平や垂直の列も直線ですが、係数を計算できる条件は満たしません。同じxが複数あっても、同じyと組になって同じ位置に重なるだけなら、他に異なる点があれば完全な相関はありえます。反対に、同じxに異なるyが組になる2点は垂直に並ぶため、非垂直の1本の直線には同時に乗りません。

なぜ傾きの符号が係数の符号になるのでしょう。y = ax + bで、aが0でなく、xに異なる値があるとします。yの平均はa・xの平均 + bです。各組でyの偏差はa・xの偏差となります。xの分散をvとするとv > 0で、共分散はav、yの分散はa²vです。したがって標準偏差はsₓ = √v、sᵧ = |a|√vです。

r = av/(√v・|a|√v)
  = a/|a|

a > 0なら1、a < 0なら-1です。傾きが大きいほど完全相関が強くなるわけではありません。傾き2の直線も傾き1/3の直線も、条件を満たせばr = 1です。傾きは軸の単位に左右されますが、完全な一直線からのずれがないことは共通です。なお、相関が完全でも、それ自体から一方が他方の原因だとは言えません。

基本例題：3組の測定値

同じ3個の物について、長さx cmと別の長さy cmを測った自作の表が (1, 3), (2, 5), (3, 7) です。相関係数を整数で求め、点の配置と照合してください。

図2のように横軸と縦軸をそれぞれ1目盛り1 cmとして点を打ちます。3点はy = 2x + 1上にあり、右上がりです。図2の点は左から順に表の3組に対応しています。横と縦では1目盛りの幅が異なるので、見た目の角度から傾きを決めず、座標の差で調べます。

xの平均は (1 + 2 + 3)/3 = 2 cm、yの平均は (3 + 5 + 7)/3 = 5 cmです。対応する偏差とその積を書きます。

共分散は (2 + 0 + 2)/3 = 4/3 cm²です。xの分散は (1 + 0 + 1)/3 = 2/3 cm²、yの分散は (4 + 0 + 4)/3 = 8/3 cm²です。どちらも正なので、係数を求められます。

sₓ・sᵧ = √(2/3)・√(8/3)
          = 4/3
r = (4/3)/(4/3)
  = 1

元の表に戻すと、xが1増えるたびにyは2増え、3組ともy = 2x + 1を満たします。xに異なる値があるため水平な1点への重なりでもありません。計算と図の両方が正の完全な相関を示します。長さの関係を表したこの自作データから、測定値の原因までは判断しません。

標準例題：未知の点を直線へ戻す

4組の値が (0, 8), (2, 5), (4, 2), (6, t) です。完全な負の相関になるような実数tを分数または整数で求めてください。

最初の2点のxの差は2、yの差は-3です。これらを通る直線の傾きは-3/2で、x = 0のときy = 8なので、直線はy = -3x/2 + 8です。3点目についても、-3・4/2 + 8 = 2となり、この直線に乗ります。

4点目も乗る必要があるので、次のように求めます。

t = -3・6/2 + 8
  = -9 + 8
  = -1

t = -1を元の組に戻すと、(6, -1) は確かに直線上です。傾きは負で0ではなく、xには0と2など異なる値があります。よって両標準偏差は正で、r = -1です。逆に、完全な負の相関なら4点は同じ右下がりの直線に乗るので、既知の2点が決めるこの直線以外は使えません。必要性と十分性を両方確かめたため、答えはt = -1に定まります。

既知の2点が同一なら、その2点だけでは直線を決められません。異なる点を探し、見つからない場合は残る条件を別に調べます。同じ計算を形だけ使わず、傾きの分母となるxの差を先に見ます。

発展例題：同じxが現れる場合分け

4組の値が (1, 2), (1, u), (3, 6), (5, v) です。完全な正の相関となる実数u、vを整数で求めてください。また、u = 2、v = 6なら相関係数が定義できるかを答えてください。

完全な正の相関には、4点を通る非垂直の右上がりの直線が必要です。最初の2組は同じxを持つので、非垂直の直線上ではyも等しくなければなりません。したがってu = 2です。この2組は同じ点に重なりますが、観測の組数は4のままです。

次に異なる2点 (1, 2), (3, 6) を通る直線を求めます。傾きは (6 − 2)/(3 − 1) = 2です。切片をbとすると、2 = 2・1 + bよりb = 0です。よってy = 2xであり、最後の点を代入するとv = 2・5 = 10です。

元の4組は (1, 2), (1, 2), (3, 6), (5, 10) です。全点が右上がりのy = 2xに乗り、xに異なる値があります。したがって標準偏差はどちらも正で、求める値はu = 2、v = 10です。重複した2組を1組と数え直す必要はありません。

後半のu = 2、v = 6では、xは1、1、3、5と変化し、yは2、2、6、6と変化します。どちらにも異なる値があるため、両標準偏差は正で、相関係数は定義できます。しかし (5, 6) はy = 2xに乗らないので、完全な正の相関ではありません。定義できることと、値が1であることは別の判定です。

誤答を図で直す

「(1, 4), (2, 4), (3, 4) は一直線だからr = 1」という答えを考えます。原因は、右上がりの直線であることと、係数の分母が正であることを確認せず、一直線という言葉だけで判定した点です。

図3のようにyの値は常に4で、yの平均も4です。すべてのyの偏差が0なので、yの分散と標準偏差は0です。xの標準偏差は正ですが、分母sₓ・sᵧは0です。図3から横向きの並びを読み取ったら、修正した答えは「相関係数は定義できない」です。

分母が0の式で、共分散も0だからr = 0とすることもできません。0で割る操作は定義されないからです。r = 0は、両標準偏差が正で共分散が0のときに使う答えです。また、値の種類が2つしかない場合でも、異なる2点が非水平・非垂直に並び、他の組がそのどちらかに重なれば完全な相関になります。点の個数だけで判定しないことも大切です。

練習：対応と分母を点検する

次の5問は互いに独立した自作のデータです。相関係数を求める場合は整数または正確な分数で答えてください。定義できない場合はその理由も述べてください。

1. 3組 (2, 9), (4, 7), (6, 5) の相関係数を求めてください。
2. 4組 (1, 3), (2, 3), (4, 3), (7, 3) の相関係数を判定してください。
3. 3組 (2, 1), (4, 7), (6, k) が完全な正の相関となる実数kを整数で求めてください。
4. 4組 (0, 1), (0, 1), (2, 5), (2, w) が完全な相関となる実数wを整数で求め、係数も答えてください。
5. 3組 (1, 2), (2, 4), (3, 5) は完全な相関ですか。理由を述べ、相関係数を定義できるかも答えてください。

練習の答えと考え方

1. xが2増えるとyは2減ります。最初の組を通る関係はy = -x + 11で、残りについても -4 + 11 = 7、-6 + 11 = 5です。全点が右下がりの直線上にあり、xもyも異なる値を持つので、r = -1です。元の3組を代入して一致することまで確認します。

2. yの平均は (3 + 3 + 3 + 3)/4 = 3です。4個のyの偏差がすべて0なのでsᵧ = 0です。分母が0となり、相関係数は定義できません。xが1、2、4、7と変化していても、この結論は変わりません。

3. 最初の2点を結ぶ傾きは (7 − 1)/(4 − 2) = 3です。y = 3x + bに (2, 1) を入れると、1 = 6 + bよりb = -5です。よってk = 3・6 − 5 = 13です。3組をy = 3x − 5に戻すと1、7、13となり、傾きも正でxは一定ではありません。したがってk = 13が必要かつ十分です。

4. 同じx = 2に異なるyがあると、非垂直の直線には乗りません。よってw = 5が必要です。戻した4組は2種類の点 (0, 1), (2, 5) に重なり、y = 2x + 1を満たします。xとyはいずれも一定でなく、直線は右上がりです。したがってw = 5、r = 1です。

5. 最初の2点の傾きは (4 − 2)/(2 − 1) = 2、後の2点の傾きは (5 − 4)/(3 − 2) = 1です。傾きが異なるので3点は1本の直線に乗らず、完全な相関ではありません。xもyも少なくとも2種類の値を持つため、両標準偏差は正で、係数は定義できます。直線に乗らないことは、係数が定義できないことを意味しません。

手元に残す要点

• rを求める前に、両標準偏差が正か確認します。
• 全点が右上がりの直線上ならr = 1、右下がりならr = -1です。
• 水平・垂直の直線では係数は定義できません。
• 同じ点の重なりと、同じxで異なるyを区別します。
• 傾きの大きさと相関の強さは別の量です。

どこで判定が止まったか

水平な表に1と書いたときは、直線を見つける段階ではなく、その後の標準偏差の確認が抜けているかもしれません。各列に異なる値があるかを印で示し、一定の列の偏差を実際に書いてみます。分母の0を見つけた後に、なぜ0ではなく定義できないと答えるかを言葉にすると、式と図が結び付きます。

未知数の問題で答えが合わない場合は、組の対応、異なる2点の選択、傾き、最後の代入の順に確かめます。個別指導では、途中のどこで条件を使ったかを本人に説明してもらい、求めた値を元の表へ戻して全点を照合します。一直線という観察に分母の条件を添えると、完全な相関の判定は明確になります。