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高校数学I 分散の計算公式—二乗の平均と平均の二乗を展開から結び付ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I データの分析を掘り下げる

偏差の二乗を展開し、二乗和からの逆算と基準値を引く計算を通して、違いをたどる分散の計算公式です。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、二乗の平均と平均の二乗を同じ値とする場面です。たとえば測定値が2個あり、平均が3だとします。平均の二乗は9ですが、個々の値の二乗の平均は、元の2個が何かによって変わります。測定値がどちらも3なら9、1と5なら13です。どちらも平均は3なのに、後者では差が残ります。その差を取り出すのが分散の計算公式です。

どの情報から散らばりを出すか

出方の1つは、個々の測定値から平均と二乗の平均を計算し、分散を求める型です。偏差を先に並べる方法でも答えが出るので、2通りの計算が一致するかを見られます。もう1つは、平均と分散が与えられ、元の値の二乗和を逆算する型です。平均を二乗する前に、分散の式のどの位置にある量かを整理します。

さらに、値が1000付近に集まる表では、各値から共通の基準を引いて小さな数で計算する型があります。基準は平均である必要はありません。引いた後の平均も計算し、その二乗を忘れずに差し引きます。元のデータへの戻し方まで追うと、暗記した式の使いどころが見えてきます。

二つの二乗は何が違うか

正の整数n個のデータをx₁、x₂、…、xₙとし、その平均をmとします。mは各値の合計をnで割った数です。各値からmを引いたものが偏差、偏差の二乗の平均が分散です。偏差は正にも負にもなりますが、その和は0です。これは平均が合計をn等分した値だからです。

図1のように、二乗の平均は各データを先に二乗してから平均します。平均の二乗は、先にデータを平均して、その結果を二乗します。順番が異なるので、同じものとして扱えません。

図1で1と5を使うと、二乗の平均は(1² + 5²)/2 = 13、平均の二乗は((1 + 5)/2)² = 9です。差の4は、偏差-2と2の二乗の平均(4 + 4)/2にも一致します。単に二つの平均を比べるのでなく、差が偏差の二乗の平均になる理由を展開で確かめます。

偏差の二乗を1つずつ展開し、その合計をnで割ります。Σ[k=1..n]はkを1からnまで動かして足す記号です。

分散 = Σ[k=1..n] (xₖ - m)² / n
     = Σ[k=1..n] (xₖ² - 2mxₖ + m²) / n
     = Σ[k=1..n] xₖ² / n - 2m・Σ[k=1..n] xₖ / n + nm² / n
     = Σ[k=1..n] xₖ² / n - 2m² + m²
     = Σ[k=1..n] xₖ² / n - m²

途中でΣ[k=1..n] xₖ / n = mを使いました。m²は各項に1個ずつあるので、合計はnm²です。したがって公式は「分散 = 二乗の平均 − 平均の二乗」です。両辺は同じn個を対象にしています。二乗の平均の分母だけを別の個数にすると、この導出は使えません。

偏差の二乗はどれも0以上なので、分散も0以上です。差が負になったら、二乗和、平均、または引く順序を点検します。分散が0なら、0以上の二乗の合計が0なので各偏差が0であり、全データが平均に等しくなります。逆に全データが同じなら偏差は全部0です。したがって、二乗の平均と平均の二乗が等しいのは全データが等しい場合です。測定値の単位がcmなら分散の単位はcm²です。

基本例題：表を二つの道で通る

4本の自作の棒の長さが2 cm、4 cm、5 cm、9 cmです。この4本の分散を既約分数で、単位も付けて求めてください。偏差の二乗の平均と計算公式の両方で求めます。

まず対象は4本です。合計20 cmを4で割ると平均は5 cmです。図2のように、値とその二乗を対応させてから列ごとに足します。

二乗和 = 2² + 4² + 5² + 9²
       = 4 + 16 + 25 + 81
       = 126
二乗の平均 = 126 / 4
           = 63 / 2
平均の二乗 = 5²
           = 25
分散 = 63 / 2 - 25
     = 13 / 2

分散は13/2 cm²です。指定どおり分数のまま扱います。図2の各行は元の長さに対応し、合計も4本分です。

別の道では、偏差は順に-3、-1、0、4 cmです。その和が0であることも確かめます。

偏差の和 = -3 - 1 + 0 + 4
         = 0
偏差の二乗和 = 9 + 1 + 0 + 16
             = 26
分散 = 26 / 4
     = 13 / 2

両方が13/2 cm²です。元の4値の合計が20、二乗和が126であることから、平均5と二乗の平均63/2に戻ります。分散は小数に丸める必要がなく、分数のまま2つの方法を比較できます。二乗を足した後で平均を取るので、4で割る位置にも注意します。

標準例題：二乗和を逆に取り出す

5枚の自作の板の重さの平均が6 g、分散が4 g²です。5枚の重さの二乗和を整数で、単位を付けて求めてください。また、3 g、5 g、6 g、7 g、9 gという候補が条件を満たすか調べてください。

公式の分散に4、平均に6を入れます。二乗の平均をA g²と置くと、引き算を逆にたどれます。

4 = A - 6²
4 = A - 36
A = 40
二乗和 = 40・5
       = 200

答えは200 g²です。分散4を5倍した20は偏差の二乗和であり、元の値の二乗和ではありません。何の二乗を集めたかを区別すると、取り違えを防げます。

候補の合計は3 + 5 + 6 + 7 + 9 = 30 gで、平均は30/5 = 6 gです。二乗和は9 + 25 + 36 + 49 + 81 = 200 g²なので、二乗の平均は40 g²、分散は40 − 36 = 4 g²です。偏差は-3、-1、0、1、3 gで、その二乗和は20 g²です。5枚で割ると4 g²に戻り、両条件を満たします。二乗和の値を求める問題では、別の候補があるかどうかまで決める必要はありません。

発展例題：大きな値を小さな表にする

4個の自作の部品の長さが998 mm、1000 mm、1002 mm、1004 mmです。各値から1000 mmを引いた値を使い、元の長さの平均と分散をそれぞれ整数で、単位を付けて求めてください。基準を引いた表に戻しても条件を確かめます。

引いた後の値をyとすると、順に-2、0、2、4 mmです。その合計は4 mm、平均は1 mmです。元の各値はyに1000 mmを足したものなので、元の平均は1001 mmです。

yの二乗和 = (-2)² + 0² + 2² + 4²
           = 4 + 0 + 4 + 16
           = 24
yの二乗の平均 = 24 / 4
               = 6
yの平均の二乗 = 1²
               = 1
yの分散 = 6 - 1
         = 5

元の値の平均は1001 mmなので、元の偏差は順に-3、-1、1、3 mmです。これはyからその平均1 mmを引いた偏差と一致します。よって元の分散も5 mm²です。実際、偏差の二乗和は9 + 1 + 1 + 9 = 20 mm²で、4で割ると5 mm²になります。元の合計は4004 mmであり、平均1001 mmに4を掛けた値と一致します。

一般にも基準をcとし、yₖ = xₖ − cとすると、yの平均はm − cです。各偏差は(xₖ − c) − (m − c) = xₖ − mですから、偏差の二乗も個数も変わりません。基準を全値に同じだけ適用することが条件です。値ごとに異なる数を引けば、この説明は成り立ちません。基準を引いた後の平均が0でない場合、二乗の平均をそのまま分散にすることもできません。

間違いの場所を戻って探す

図3のように、1と5の平均3を先に二乗して9を出し、これを二乗の平均とも書く誤答があります。原因は、個々の値を二乗する操作と、平均を二乗する操作を同じ欄に入れたことです。修正すると、1²と5²は1と25で、その平均は13です。分散は13 − 9 = 4です。

図3の2つの欄は、同じ2個のデータに別の順番で操作を施しています。差が0になるのは全値が等しいときですから、平均が同じという情報だけで等しいと判断することはできません。

もう一つの誤りは、基本例題の二乗和126から平均5を引き、121を4で割ることです。公式で引くのは平均の二乗25で、しかも二乗和を4で割った後です。126/4 − 25と並べ直し、偏差を直接二乗した26/4と照合します。もし答えが負なら分散の定義に反するため、途中のどの列が食い違ったかを調べます。

逆算では、分散に人数を掛けた量が何かを言葉にします。それは偏差の二乗和です。元の二乗和に戻すには、平均の二乗を分散へ足してから人数を掛けます。単位も元の量の二乗になっているか見ます。

練習：式の向きを選ぶ

次の値はすべて自作の測定値です。分散の答えは既約分数または整数で、指定された単位を付けてください。各問で計算結果を元の条件へ戻します。

3個の積み木の重さが1 g、2 g、6 gです。平均と分散を求めてください。
4回の移動距離が2 m、2 m、6 m、6 mです。二乗の平均と分散を求めてください。
6枚の紙の重さの平均が4 g、分散が3 g²です。重さの二乗和を整数で求めてください。
3本の棒の長さが49 cm、51 cm、53 cmです。50 cmを基準に引いて平均と分散を求めてください。
4個のデータの平均が5、二乗和が116です。分散を求め、4、4、6、6がこの条件に合うか判定してください。値に単位はありません。

練習の解答と戻し方

合計は1 + 2 + 6 = 9 g、平均は9/3 = 3 gです。二乗和は1 + 4 + 36 = 41 g²です。

二乗の平均 = 41 / 3
分散 = 41 / 3 - 3²
     = 41 / 3 - 27 / 3
     = 14 / 3

答えは平均3 g、分散14/3 g²です。元の値からの偏差は-2、-1、3 gで、二乗和は4 + 1 + 9 = 14 g²です。3個で割ると14/3 g²となり、合計9 gも平均に個数を掛けて戻ります。

合計は16 mなので平均は16/4 = 4 mです。二乗和は4 + 4 + 36 + 36 = 80 m²です。

二乗の平均 = 80 / 4
           = 20
分散 = 20 - 4²
     = 20 - 16
     = 4

答えは二乗の平均20 m²、分散4 m²です。元の4回の偏差は-2、-2、2、2 mで、二乗和16 m²を4で割ると4 m²です。各距離を二乗して足せば80 m²に戻ります。

二乗の平均をB g²とします。

3 = B - 4²
3 = B - 16
B = 19
二乗和 = 19・6
       = 114

答えは114 g²です。6枚で割れば二乗の平均19 g²、そこから平均の二乗16 g²を引けば与えられた分散3 g²です。また平均4 gと6枚から合計24 gと戻せます。元の6個の値はこの情報だけでは特定していません。

基準を引くと-1、1、3 cmです。合計3 cmを3で割ると平均1 cmです。

引いた値の二乗の平均 = (1 + 1 + 9) / 3
                     = 11 / 3
分散 = 11 / 3 - 1²
     = 8 / 3
元の平均 = 50 + 1
         = 51

答えは平均51 cm、分散8/3 cm²です。元の偏差は-2、0、2 cm、二乗和は8 cm²です。3本で割ると同じ分散になり、元の合計153 cmは51・3に等しくなります。

二乗の平均は116/4 = 29です。

分散 = 29 - 5²
     = 29 - 25
     = 4

分散は4です。候補の合計は4 + 4 + 6 + 6 = 20で、平均は5です。しかし二乗和は16 + 16 + 36 + 36 = 104なので、与えられた116に合いません。候補の分散も104/4 − 25 = 1です。平均が一致しても二乗和の条件は別に確認します。たとえば3、3、7、7なら合計20、二乗和116で、平均5と分散4をともに満たします。