高校数学II 極値と停留点—導関数が零になる点の前後で符号を確かめる｜武蔵野個別指導塾

水平な接線を持つ三次関数の前後を調べ、符号が変わる極大・極小と増加を続ける停留点を区別します。

よくあるのは、グラフの傾きが零になったところを見つけ、高校生がそこで必ず極大か極小になると断定する場面です。山の頂上や谷底では接線が水平になりますが、水平になったあとも同じ向きに進む曲線があります。零という結果は調査の終わりではなく、前後を調べる場所を見つけた印です。極値を取る位置と、そこでの関数の値も別々に記録しましょう。

どの問いで前後を調べるか

1つ目は、与えられた多項式の極大値と極小値を求める問いです。まず導関数が零となる x を求め、その前後で導関数が正から負に変わるか、負から正に変わるかを調べます。最後に元の関数へ代入して、高さに当たる値を出します。導関数へ代入して得た零は傾きであって、一般に極値ではありません。

2つ目は、水平な接線を持つ点が極値を与えるかを判定する問いです。零点の左右で符号が同じなら、増加または減少が続きます。その点は停留点ですが、極大点でも極小点でもありません。符号を一方だけ調べて判定することもできません。

3つ目は、係数の条件によって零点が重なり、結論が変わる問いです。異なる2つの零点があるときと、1つに重なるときを分けます。境界をどちらかの側に押し込まず、そこで実際に導関数を因数分解して符号を確かめます。ここでは多項式を実数全体で考え、区間の端点における最大値や最小値の比較は扱いません。

近くの値と傾きの役割

関数 f が x = a の近くで定義され、a に十分近い x に対して f(x) ≤ f(a) が成り立つとき、f は a で極大となり、f(a) を極大値といいます。同様に、近くの x に対して f(x) ≥ f(a) が成り立つとき、f(a) を極小値といいます。「近く」の比較ですから、遠くにもっと高い値や低い値があっても差し支えありません。極大値と最大値は別の概念です。

微分可能な関数が内点 a で極大または極小を取るなら、f′(a) = 0 です。ただし逆は成り立ちません。f′(a) = 0 となる点を停留点と呼びます。厳密にはグラフ上の点を (a, f(a)) と表しますが、計算ではその x 座標 a に着目します。

図1のように、導関数の符号が正なら関数は増加し、負なら減少します。正から負への変化は山、負から正への変化は谷を表します。正から正へ続く場合には、水平になる瞬間があっても山や谷にはなりません。負から負へ続く場合も同様です。

図1の左右の矢印は、停留点の直前と直後で値がどちらへ動くかを示します。判定の際は、零点そのものの符号を探すのではなく、零点で分けた各区間の符号を調べます。例えば因数の2乗は零点以外で正なので、そこを通っても符号は変わりません。

符号を表にまとめるときは、零点を小さい順に並べ、その間の各区間から代表の数を1つ選んで代入しても調べられます。ただし代表点での計算だけを書くのではなく、その区間では因数の符号が変わらないことも根拠にします。零点で区間を分け忘れると、左右で異なる符号を一括して扱ってしまいます。

極値を取る x と極値は異なる情報です。x = a で極大値 b なら、位置は a、高さは b、グラフ上の極大点は (a, b) です。問題が何を求めているかに応じて、この3つを取り違えずに書きます。

基本例題：山と谷を1つずつ探す

関数 f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 の極大値と極小値、およびそれぞれを取る x を整数で求めてください。

多項式は実数全体で微分可能です。まず導関数を因数分解します。

f′(x) = 3x² - 6x - 9
       = 3(x² - 2x - 3)
       = 3(x + 1)(x - 3)
f′(x) = 0 より x = -1, 3

x < -1 では2つの因数が負なので積は正です。-1 < x < 3 では符号が異なり、積は負です。x > 3 では両方が正になります。したがって増減は、増加、減少、増加の順です。

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² - 9(-1) + 5
      = -1 - 3 + 9 + 5
      = 10
f(3) = 3³ - 3・3² - 9・3 + 5
     = 27 - 27 - 27 + 5
     = -22

よって x = -1 で極大値 10、x = 3 で極小値 -22 です。図2のように、左の停留点では増加から減少へ、右では減少から増加へ移ります。2つの点の座標はそれぞれ (-1, 10)、(3, -22) です。

図2の高さは元の式への代入値に対応しています。実際に f′(-1) = 0、f′(3) = 0 で、上の計算からそれぞれの点は曲線上にあります。傾きが零であることに加え、前後の符号が変わることまで確認したので、山と谷の結論が得られます。

標準例題：停留点でも極値がない場合

関数 g(x) = x³ − 6x² + 12x − 3 の停留点の座標を整数で求め、そこで極値を取るか判定してください。

g′(x) = 3x² - 12x + 12
       = 3(x² - 4x + 4)
       = 3(x - 2)²
g′(x) = 0 より x = 2
g(2) = 2³ - 6・2² + 12・2 - 3
     = 8 - 24 + 24 - 3
     = 5

停留点は (2, 5) です。x が 2 以外なら (x − 2)² > 0 なので、左右のどちらでも g′(x) > 0 です。関数は停留点を挟んで増加を続けるため、ここでは極大値も極小値も取りません。

元の式を x − 2 でまとめると、その理由を値の比較でも確かめられます。

g(x) = (x - 2)³ + 5
g(x) - g(2) = (x - 2)³

2 より左では差が負、右では正です。どれほど 2 に近い範囲を取っても、停留点の値より小さい値と大きい値の両方があります。したがって極大にも極小にもなりません。零点が重なったときは、2つの別の山と谷があると数えず、前後の符号を調べ直す必要があります。

発展例題：係数で符号の変化が消える境界

実数 a に対して h(x) = x³ − 3ax とします。a の値によって停留点の個数と極値を分類し、極値を取る x と極値を a を用いて表してください。

h′(x) = 3x² - 3a
      = 3(x² - a)
h′(x) = 0 より x² = a

まず a < 0 なら、x² − a > 0 です。導関数は常に正で、停留点はありません。関数は増加し、極値もありません。

次に a = 0 なら h′(x) = 3x² です。x = 0 が停留点ですが、その左右では導関数が正なので、極値を取りません。座標は h(0) = 0 より (0, 0) です。この境界を a > 0 の場合と同じ扱いにすると、重なった2つの零点を別々に数える誤りが生じます。

最後に a > 0 とします。導関数の零点は -√a と √a で、順序は -√a < √a です。

h′(x) = 3(x + √a)(x - √a)

左から符号は正、負、正となります。したがって -√a で極大、√a で極小です。a = (√a)² を用いて元の式に戻します。

h(-√a) = (-√a)³ - 3a(-√a)
        = -a√a + 3a√a
        = 2a√a
h(√a) = (√a)³ - 3a√a
       = a√a - 3a√a
       = -2a√a

よって x = -√a で極大値 2a√a、x = √a で極小値 -2a√a です。2点を導関数に戻すと、どちらも x² = a を満たして傾きは零です。元の式にも代入したので、それぞれの高さも条件に合います。a が正であることを先に確かめたため、根号の大小と符号の表を正しく使えます。

誤答を直す：零点の数と極値の数

標準例題で「g′(2) = 0 だから x = 2 で極小値 5」と答えるのは誤りです。導関数が零であることは、微分可能な内点で極値を取るための必要条件ですが、それだけで極値があるとは決まりません。必要なことと、それだけで十分なことを分けて考えます。

図3のように、g′(x) = 3(x − 2)² は 2 の左右で正です。左から近づくと g(x) は 5 より小さく、右へ進むと 5 より大きくなります。水平な接線の位置は見つけていますが、谷へ曲がるとは言えません。

図3では左右の符号を同じ色の矢印で示しています。修正答案には「左右で g′(x) > 0 なので極値を取らない」と理由を添えます。また、極値がある問題で「極大値 -1」と基本例題の位置だけを書くのも誤りです。-1 は x の値であり、高さは f(-1) = 10 です。

練習：問題を先に解く

次の5問では実数全体を考えます。座標、位置、極値は整数または分数で表してください。極値がない場合は、その旨と理由を書いてください。

1. f(x) = x³ − 3x² − 24x + 1 の極大値と極小値、それぞれを取る x を求めてください。
2. g(x) = -x³ + 9x² − 27x + 8 の停留点の座標を求め、極値を取るか判定してください。
3. p(x) = -x² + 6x + 4 の極値とそれを取る x を求めてください。
4. q(x) = x³ + 3x² + 3x + 7 の停留点の座標と、その点が極値を与えるかを求めてください。
5. r(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 6 の極大値と極小値、それぞれを取る x を求めてください。

練習の答えと考え方

1. 2つの零点で向きを確かめる

f′(x) = 3x² - 6x - 24
       = 3(x + 2)(x - 4)
f′(x) = 0 より x = -2, 4

導関数の符号は左から正、負、正です。よって -2 で極大、4 で極小です。

f(-2) = -8 - 12 + 48 + 1
      = 29
f(4) = 64 - 48 - 96 + 1
     = -79

答えは x = -2 で極大値 29、x = 4 で極小値 -79 です。両方の x を導関数に戻すと零となり、元の式に戻した値がそれぞれの高さです。

2. 負のまま進む停留点

g′(x) = -3x² + 18x - 27
       = -3(x - 3)²
g′(x) = 0 より x = 3
g(3) = -27 + 81 - 81 + 8
     = -19

停留点は (3, -19) です。3 の左右で g′(x) < 0 なので減少が続き、極値はありません。座標を元の式に戻すと縦の値は -19 で、導関数にも 3 を代入すると零です。

3. 二次関数の頂点も符号で判定する

p′(x) = -2x + 6
       = -2(x - 3)
p′(x) = 0 より x = 3
p(3) = -9 + 18 + 4
     = 13

3 の左で導関数は正、右で負です。x = 3 で極大値 13 を取り、極小値はありません。元の式に 3 を戻すと 13 となり、傾きも -2・3 + 6 = 0 です。

4. 3乗の形に直して比較する

q′(x) = 3x² + 6x + 3
       = 3(x + 1)²
q′(x) = 0 より x = -1
q(-1) = -1 + 3 - 3 + 7
      = 6
q(x) = (x + 1)³ + 6

停留点は (-1, 6) です。導関数はその左右で正ですから、極値を取りません。最後の式に -1 を代入しても値は 6 で、左右にはそれより小さい値と大きい値があります。

5. 係数をくくって位置を求める

r′(x) = 6x² - 6x - 12
       = 6(x + 1)(x - 2)
r′(x) = 0 より x = -1, 2
r(-1) = -2 - 3 + 12 + 6
      = 13
r(2) = 16 - 12 - 24 + 6
     = -14

符号は左から正、負、正なので、x = -1 で極大値 13、x = 2 で極小値 -14 です。それぞれ元の式への代入で高さが一致し、導関数も零になります。位置が整数になる場合も、求めた値と位置の区別は同じです。

覚えておくこと

• 極値は近くの値との比較で決まり、最大値や最小値とは区別します。
• 微分可能な内点の極値では導関数が零ですが、その逆は限りません。
• 零点の前後で導関数の符号を調べ、変化の向きを判定します。
• 極値を取る x を元の関数に代入して極値を求めます。

自分の説明を点検する

答えが合わないときは、まず零点を境に分けた各区間の符号を、因数ごとに声に出して説明してみてください。重なった因数の符号を片方だけ反転させていないか、係数の負号を落としていないかが見えてきます。また、左右の符号が同じ場合を自分で1つ作り、零点を挟んで増加が続くか減少が続くかを言葉にします。図の形を先に決めず、式で確かめた符号から矢印を描くと、水平な点の扱いを点検できます。次に、求めた x を導関数と元の関数の両方へ代入し、傾きと高さのどちらを計算しているかを書き添えます。

個別指導で確かめるなら、例えば標準例題の x = 2 の左右で g′(x) がなぜ正かを、自分の式で説明できるかが手掛かりです。続けて g(x) − g(2) の符号を左右で比べれば、増減表の矢印と極値の定義がつながります。停留点の前後を調べる一手が、水平な接線を山や谷と見誤ることを防ぎます。