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高校数学III・C 内積と円の軌跡—垂直条件から方程式と端点の扱いを整理する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴理系の数学III・C 融合問題と記述答案

直径の両端が角の条件から外れる理由と、半平面で円弧を切る手順を内積と円の軌跡で追います。

よくあるのは理系高3の演習で、零ベクトルでも角が定義できると思い、直角の条件から得た円の直径の端まで答えに入れる場面です。内積が0となる計算は端でも成り立ちますが、長さ0の線分は角を作りません。式が表す集合と、問題の図形が許す点を最後に照合しましょう。

条件の言葉から出発する

直角をはさむ2辺の端が固定されているときは、その2本のベクトルの内積を0と置きます。展開後の2次式を平方完成すると、直径の両端が固定点である円が現れます。ただし角を指定する問題では、頂点が固定点と一致する場合を除きます。

点がさらに直線の片側にある場合は、円と半平面の共通部分を考えます。境界が含まれるかどうかは、不等号の等号と、角が定義されるかという別々の条件から決めます。半円の端が境界上にあっても、自動的に両端を含むわけではありません。

もう1つの型は、直角を作る2本のベクトルが、動点の位置ベクトルを異なる係数で含む場合です。展開した2次式が円になることもあれば、円が1点に縮むこともあります。半径の2乗が0なら点、負なら実数の点は存在しません。どちらでも、元の角やベクトルの条件に戻る必要があります。

内積の式と角の条件をつなぐ

平面上の2つのベクトル u、v がともに零ベクトルでないとき、そのなす角を θ とすると、u・v = |u||v| cos θ です。したがって、2本が垂直であることと u・v = 0 は同値です。一方、どちらかが零ベクトルなら内積は0ですが、角 θ は定義されません。角の問題では非零を先に確認します。

固定された異なる2点を A、B、動点を P とし、その位置ベクトルをそれぞれ a、b、p とします。直角 APB の条件は、P が A、B と異なることを添えて、次のように書けます。

(a - p)・(b - p) = 0
p・p - (a + b)・p + a・b = 0
|p - (a + b)/2|² = |a - b|²/4

最後の式は、線分 AB の中点を中心、AB の長さの半分を半径とする円です。展開と平方完成は同値変形なので、その円上の点は元の内積を0にします。しかし A と B では一方のベクトルが零になります。図1のように、円の式に戻してから2点を除くと、角の条件と一致します。

図1の白抜きの両端は、円の方程式には入る点です。P が両端以外の円周上にあるとき、2本のベクトルは非零で内積が0なので、逆に角 APB は直角です。この逆の確認によって、候補の円から余分な点を除いた集合が軌跡だと結論できます。

内積の等式そのものを条件とする問題では、零ベクトルが許される場合もあります。「内積が0」と「角が90°」は、非零という前提を挟んで結びつく表現です。問題文に書かれた条件を、そのまま記録してから変形しましょう。

基本例題：直角を作る点

A(0, 0)、B(4, 0) とします。点 P は A、B と異なり、角 APB が90°です。P の軌跡を中心と半径を明示して求め、含まない点も座標で答えてください。

P(x, y) と置きます。P は平面上を動くので x、y は実数です。まず角の条件を、非零の2本のベクトルの内積に直します。

ベクトル PA = (-x, -y)
ベクトル PB = (4 - x, -y)
(-x)(4 - x) + (-y)(-y) = 0
x² - 4x + y² = 0
(x - 2)² + y² = 4

よって必要条件は中心 (2, 0)、半径2の円上にあることです。P = A または P = B なら式は成立しますが、角 APB は定義されません。そこで A、B を除きます。図2のように、中心と半径を確かめると、端点がどこにあるかも見失いません。

逆に、この円上で A、B 以外の点 P を取ります。円の式を展開するとベクトル PA とベクトル PB の内積が0です。2本とも非零なので角 APB は90°です。したがって軌跡は、中心 (2, 0)、半径2の円から (0, 0)、(4, 0) を除いたものです。

例えば円上の点 (2, 2) では、ベクトル PA = (-2, -2)、ベクトル PB = (2, -2) です。内積は -4 + 4 = 0 となり、2本は非零です。これは答えの点が元の条件を満たす確認ですが、1点の確認だけで円周全体の十分性を示したことにはなりません。

標準例題：半平面で切った円弧

C(-2, 0)、D(2, 0) とします。P は C、D と異なり、角 CPD が90°で、さらに y ≥ 1 を満たします。P の軌跡を中心、半径、座標の条件で表し、両端の座標と採否を答えてください。

P(x, y) とすると、角の条件から次の式を得ます。

ベクトル PC = (-2 - x, -y)
ベクトル PD = (2 - x, -y)
(-2 - x)(2 - x) + y² = 0
x² + y² = 4

この円と y ≥ 1 の共通部分を求めます。境界 y = 1 と円の交点は、代入して次のように決まります。

x² + 1 = 4
x² = 3
x = √3 または x = -√3

軌跡は、中心 (0, 0)、半径2の円のうち y ≥ 1 を満たす弧です。端は (-√3, 1)、(√3, 1) で、両方を含みます。等号が許され、しかも両点は C、D のいずれでもないからです。

逆に、この弧上の P は y ≥ 1 なので C、D と異なります。円の式から内積が0となり、2本のベクトルが非零なので角 CPD は90°です。例えば端の (√3, 1) に戻すと、内積は ( -2 − √3)(2 − √3) + 1 = -1 + 1 = 0 です。半平面の等号と角の非零条件を別々に確かめるのが、端の判定の要点です。

もし条件が y > 1 なら同じ2点は境界を満たさず除かれます。また y ≥ 2 なら円との共通部分は (0, 2) の1点です。この点でも2本は非零で直角です。y > 2 なら円との共通部分がなく、軌跡もありません。円の形を求めた後に、範囲条件が何点を残すかまで見ます。

発展例題：円が点に縮む場合

O(0, 0)、A(3, 0) とし、実数 t に対して、点 P(x, y) が次の内積の等式を満たすとします。

ベクトル OP・ベクトル AP = t

P の集合を t の値で分類し、円のときは中心と半径を、点のときは座標を答えてください。ここでは角の指定はなく、内積の等式そのものが条件です。

ベクトル OP = (x, y)
ベクトル AP = (x - 3, y)
x(x - 3) + y² = t
x² - 3x + y² = t
(x - 3/2)² + y² = t + 9/4

左辺は0以上です。そこで右辺の符号で分類します。

t > -9/4：中心 (3/2, 0)、半径 √(t + 9/4) の円
t = -9/4：点 (3/2, 0)
t < -9/4：該当する点なし

等号の場合は2つの平方の和が0なので、それぞれ0です。P = (3/2, 0) を元に戻すと、(3/2, 0)・(-3/2, 0) = -9/4 です。この1点は元の条件を満たします。右辺が負のときは平方の和が負になることはないので、点は存在しません。

円の場合も、平方完成は逆にたどれるため、円上の任意の点は元の内積の等式を満たします。特に t = 0 では P = O、A も許されます。例えば P = O では内積は0ですが、ベクトル OP は零ベクトルです。この問題は角を要求していないため、零ベクトルを理由に除きません。

一方、t = 0 に加えて「角 OPA が90°」と指定されるなら、P = O、A では角を定義できません。同じ方程式から出発しても、条件の違いが答えの集合を変えます。記述では式が円を与えることと、その点が問題の条件を満たすことを分けて書きます。

誤答を条件まで戻して直す

基本例題に対し「内積が0だから (x − 2)² + y² = 4。よって軌跡はこの円」とする答案を考えます。計算は正しいものの、円の両端を含めてしまいます。図3のように、P が A に重なると PA は零ベクトルとなり、角 APB を作れません。B でも同じことが起こります。

原因は、非零を前提とする「内積0なら垂直」を、前提を書かずに適用したことです。修正答案では、まず P が A、B と異なると記し、内積の等式から円を求めます。次に両端を除き、残る円周上の点から内積0と非零を確認して直角へ戻します。

別の失敗は、半平面との交点を無条件に除くことです。標準例題では y = 1 が許され、交点も固定点と異なるので含みます。端の採否は見た目の弧の形ではなく、元の不等号と角の定義で判断します。

練習問題

座標は実数とし、円は中心と半径を明示してください。弧の場合は座標の条件と端の採否も答えます。

E(1, 0)、F(7, 0) に対し、角 EPF が90°となる P の軌跡を求めてください。
G(0, -1)、H(0, 5) に対し、角 GPH が90°で x > 0 となる P の軌跡を求めてください。
J(-3, 0)、K(3, 0) に対し、角 JPK が90°で y ≥ 3 となる P の集合を求めてください。
L(0, 0)、M(2, 0) に対し、ベクトル LP・ベクトル MP = -2 を満たす P の集合を求めてください。
N(0, 0)、Q(6, 0) に対し、ベクトル NP・ベクトル QP = 0 かつ y ≤ 0 を満たす P の集合を求めてください。端点の採否も答えてください。

練習の解答と解き方

1

P(x, y) とすると、P は E、F と異なります。直角の条件から次の式を得ます。

(1 - x)(7 - x) + y² = 0
x² - 8x + 7 + y² = 0
(x - 4)² + y² = 9

したがって中心 (4, 0)、半径3の円から E、F を除いたものです。逆に、その円上で両点と異なる P は、式を戻すと2本の非零ベクトルの内積が0です。よって角は90°です。例えば (4, 3) では (-3, -3)・(3, -3) = 0 となり、元の直角を満たします。

2

P(x, y) と置くと、直角から次を得ます。

(-x)(-x) + (-1 - y)(5 - y) = 0
x² + y² - 4y - 5 = 0
x² + (y - 2)² = 9

中心 (0, 2)、半径3の円のうち x > 0 の半円です。境界上の端 (0, -1)、(0, 5) は不等号を満たさず、角も定義されないため、どちらも除きます。逆に x > 0 の円周上では2本が非零で、展開を戻すと内積0です。例えば (3, 2) の2本は (-3, -3)、(-3, 3) で、内積は0です。

3

直角から ( -3 − x)(3 − x) + y² = 0、すなわち x² + y² = 9 です。y ≥ 3 と円の式を合わせると、y = 3、x = 0 しかありません。答えは点 (0, 3) です。この点ではベクトル PJ = (-3, -3)、ベクトル PK = (3, -3) で、非零かつ内積0です。範囲の等号も成り立つため、この1点を含みます。

4

P(x, y) とすると、与えられた内積は次のように変形できます。

x(x - 2) + y² = -2
x² - 2x + y² = -2
(x - 1)² + y² = -1

左辺は0以上で右辺は負なので、条件を満たす点はありません。平方完成後に平方根を取って円の半径とすることはできません。例えば左辺が最小となる (1, 0) でも、元の内積は -1 で、指定された -2 に届きません。

5

内積の条件を座標に直します。

x(x - 6) + y² = 0
x² - 6x + y² = 0
(x - 3)² + y² = 9

中心 (3, 0)、半径3の円のうち y ≤ 0 の半円です。両端 N、Q では内積が0で、y ≤ 0 も成り立つので含みます。角の条件は指定されていません。逆に、この半円上の点は式を展開して内積0に戻り、範囲条件も満たします。例えば (3, -3) では (3, -3)・(-3, -3) = 0 です。