高校数学III・C 複素数の距離比と軌跡—円の式から除外点と逆の成立まで確かめる｜武蔵野個別指導塾

距離比から得られる円や直線を調べ、商の分母の制限と逆の成立を照合して軌跡の答えを仕上げましょう。

よくあるのは、理系高3の演習で複素数の条件を座標の式に直し、平方完成して円を描いたところで答案を終える場面です。その円の点が元の条件を満たすか、商の分母が0にならないかは、式を作る方向とは別に調べる必要があります。距離の比を図形に変え、戻すところまで書いてみましょう。

比の値と式の形で道具を選ぶ

点 P を表す複素数を z、異なる2点 A、B を表す複素数をそれぞれ a、b とします。|z − a| と |z − b| はそれぞれ PA、PB です。比 PA : PB が与えられたら、まず PA = k PB と置きます。ここで k は正の定数です。比を商で表す式には分母が0にならない条件が必要ですが、この距離の等式そのものは B でも定義されます。

k が1なら PA = PB です。2点から等距離の点は線分 AB の垂直二等分線上にあります。座標で両辺を2乗すると2次の項が消え、直線の式が出ます。k が1でなければ2次の項が残り、平方完成によって円に帰着します。これをアポロニウスの円と呼びます。どちらでも、条件から出た式を軌跡の候補として扱い、候補上の点を元の条件へ戻します。

もう1つの型は |(z − a)/(z − b)| = k のように商が先に現れるものです。このときは初めに z ≠ b と書きます。絶対値の商の性質を使って距離比に直した後も、この制限を保持します。さらに別の条件があれば、円または直線との共通部分を取ります。候補を描くだけでなく、交点や端点が制限に入るかを最後に確認します。

距離の等式と図形の往復

z = x + yi、a = p + qi、b = r + si とします。x、y、p、q、r、s は実数です。複素数の絶対値の定義から、|z − a|² = (x − p)² + (y − q)² です。これは座標平面の距離の2乗です。図1のように、複素数の差を線分の長さに対応させると、比の式と図形の条件を行き来できます。

図1では P から A、B に引いた線分がそれぞれ |z − a|、|z − b| に対応します。距離は負でないので、k > 0 のもとでは PA = k PB と PA² = k² PB² は同値です。2乗して得た式から戻るときも、この非負性が根拠になります。符号の異なる数の等式を無条件に2乗から復元するわけではありません。

たとえば A と B が異なるとき、距離の等式 PA = k PB を B に代入すると BA = 0 が必要ですが、これは成り立ちません。したがって正の有限な k の距離比の軌跡には B がもともと含まれません。ただし、これは今回の形での結論です。別の因子を掛けた条件や、比が0の場合に同じことを無検査で適用しないようにします。

軌跡の答案には2方向があります。必要性は、条件を満たす任意の P から候補の式を導くことです。十分性は、候補の任意の点が定義域にあり、元の条件を満たすことです。計算の各行が同値であれば、その理由と定義域を明記することで両方向を一度に示せます。平方完成後に図を描くときにも、中心と半径が実際に存在するかを見ます。

基本例題：比が2の円

点 A、B をそれぞれ複素数 0、3 で表します。|(z − 0)/(z − 3)| = 2 を満たす点 P の軌跡を、中心と半径を用いて答えてください。

分母の条件は z ≠ 3 です。z = x + yi と置くと、求める条件は PA = 2PB です。両辺は非負なので2乗して同値な式を得ます。

x² + y² = 4((x - 3)² + y²)
x² + y² = 4x² - 24x + 36 + 4y²
0 = 3x² - 24x + 36 + 3y²
0 = x² - 8x + y² + 12
(x - 4)² + y² = 4

候補は中心 (4, 0)、半径 2 の円です。図2のように実軸との交点は 2 と 6 です。A は 0、B は 3 にあり、B は円上にありません。実際、x = 3、y = 0 を円の左辺に入れると 1 であり、右辺の 4 とは異なります。

逆に円上の任意の点について、平方完成の各行を逆にたどると PA² = 4PB² です。両距離は非負なので PA = 2PB となります。また B は円上にないため商も定義されます。したがって軌跡は中心 4、半径 2 の円全体です。端の点 2 と 6 でも比はそれぞれ 2 : 1、6 : 3 となり、元の条件に戻ります。

この例では、中心が2点の間にあるとは限らないことにも注意します。比が2という情報から中心を目測せず、式で定めると位置の取り違えを防げます。分母の点が円上にない確認は、図の見た目ではなく式への代入で書けます。

標準例題：比が1になる境目

点 A、B をそれぞれ -2、4 で表します。実数 t > 0 に対し |z + 2| = t|z − 4| を満たす点 P の軌跡を、t = 1 と t ≠ 1 に分けて答えてください。円の場合は中心と半径を正確に示します。

z = x + yi と置きます。距離が非負で t > 0 ですから、2乗は同値です。展開すると次の式です。

(x + 2)² + y² = t²((x - 4)² + y²)
x² + 4x + 4 + y² = t²x² - 8t²x + 16t² + t²y²
(1 - t²)(x² + y²) + (4 + 8t²)x + 4 - 16t² = 0

ここで 1 − t² で割る前に t = 1 を分けます。t = 1 なら式は 12x − 12 = 0、すなわち x = 1 です。これは A と B の中点を通る垂直二等分線です。逆に x = 1 なら両距離の2乗はいずれも 9 + y² であり、元の等距離条件を満たします。

t ≠ 1 のとき、次のように平方完成します。

x² + y² + 4(1 + 2t²)x/(1 - t²) + (4 - 16t²)/(1 - t²) = 0
(x + 2(1 + 2t²)/(1 - t²))² + y² = 36t²/(1 - t²)²

中心は実軸上の -2(1 + 2t²)/(1 − t²)、半径は 6t/|1 − t²| です。t > 0 より半径は正です。逆にこの円上の任意の点から式を逆にたどれば、距離の2乗の等式が得られます。両辺が非負なので元の距離の等式も成立します。ここには商がないため、分母の定義域を新たに設ける必要はありません。なお B 自身を代入すると左辺は6、右辺は0なので、いずれの場合も軌跡上にありません。

境目を先に調べる理由は、単に割り算の禁止を避けるためだけではありません。2次の項が消え、答えの図形自体が円から直線に変わるためです。t が1に近くても等しくなければ円であり、t = 1 の式に代入した場合とは分けて述べます。

発展例題：距離比と直線の共通部分

点 A、B をそれぞれ 1、5 で表します。|(z − 1)/(z − 5)| = 1/2 かつ z の虚部が 1 である点 P を、複素数の形で求めてください。

z ≠ 5 が必要です。z = x + yi と置き、まず距離比から円を求めます。両距離は非負ですから、2乗して同値変形できます。

4((x - 1)² + y²) = (x - 5)² + y²
4x² - 8x + 4 + 4y² = x² - 10x + 25 + y²
3x² + 2x + 3y² - 21 = 0
(x + 1/3)² + y² = 64/9

候補は中心 -1/3、半径 8/3 の円です。もう一方の条件 y = 1 を代入すると次の通りです。

(x + 1/3)² + 1 = 64/9
(x + 1/3)² = 55/9
x = (-1 + √55)/3 または (-1 - √55)/3

したがって候補は z = (-1 + √55)/3 + i、または z = (-1 − √55)/3 + i です。いずれも虚部が1なので z ≠ 5 です。逆にこの2点は y = 1 と円の式を満たします。円の式を逆にたどれば 4PA² = PB²、距離の非負性から 2PA = PB です。よって商の絶対値は1/2となり、両方が答えです。

共通部分の計算では、平方根が出たことだけで元の問題の答えとしないようにします。交点の個数、もう一方の条件、分母の値を順に照合します。たとえば直線が円に接するときは平方した量が0となり候補は1点、負なら実数 x が存在しません。この区別は図の概形だけでなく、代入後の式から判定できます。

誤答を直す：円の候補と元の式

次の条件を考えます。z ≠ 3 かつ (z − 3)|z| = 2(z − 3)|z − 3| を満たす点の軌跡です。両辺は複素数ですが、共通因子を除くと基本例題の距離比になります。

誤答は「両辺を z − 3 で割り、(x − 4)² + y² = 4。したがって求める軌跡はこの円」と、割れる理由や逆を省く答案です。今回は結論の図形は正しくても、どの点で割ったかが読み取れません。図3のように、候補を得る矢印と元に戻す矢印を分けて点検します。

修正答案では、まず z ≠ 3 より z − 3 ≠ 0 と書き、共通因子を割って |z| = 2|z − 3| を得ます。基本例題と同じ変形で候補は (x − 4)² + y² = 4 です。逆に、この円は z = 3 を含まず、円上の点は |z| = 2|z − 3| を満たします。両辺に z − 3 を掛ければ元の等式も成立します。以上より円全体が軌跡です。

条件 z ≠ 3 がもしなければ、z = 3 では元の両辺が0となり、円に加えて点 3 も解です。割る前に失われる点を別に代入する必要があります。この違いは計算ミスではなく、変形の適用範囲の違いです。商の分母が0となる点は元の式が未定義ですが、積の因子が0となる点は元の式に代入できることも区別します。

練習：条件から候補を作る

次の5問では軌跡は円なら中心と半径、直線なら方程式で答えてください。複素数を求める問題では正確な値で答えます。

1. |z − 2i| = |z + 4i| を満たす点の軌跡を求めてください。
2. |(z + 1)/(z − 2)| = 2 を満たす点の軌跡を求めてください。
3. |z − 2| = 3|z + 2| を満たす点の軌跡を求めてください。
4. |z − i| = |z − 3i| かつ |z| = 3 を満たす z を求めてください。
5. z ≠ -1 かつ (z + 1)|z − 3| = (z + 1)|z + 1| を満たす点の軌跡を求めてください。

練習の解答と確かめ

1. z = x + yi とします。距離は非負なので、等距離の条件は2乗した式と同値です。

x² + (y - 2)² = x² + (y + 4)²
y² - 4y + 4 = y² + 8y + 16
-12y = 12
y = -1

逆に y = -1 なら両距離はともに √(x² + 9) です。したがって軌跡は直線 y = -1 です。中点 -i を通り、2点を結ぶ虚軸に垂直であることも一致します。

2. 分母から z ≠ 2 です。z = x + yi と置き、距離比を2乗します。

(x + 1)² + y² = 4((x - 2)² + y²)
x² + 2x + 1 + y² = 4x² - 16x + 16 + 4y²
x² - 6x + y² + 5 = 0
(x - 3)² + y² = 4

中心 3、半径 2 の円が候補です。z = 2 は左辺が1で円上にありません。逆に円の式から2乗した距離の等式に戻れ、非負性から元の比が2です。実軸上の円の点 1 と 5 でも、それぞれ距離比は 2 : 1 と 6 : 3 です。

3. z = x + yi と置きます。両辺が非負であることを使って2乗します。

(x - 2)² + y² = 9((x + 2)² + y²)
x² - 4x + 4 + y² = 9x² + 36x + 36 + 9y²
x² + 5x + y² + 4 = 0
(x + 5/2)² + y² = 9/4

中心 -5/2、半径 3/2 の円です。この円の任意の点で |z − 2|² = 9|z + 2|² が復元でき、両距離が非負であることから |z − 2| = 3|z + 2| に戻ります。実軸上の端点 -1、-4 では、それぞれ 3 : 1、6 : 2 と元の条件に一致します。

4. z = x + yi と置きます。等距離の条件を2乗すると次を得ます。

x² + (y - 1)² = x² + (y - 3)²
y² - 2y + 1 = y² - 6y + 9
y = 2
x² + y² = 9
x² = 5
x = √5 または -√5

候補は √5 + 2i と -√5 + 2i です。両点とも原点からの距離は √(5 + 4) = 3 です。また i と 3i からの距離はともに √6 ですから、2つとも元の条件を満たします。

5. z ≠ -1 なので共通因子 z + 1 で割れます。z = x + yi と置いて等距離条件を2乗します。

(x - 3)² + y² = (x + 1)² + y²
x² - 6x + 9 = x² + 2x + 1
x = 1

候補の直線 x = 1 は除外点 -1 を含みません。逆にその直線上では両距離の2乗がともに 4 + y² なので等距離です。両辺に z + 1 を掛ければ元の式を満たし、軌跡は直線 x = 1 です。もし除外条件がなければ、元の積の等式には点 -1 も加わります。

答案を見直す順番

• 商の分母と、割る因子が0になる点を先に調べます。
• 距離比が1なら直線、1以外なら平方完成して円を調べます。
• 距離の非負性を根拠に2乗と元の等式を結びます。
• 候補上の点が元の条件と定義域を満たすことを示します。
• 他の条件があれば共通部分と境界を照合します。

途中式は合うのに候補から先へ進めない場合は、各変形を逆向きにたどれるかを確認します。個別指導では、分母が0の点と共通因子が0の点をそれぞれ元の式に戻せるか、比が1のときに割る係数が消えることに気づけるかを確かめます。円の式を終点にせず、元の距離条件へ戻すことで軌跡の範囲が定まります。