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高校数学C 離心率と準線—焦点距離との比から三種類の曲線を結び付ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 式と曲線を掘り下げる

焦点と準線への距離を比べ、二乗の同値性を確かめながら楕円・放物線・双曲線を分類する手順を学べます。

よくあるのは、理系の高3が楕円の中心を焦点と思い、点から中心までの距離を準線までの距離と比べてしまう場面です。中心は図の対称性を表す点で、距離比に使う焦点とは別の位置にあります。どの点からどの直線まで測るのかを図に書き込むと、式の意味が見えてきます。距離を二乗して得た式が正しくても、元の比へ戻す作業は必要です。

距離比を問う形

出方の1つは、焦点と準線と比が与えられ、点の軌跡を求める形です。点と直線の距離には絶対値が付くので、二乗した後に距離の符号を確かめます。焦点が準線上にある配置では、距離比の条件から1点や直線などの退化した集合が生じます。通常の楕円・放物線・双曲線として分類する前に、焦点が準線から離れているかを確かめます。

もう1つは、標準形から離心率と準線を求める形です。横向きの楕円と双曲線では、中心から焦点までの距離をc、頂点までの距離をaとするとe = c/aです。ただし、準線の位置はa/eであり、焦点の位置cとは違います。縦向きなら座標の役割を交換します。

さらに、曲線の種類や点の通過条件からeを逆算する形があります。二次方程式に候補が複数出ても、eの正負と曲線の種類を戻して選びます。楕円のeが1未満という条件を答えの後で確認することで、双曲線に対応する候補を取り違えずに済みます。

焦点と準線から測る

焦点Fと、Fを通らない直線を準線とします。動点PからFまでの距離をPF、Pから準線へ下ろした垂線の長さをPHとし、正の定数eについてPF = e・PHを満たす点の集合を考えます。このeが離心率です。PHは必ず0以上であり、垂線の足HはPの位置に応じて動きます。

図1のように、比の分子の始点は中心Oではなく焦点Fです。Pから準線までの距離は斜めの線分ではなく垂直な線分で測ります。図の楕円はx²/25 + y²/16 = 1で、Fは(3,0)、右側の準線はx = 25/3です。P = (0,4)ではPF = 5、PH = 25/3なので、比は3/5です。

図1では中心Oと焦点Fが別の点です。OP = 4を分子にすると4 ÷ (25/3) = 12/25となり、正しい比とは一致しません。距離を測る2つの対象を明記してから計算します。

一般に焦点をF = (f,0)、準線をx = dとし、f ≠ d、e > 0とします。P = (x,y)の距離条件は次の式です。

√((x - f)² + y²) = e|x - d|
(x - f)² + y² = e²(x - d)²
(1 - e²)x² + y² - 2(f - e²d)x + f² - e²d² = 0

両辺は0以上なので、ここでの二乗は同値です。逆に最後の式から最初の式へ戻るときも、平方根の値とe|x − d|がともに0以上であることを使います。絶対値を外す場合はxが準線のどちら側にあるかを別に調べます。

0 < e < 1ならx²とy²の係数がともに正で、平方完成すると楕円です。e = 1ならx²の項が消え、f ≠ dによってxの係数が0でないため放物線です。e > 1ならx²の係数が負、y²の係数が正となり双曲線です。焦点と準線が交わる退化の場合をこの分類に混ぜないことが条件です。

楕円x²/a² + y²/b² = 1ではa > b > 0、c² = a² − b²、c > 0とします。右焦点F = (c,0)に対応する準線はx = a²/cです。曲線上では

PF² = (x - c)² + y²
     = (a - cx/a)²

となります。楕円上の|x| ≤ aとc < aからa − cx/a > 0です。またa²/c > aなので準線までの距離はa²/c − xです。よってPF = (c/a)(a²/c − x)となり、比はc/aです。左焦点には準線x = -a²/cが対応します。焦点と反対側の準線を組み合わせてはいけません。

双曲線x²/a² − y²/b² = 1ではa,b > 0、c² = a² + b²です。右焦点(c,0)と準線x = a²/cに対して、式に代入すればPF² = (a − cx/a)²です。ここではc > aなので符号を決め打ちせず、PF = |a − cx/a| = (c/a)|x − a²/c|とします。両方の枝で同じ距離比が成り立ちます。放物線では焦点と準線までの距離が等しいのでe = 1です。

円ではc = 0と形式的に考えることはできますが、a²/cは定義できません。有限の準線に対する距離比にe = 0を代入するとPF = 0となり、点Fしか残りません。円をこの距離比の定義に無条件で含めないことが重要です。

基本例題：距離から楕円へ

焦点F = (2,0)、準線x = 8に対してPF = (1/2)PHを満たす点Pの軌跡を求め、標準形と焦点、対応する準線を整数または分数で答えてください。HはPから準線へ下ろした垂線の足です。

Fは準線上になく、e = 1/2は0と1の間です。P = (x,y)と置き、距離をそれぞれ書きます。

PF = √((x - 2)² + y²)
PH = |x - 8|
√((x - 2)² + y²) = (1/2)|x - 8|
4(x - 2)² + 4y² = (x - 8)²
4x² - 16x + 16 + 4y² = x² - 16x + 64
3x² + 4y² = 48
x²/16 + y²/12 = 1

両辺が非負なので二乗は同値です。a = 4、b² = 12、c² = 16 − 12 = 4よりc = 2です。焦点は(±2,0)、右焦点に対応する準線はx = 16/2 = 8、左焦点に対応する準線はx = -8です。式の点は|x| ≤ 4なので、右準線までの距離は8 − xです。

図2のように、右の頂点(4,0)ではPF = 2、PH = 4となり、比は1/2です。上の点(0,2√3)でもPF = 4、PH = 8です。一般の点についても、元の式が平方した距離の等式と同値なので逆向きが成り立ちます。2点の確認は図の照合であり、それ自体を全点の証明には使いません。

図2の右準線に対応するのは右焦点です。左焦点に対する左準線も対称性から得られますが、元の問題の比は右の組で検算します。

標準例題：双曲線の両枝を残す

焦点F = (5,0)、準線x = 9/5に対してPF = (5/3)PHを満たす軌跡を求め、標準形と2つの頂点を答えてください。距離は非負とします。

Fは準線上になく、e = 5/3 > 1です。絶対値を外さずに二乗します。

√((x - 5)² + y²) = (5/3)|x - 9/5|
9(x - 5)² + 9y² = 25(x - 9/5)²
9x² - 90x + 225 + 9y² = 25x² - 90x + 81
16x² - 9y² = 144
x²/9 - y²/16 = 1

頂点は(3,0)、(-3,0)です。右頂点ではPF = 2、PH = 6/5で、(5/3)PH = 2です。左頂点ではPF = 8、PH = 24/5で、(5/3)PH = 8です。右枝はx ≥ 3、左枝はx ≤ -3であり、準線x = 9/5は両枝の間にあります。両辺が非負なので二乗式の任意の点も元の比に戻り、両枝を含むことが証明できます。

x − 9/5を絶対値なしで使うと、左枝では右辺が負になってしまいます。その式は元の距離条件より狭い条件です。左枝を落とす理由は二乗そのものではなく、二乗前に距離の符号を誤ったことにあります。

発展例題：通過点から比を選ぶ

焦点F = (3,0)、準線x = 12に対し、点P = (0,4)を通る距離比の曲線を考えます。正の離心率eを分数で求め、軌跡の標準形を答えてください。

まず与えられた点の2つの距離を直接測ります。準線と焦点は一致せず、PH = 12 > 0なので比を求められます。

PF = √(3² + 4²) = 5
PH = 12
5 = 12e
e = 5/12

0 < e < 1ですから楕円です。任意の点を(x,y)として距離条件にこの値を代入し、両辺が非負であることを使って二乗します。

√((x - 3)² + y²) = (5/12)|x - 12|
144((x - 3)² + y²) = 25(x - 12)²
119x² - 264x + 144y² - 2304 = 0
119(x - 132/119)² + 144y² = 291600/119
(x - 132/119)²/(291600/14161) + y²/(2025/119) = 1

中心が原点とは限らないため、xの一次項を残したまま標準形と判断しません。右辺は正で、分母も正です。Pを戻すと距離は5と12で、比は確かに5/12です。式から元の条件へも両辺の非負性で戻れるので、二乗による余分な点はありません。焦点が中心ではないことは、中心のx座標132/119と焦点のx座標3を比較しても確かめられます。

誤答を距離に戻して直す

図3のように基本例題の上の点を調べるとき、中心Oからの距離2√3を分子とし、準線までの距離8で割る誤答が考えられます。この計算はOP/PHを求めており、条件のPF/PHではありません。Oは対称性を表す点で、準線と対になる焦点はFです。

図3でP = (0,2√3)、F = (2,0)です。三平方の定理でPF² = 2² + (2√3)² = 16となり、PF = 4です。PH = 8なのでPF/PH = 1/2と修正できます。中心と焦点が近い図でも、同じ点として扱うことはできません。

別の誤りは、距離|x − d|をいつもd − xとすることです。点が準線の左側なら正しいものの、右側では負になります。まず絶対値のまま立式し、外す必要がある場合に限ってx ≤ dとx ≥ dに分けます。準線上ではPH = 0ですが、焦点が準線上にないためPF > 0ですから、距離条件を満たす点はありません。

練習：比と位置を往復する

各問のHは動点Pから指定された準線への垂線の足です。方程式は平方完成して標準形に直してください。座標と距離比は、整数・分数・必要に応じて根号を用いた正確な値で答えます。

楕円x²/36 + y²/20 = 1の焦点、離心率、各焦点に対応する準線を求めてください。
双曲線x²/25 − y²/144 = 1の焦点、離心率、各焦点に対応する準線を求めてください。
焦点(1,0)、準線x = -1からの距離が等しい点の軌跡を求めてください。
焦点(4,0)、準線x = 16についてPF = (1/4)PHとなる軌跡を求めてください。
焦点(0,2)、準線y = 8について、点(3,0)を通る距離比の正のeと軌跡を求めてください。

練習の答えと確かめ

a = 6、b² = 20でa > b > 0です。c² = 36 − 20 = 16よりc = 4、e = 2/3です。焦点は(±4,0)、対応する準線はそれぞれx = ±9です。右頂点(6,0)では焦点まで2、準線まで3で比は2/3です。左側も対称に確認できます。
a = 5、b = 12はいずれも正です。c² = 25 + 144 = 169よりc = 13、e = 13/5です。焦点は(±13,0)、対応する準線はそれぞれx = ±25/13です。右頂点(5,0)から右焦点まで8、右準線まで40/13なので、比は13/5です。左枝の頂点(-5,0)から右焦点までは18、右準線までは90/13であり、同じ比に戻ります。
焦点と準線は離れており、e = 1です。距離の等式を二乗します。

√((x - 1)² + y²) = |x + 1|
(x - 1)² + y² = (x + 1)²
y² = 4x

両辺が非負なので逆も成立します。頂点(0,0)の2つの距離はともに1です。焦点と準線の中点が頂点になる位置関係にも合います。

焦点は準線上になく、比1/4は正です。二乗前の両辺は非負です。

√((x - 4)² + y²) = (1/4)|x - 16|
16((x - 4)² + y²) = (x - 16)²
15x² - 96x + 16y² = 0
15(x - 16/5)² + 16y² = 768/5
(x - 16/5)²/(256/25) + y²/(48/5) = 1

右頂点は(32/5,0)です。焦点まで12/5、準線まで48/5で、比は1/4です。二乗式からも非負の距離へ戻せるため、楕円全体が軌跡です。

点(3,0)から焦点まで√13、準線まで8なのでe = √13/8です。eは正で1未満です。P = (x,y)と置いて二乗します。

√(x² + (y - 2)²) = (√13/8)|y - 8|
64(x² + (y - 2)²) = 13(y - 8)²
64x² + 51y² - 48y - 576 = 0
64x² + 51(y - 8/17)² = 9984/17
x²/(156/17) + (y - 8/17)²/(3328/289) = 1

指定点では距離が√13と8に戻ります。標準形の分母も正で、二乗の逆は両辺の非負性から成立します。eは根号を含むので、分数の指定は根号を含む分数として表しました。

要点

焦点と準線への距離比はPF/PHです。焦点が準線上になくe > 0なら、1未満は楕円、1は放物線、1より大きければ双曲線です。標準形の横向きの楕円・双曲線ではe = c/a、準線は対応する焦点と同符号のx = ±a²/cです。絶対値と距離の非負性を保ち、二乗した式から元の条件へ戻します。円のe = 0を有限の準線への距離比にそのまま入れることはできません。