高校数学C 円のベクトル方程式—中心と半径の式を内積表示と行き来する｜武蔵野個別指導塾

直径の両端から中心と半径を求め、内積の式の平方完成によって円・1点・点なしを判定します。

よくあるのは、直径の両端が与えられたとき、端点の一方を中心として円を描いてしまう場面です。両端は円周上にあり、中心はその中点です。半径も両端間の距離そのものではなく、その半分です。図と式のどちらか一方だけで判断すると、中心の取り違えや半径の二乗の見落としが残ります。位置ベクトルと内積を行き来し、最後に元の条件へ戻して確かめましょう。

円の条件が現れる3つの形

動点Pの位置ベクトルをp（ベクトル）、固定点Cの位置ベクトルをc（ベクトル）とします。まず、PとCの距離が一定という条件から、中心と半径を読む形があります。距離は負にならないため、与えられた長さの符号に注意します。

次に、異なる2点A、Bを直径の両端とし、Pから両端へ向かうベクトルの内積を0とする形があります。中点を介して平方完成すると、端点を含む円周全体が得られます。Pが端点のとき一方のベクトルは零なので、角度を使う説明だけに頼らないことが必要です。

もう1つは、pの二乗とpの一次の項を含む内積の式から、中心と半径を読み直す形です。平方完成後の右辺が正、0、負のどれかで、円、1点、条件を満たす点なしに分かれます。式を変形しただけで図形の種類を決めず、最後の値を判定します。

中心から測る距離を式にする

原点をOとし、点P、Cの位置ベクトルをそれぞれp、cとします。ベクトル CPはp − cです。半径rが正の円は、距離の定義から次の条件で表せます。

|p - c| = r
(p - c)・(p - c) = r²

図1のように、中心Cから円周上のPへ引いた線分の長さは、Pがどこにあってもrです。逆に、Cからの距離がrである点は定義によって円周上にあります。したがって、この式は必要条件であるだけでなく十分条件でもあります。

図1のOからC、Pへの位置ベクトルの差が、CからPへのベクトルです。rが0なら|p − c| = 0よりp = cとなり、条件を満たすのは点Cだけです。これは半径が正の円とは区別します。rが負なら距離が負になることはないので、最初の距離の条件を満たす点はありません。負のrを何も考えず二乗すると、正の距離を持つ点まで加えてしまいます。

次に、異なる点A、Bの位置ベクトルをa、bとします。中点Mの位置ベクトルをm = (a + b)/2、ベクトル MBをd = (b − a)/2と置けば、dは零ではありません。a = m − d、b = m + dなので、次が成り立ちます。

(p - a)・(p - b)
= (p - m + d)・(p - m - d)
= |p - m|² - |d|²

よって、(p − a)・(p − b) = 0は|p − m|² = |d|²と同値です。AとBが異なるので|d|は正です。条件は中点Mを中心、ABの長さの半分を半径とする円を表します。PがAやBでも内積は0です。端点以外では2つのベクトルが非零なので、内積0は角APBが直角であることに対応します。

一般に、p・p − 2c・p + k = 0を見たら、c・cを両辺に補います。内積の分配法則から、次の式が得られます。

p・p - 2c・p + k = 0
p・p - 2c・p + c・c = c・c - k
|p - c|² = |c|² - k

右辺が正なら半径はその値の正の平方根です。右辺そのものを半径と読んではいけません。右辺が0なら点Cだけ、負なら左辺が負になれないため該当する点はありません。元の式と平方完成後の式は同値ですから、この判定で条件を満たす点を過不足なく表せます。

基本例題：端点から中心を取り出す

問題。A(0, 0)、B(6, 4)を直径の両端とする円について、点Pの位置ベクトルpが満たす内積の式と、中心の座標および半径を求めてください。半径は根号で表します。

図2のように、AとBの中点をCと置きます。両端は異なるので、直径は正の長さを持ちます。座標の原点をAに取った図では、pは原点からPへの位置ベクトルです。

A、Bの位置ベクトルをa、bとすると、求める内積の式は次の通りです。

(p - a)・(p - b) = 0

中心Cは中点ですから、各成分の平均を取ります。

C = ((0 + 6)/2, (0 + 4)/2)
  = (3, 2)

ベクトル ABの成分は(6, 4)です。距離と半径は次のようになります。

AB² = 6² + 4²
    = 52
AB = √52
   = 2√13
半径 = AB/2
     = √13

したがって、c = (3, 2)として|p − c|² = 13とも表せます。Pの座標を(x, y)と書くと、もとの内積の式も次のように変形できます。

(x, y)・(x - 6, y - 4) = 0
x² - 6x + y² - 4y = 0
(x - 3)² + (y - 2)² = 13

中心からAまでの距離の二乗は3² + 2² = 13、Bまでの距離の二乗は同じく3² + 2² = 13です。どちらも半径√13の円周上にあります。さらにCからA、Bへのベクトルは(-3, -2)、(3, 2)で互いに逆向きですから、AとBを結ぶ線分は中心を通ります。端点の距離が等しいことに加え、直径としての位置も元の条件に戻して確かめました。

標準例題：内積の式を中心の形に直す

問題。位置ベクトルp = (x, y)を持つ点Pが、p・p − 2(2, -3)・p − 3 = 0を満たします。この点の集合を、中心の座標と根号を用いた半径で表してください。また、点Q(6, -3)がその集合に属するか判定してください。

二乗の項と一次の項があるので、中心からの距離の形に直します。c = (2, -3)とすれば|c|² = 13です。13を補って平方を作ります。

p・p - 2c・p - 3 = 0
p・p - 2c・p = 3
p・p - 2c・p + 13 = 16
|p - c|² = 16
|p - c| = 4

距離は負にならず、4は正なので、中心(2, -3)、半径4の円です。Qから中心へのベクトルは(4, 0)ですから、その長さは4です。Qは円周上にあります。元の式にも戻すと次のようになります。

(6, -3)・(6, -3) - 2(2, -3)・(6, -3) - 3
= 45 - 2・21 - 3
= 0

平方完成後に成立するだけでなく、与えられた内積の式も満たします。たとえば右辺が16になった段階で半径を16とすると、Qの中心からの距離4と一致しません。二乗と長さの段階を明記すると、この取り違えを防げます。

発展例題：定数による図形の変化

問題。実数tに対し、位置ベクトルp = (x, y)を持つ点Pが、p・p − 2(1, 2)・p + t = 0を満たします。この点の集合をtの値によって分類し、円になる場合は中心と半径を、点になる場合は座標を求めてください。半径は根号で表します。

中心候補c = (1, 2)に対して|c|² = 5です。左辺の二次と一次の部分を一つの長さの二乗にまとめます。

p・p - 2c・p + t = 0
p・p - 2c・p + 5 = 5 - t
|p - c|² = 5 - t

左辺は2つの成分の二乗の和で、常に0以上です。そこで右辺について場合分けします。

t < 5なら5 − t > 0です。中心は(1, 2)、半径は√(5 − t)の円です。この円上の点は|p − c|² = 5 − tを満たし、変形を逆にたどると元の式も満たします。逆に元の式を満たす点は円上にあるので、余分な点や欠けた点はありません。

t = 5なら|p − c|² = 0です。ベクトルの長さが0となるのは零ベクトルの場合だけなので、p = c、すなわち点(1, 2)だけです。元の式に代入すると5 − 2・5 + 5 = 0となります。

t > 5なら5 − t < 0です。長さの二乗が負にはならないため、条件を満たす点はありません。平方根を取って半径を書く前に、この場合を除きます。

例えばt = 1では半径2の円になり、中心から右へ2進んだ点(3, 2)は元の式に代入して13 − 2・7 + 1 = 0を満たします。一方、t = 6では左辺を平方完成すると|p − c|² + 1です。どの点でも正なので、実際に解がないことを別の形でも確認できます。

端点を中心とする誤答を直す

A(0, 0)、B(6, 4)を直径の両端とする基本例題で、「Aを中心としABを半径とする」と答えると、Bは円周上にあります。しかしAは中心ですから、A自体はその円周上にありません。元の条件ではAも直径の端点として円周上にあるので、そこで矛盾が見つかります。

図3のように、Aを中心とする円と、中点Cを中心とする円を比べます。誤った円はBを通るものの、Aを通りません。正しい円はAとBの両方を通り、その中点Cを中心とします。両端を結ぶ距離を測った後、半分にして半径とします。

式による検査も有効です。誤った円の条件は|p − a| = |b − a|です。p = aを代入すると左辺は0ですが、AとBは異なるので右辺は正です。一方、正しい内積の条件にp = aを代入すると、零ベクトルとの内積になり0です。p = bについても同様です。

もう1つの誤りは、内積0から直角だけを使い、AとBを円から除くことです。端点では角度の定義に使うベクトルの一方が零になりますが、内積の式は成立します。角度の議論が使えない場所を式で別に確かめると、端点を落とさずに済みます。

手を動かして確かめる5問

各問で原点をOとし、pは点Pの位置ベクトルです。中心は座標で、半径や距離は必要なら根号で表してください。

1. C(-2, 1)からの距離が3であるPについて、ベクトル方程式と座標の方程式を求めてください。
2. 異なる2点D(-2, 0)、E(4, 0)を直径の両端とする円の中心と半径を求め、内積による条件も書いてください。
3. p・p − 2(-1, 4)・p + 8 = 0が表す円の中心と半径を求め、点(2, 4)がその円周上にあるか判定してください。
4. p・p − 2(3, -1)・p + 10 = 0を満たす点の集合を求めてください。
5. p・p − 2(-2, -1)・p + 7 = 0を満たす点の集合を求めてください。

解答と元の条件への確認

1. c = (-2, 1)とすると、距離が3という条件は次の形です。

|p - c| = 3
|p - c|² = 9

p = (x, y)を用いれば、座標の方程式は(x + 2)² + (y − 1)² = 9です。例えば(1, 1)では中心からの差が(3, 0)で、距離は3です。逆にこの方程式の左辺は距離の二乗ですから、式を満たす点の距離は負でない平方根の3となり、元の条件に戻ります。

2. d、eをそれぞれD、Eの位置ベクトルとします。中点と半径を計算します。

中心 = ((-2 + 4)/2, (0 + 0)/2)
     = (1, 0)
DE = 6
半径 = 6/2
     = 3
(p - d)・(p - e) = 0

DとEは中心からともに距離3で、中心は線分DEの中点です。内積の条件にp = d、p = eをそれぞれ代入すると、いずれも一方の因子が零ベクトルになり0です。端点を含めて、指定された直径の円に戻ります。

3. c = (-1, 4)とすると|c|² = 17です。平方完成します。

p・p - 2c・p + 8 = 0
p・p - 2c・p + 17 = 9
|p - c|² = 9

中心は(-1, 4)、半径は3です。点(2, 4)と中心の差は(3, 0)なので距離は3です。元の式でも20 − 2・14 + 8 = 0となり、円周上という判定に一致します。

4. c = (3, -1)とすると|c|² = 10です。次の式を得ます。

p・p - 2c・p + 10 = 0
|p - c|² = 0
p = c

点の集合は点(3, -1)だけです。その点を元の式に戻すと10 − 2・10 + 10 = 0です。半径が正の円として答えないようにします。

5. c = (-2, -1)とすると|c|² = 5です。平方完成して符号を調べます。

p・p - 2c・p + 7 = 0
|p - c|² + 2 = 0
|p - c|² = -2

左辺は0以上なので、条件を満たす点はありません。逆に元の左辺は|p − c|² + 2で、どの点でも2以上です。単に平方根が書けないからではなく、元の条件を満たす点が存在しないと判定できます。

最後に残す4行

中心c、半径rが正なら|p − c|² = r²です。 直径の両端a、bが異なるとき、(p − a)・(p − b) = 0は中点を中心とする円を表します。 平方完成した右辺が正、0、負なら、それぞれ円、1点、点なしです。 端点の代入と中心からの距離で、元の条件へ戻します。

どこで止まったかを見分ける

中心を端点に置いた答案には、両端がその円周上にあるかを代入して尋ねます。中心はどの点か、直径と半径の長さはそれぞれいくつかを図に書くと、取り違えた段階が見えます。内積の式で端点を落とした答案では、端点で零ベクトルが生じることと、内積自体は計算できることを確かめます。

平方完成後に止まった場合は、右辺が長さか長さの二乗かを言葉で説明してみてください。個別指導で式を点検するときも、正の値だけでなく0や負の値を並べて、どんな点が残るかを答え直します。円の式は、点が条件を満たすことと、条件を満たす点が図に含まれることの両方を示して閉じます。