高校数学III 平面運動の道のり—座標の速度から速さを作って時間で積分する｜武蔵野個別指導塾

平面上の座標を微分し、速度成分の二乗和から速さを求めます。道のりと変位の大きさを、直線・曲線・折り返す運動で比べて確かめます。

よくあるのは、理系の高3が平面上を動く点の演習で、横向きと縦向きの速度成分をそのまま足してしまう場面です。成分は互いに直角な向きの量なので、和を速さとすると斜めの動きが正しく測れません。始点と終点を結ぶ距離とも区別しながら、実際に点が進んだ道のりを求めます。

何を求める問題なのか

時刻 t における点の位置が座標 (x(t), y(t)) で与えられたとします。典型的な問いは、指定された時間内の道のり、始点から終点への変位の大きさ、あるいは両者の比較です。座標式から両成分を微分できれば、速さを経由して道のりに進めます。

座標が同じ点に戻る運動では、変位の大きさは0でも道のりは正になることがあります。逆に、一定方向へ一直線に進めば両者は一致します。答えの大小を見積もっておくと、積分の途中で符号や区間を間違えたときに気づきやすくなります。

別の型では速さの平方根が平方の形になります。そのときも平方根は常に0以上なので、平方根を外した式の符号を調べます。速度が一瞬0になっても、座標の導関数が連続であれば速さは連続です。時間の端点で止まる場合や途中で止まる場合を、計算できない場合と決めつける必要はありません。

速度の成分から道のりへ

時刻の区間を a ≦ t ≦ b とし、x(t), y(t) の導関数がともに連続だとします。横向きの速度成分は x′(t)、縦向きは y′(t) です。成分には向きに応じた符号が付きますが、速さは向きを含まない0以上の量です。直角な成分に三平方の定理を使うと、時刻 t の速さ v(t) は次のようになります。

v(t) = √(x′(t)² + y′(t)²)

図1のように、横と縦の成分を直角を挟む辺とすると、斜辺の長さが速さです。負の成分も二乗してから加えます。成分の和 x′(t) + y′(t) は、一般にはこの斜辺の長さではありません。

図1の斜辺は速度の向きと大きさを表します。短い時間に進む距離を速さと時間の幅の積で考え、区間全体で足し合わせると、道のり L は次の定積分になります。

L = ∫[a→b] √(x′(t)² + y′(t)²) dt

連続な導関数から作った速さは閉区間で連続ですから、この定積分を考えられます。t は時間であり、x の増減が途中で変わっても時間は a から b へ進みます。x を積分変数に変える必要はありません。座標を長さの単位、t を時間の単位で表すなら、速度は長さを時間で割った単位、積分した道のりは長さの単位です。

一方、変位は始点から終点への位置の変化です。その大きさ D は

D = √((x(b) − x(a))² + (y(b) − y(a))²)

です。これは曲がった経路をたどる距離ではなく、両端を直線で結んだ長さです。道のりはこの直線距離以上になります。端点が一致する場合も D = 0 と計算できますが、途中で動いていれば L は0とは限りません。

基本例題：一定の速さで斜めに進む

点 P は時刻 0 ≦ t ≦ 2 に、x = 3t、y = 4t で動きます。座標の単位を m、t の単位を秒とします。道のりと変位の大きさをそれぞれ m を単位として厳密に求めてください。

まず両方の座標を時間で微分します。導関数は定数なので、この区間で連続です。

x′(t) = 3
y′(t) = 4
v(t) = √(3² + 4²)
     = 5

図2のように、速度の横成分が3、縦成分が4のとき、速さは5 m/秒です。成分を足した7ではありません。速さが一定なので、2秒間の道のりは積分して次のようになります。

L = ∫[0→2] 5 dt
  = [5t]₀²
  = 10

図2の終点は t = 2 を座標式に代入して (6, 8) です。始点 (0, 0) からの変位の大きさも求めます。

D = √((6 - 0)² + (8 - 0)²)
  = √100
  = 10

答えは道のり10 m、変位の大きさ10 mです。位置は常に直線 y = 4x/3 上にあり、t の増加とともに同じ向きに進みます。そのため直線距離と道のりが一致します。終点の座標と速さ5を元の式に戻すことは、積分区間と単位の確認にもなります。

標準例題：曲がる経路をたどる

点 Q は時刻 0 ≦ t ≦ 1 に、x = t²、y = 2t で動きます。座標の単位を m、t の単位を秒として、道のりと変位の大きさを厳密値で求めてください。

両座標の導関数は連続です。まず速さを作り、積分できる形に整理します。

x′(t) = 2t
y′(t) = 2
v(t) = √(4t² + 4)
     = 2√(t² + 1)

このままの根号の原始関数を求めるには扱いが長くなります。そこで、この問題は値を近似する問題にはせず、置換によって高校数学の範囲で厳密に求めます。t + √(t² + 1) = u と置くと、t は0から1まで増加し、u は1から 1 + √2 まで増加します。u は正で、逆の関係は次の通りです。

1/u = √(t² + 1) - t
t = (u - 1/u)/2
√(t² + 1) = (u + 1/u)/2
dt/du = (1 + 1/u²)/2

よって端点も変えて積分します。

置換後は、2√(t² + 1) dt = (u + 2/u + 1/u³) du / 2です。根号の式とdt/duを掛け、各項の次数をそろえると、次の積分になります。

L = ∫[1→1+√2] (u + 2/u + 1/u³)/2 du
  = [u²/4 + log u - 1/(4u²)]₁¹⁺√²
  = √2 + log(1 + √2)

始点は (0, 0)、終点は (1, 2) なので、変位の大きさは √5 m です。道のりは (√2 + log(1 + √2)) m です。x = y²/4 の弧を右上へ進み、直線の弦より長いこととも整合します。置換後の積を展開し直すと、計算途中の誤りを答えに持ち込まずに済みます。

発展例題：途中で止まって折り返す

点 R は時刻 0 ≦ t ≦ 3 に、x = t² − 2t、y = 2t² − 4t で動きます。座標の単位を m、t の単位を秒として、道のりと変位の大きさを厳密値で求めてください。

位置は常に y = 2x 上にありますが、それだけでは道のりが端点間の距離に等しいとはいえません。速度の向きが変わる可能性を調べます。導関数は多項式で連続です。

x′(t) = 2t - 2
y′(t) = 4t - 4
v(t) = √(5(2t - 2)²)
     = 2√5 |t - 1|

平方根から出るのは絶対値です。t = 1 で速さが0になり、前後で両成分の符号が反転します。したがって積分もそこで分けます。

L = 2√5 ∫[0→1] (1 - t) dt + 2√5 ∫[1→3] (t - 1) dt
  = 2√5 (1/2 + 2)
  = 5√5

始点、折り返し点、終点は順に (0, 0)、(-1, -2)、(3, 6) です。最初の区間は √5 m、次の区間は 4√5 m ですから、座標からも合計 5√5 m と確かめられます。始点と終点の差は (3, 6) なので、変位の大きさは 3√5 m です。答えを元の座標に戻すと、折り返した分だけ道のりが大きくなる理由が見えます。

この例では同一直線上で折り返すため、区間ごとの端点間距離を足す別解も使えます。経路が曲がる標準例題では、端点間距離を足しても曲線に沿った道のりとは限りません。どちらの方法を選べるかは、各区間で直線上を一方向に進むことを確認して判断します。

成分を足した誤答を直す

基本例題で「3 + 4 = 7 だから、2秒で14 m」とする解答を考えます。図3のように3と4は直角な方向の成分で、7は直角に折れ曲がる二辺の長さの和です。実際の運動はその二辺を順に進むのではなく、斜めに進みます。

図3の斜辺を三平方の定理で求めると5です。修正した道のりは 5 × 2 = 10 m で、終点 (6, 8) までの直線距離とも一致します。成分に負の値がある場合は、和が負や0になることもありますが、速さが負になることはありません。たとえば成分が互いに逆符号でも、どちらかが0でなければ二乗和の平方根は正です。

もう一つの誤りは、発展例題で √((t − 1)²) を常に t − 1 とすることです。0 ≦ t < 1 では t − 1 は負なので、速さとして不適切です。まず絶対値を書き、符号が変わる時刻で分けます。区間を分けた後のそれぞれの被積分関数が0以上であることまで確認すると、符号の取り違えを発見できます。

端点間の距離をそのまま道のりとする誤答にも注意します。途中で方向が変わるなら、端点だけでは経路を復元できません。位置を数時刻で代入して概形を考え、積分で得た道のりが変位の大きさ以上かを比べます。ただし大小が合っていることは正しい立式の証明ではなく、誤りを見つけるための確認です。

練習問題

次の各問で座標の単位は m、t の単位は秒です。道のりは指定区間内の移動距離とし、答えは m を単位とする厳密値で求めてください。各座標の導関数は指定区間で連続です。

1. 0 ≦ t ≦ 3、x = 5t、y = 12t のとき、道のりと変位の大きさを求めてください。
2. 0 ≦ t ≦ π、x = 2 cos t、y = 2 sin t のとき、道のりと変位の大きさを求めてください。
3. 0 ≦ t ≦ 2、x = t²、y = t² のとき、道のりを求めてください。
4. 0 ≦ t ≦ 4、x = t² − 4t、y = 0 のとき、道のりと変位の大きさを求めてください。
5. 0 ≦ t ≦ 1、x = t − t³/3、y = t² のとき、道のりを求めてください。

練習の答えと考え方

1. 速度成分は5と12なので、速さは √(25 + 144) = 13 m/秒です。道のりは ∫[0→3] 13 dt = 39 m です。始点は (0, 0)、終点は (15, 36) で、その距離も √(15² + 36²) = 39 m です。終点は与えられた座標式に t = 3 を戻して得られ、一直線に同じ向きに進むこととも一致します。

2. 速度成分は -2 sin t と 2 cos t です。sin² t + cos² t = 1 より、速さは2 m/秒です。道のりは ∫[0→π] 2 dt = 2π m です。始点 (2, 0) と終点 (-2, 0) の距離は4 mです。与えた座標は半径2の上半円を1回たどり、道のりは直径より長くなります。

3. 速度成分はともに 2t です。区間で t ≧ 0 なので速さは 2√2 t です。道のりは ∫[0→2] 2√2 t dt = 4√2 m です。位置は直線 y = x 上で原点から (4, 4) まで戻らず進み、その距離 √(4² + 4²) と一致します。平方根を外す際の符号を区間で確かめることが必要です。

4. 速度成分は 2t − 4 と0です。t = 2 で向きが変わるため、速さ |2t − 4| をそこで分けます。

L = ∫[0→2] (4 - 2t) dt + ∫[2→4] (2t - 4) dt
  = 4 + 4
  = 8

答えは道のり8 m、変位の大きさ0 mです。実際に t = 0, 2, 4 で位置は順に (0, 0)、(-4, 0)、(0, 0) です。4 m進んで戻るという座標の動きと積分が一致します。

5. 速度成分は 1 − t² と 2t です。二乗和を整理すると次の通りです。

v(t) = √((1 - t²)² + 4t²)
     = √((1 + t²)²)
     = 1 + t²
L = ∫[0→1] (1 + t²) dt
  = 4/3

1 + t² は正なので絶対値を外せます。答えは 4/3 m です。始点は (0, 0)、終点は (2/3, 1) で、変位の大きさは √13/3 m です。4/3 は √13/3 より大きく、端点を結ぶ距離より道のりが短くなる誤りはありません。

覚えておくこと

• 座標を時間で微分し、速度の2成分を求めます。
• 速さは成分の二乗和の平方根で、0以上です。
• 道のりは指定時刻の間で速さを積分します。
• 変位の大きさは始点と終点の座標から求めます。
• 平方根を外すときと、単位を付けるときに条件へ戻ります。

つまずいた位置を見分ける

答えが合わないときは、最初に座標を微分した2式を別々に読みます。次に、その2式を二乗して足したものが速さの平方になっているかを確かめます。ここまで正しければ、絶対値と積分区間を見直します。道のりが変位より小さいときは、どこかで距離を負に数えた可能性があります。

個別指導で確認するなら、点がどの順に動くかを小さな図に描き、式の各部分が図のどの区間に対応するか説明してみてください。端点の座標を代入できるか、途中で止まる時刻の前後で速度の符号を言えるかも手掛かりです。式と図と単位がそろえば、平面の動きを道のりとして読めます。