高校数学III 縦軸のまわりの回転体—横向きの断面から半径を表して体積を求める｜武蔵野個別指導塾

放物線の右枝や直線を高さの式に直し、円板の半径が途中で切り替わる領域まで、縦軸回転の体積を計算します。

よくあるのは、理系の高3が回転体の演習で、横軸のまわりに回す公式の文字を交換し、そのまま計算を始める場面です。見た目の文字がそろっていても、横に切ったときの線分が回転軸からどこまで伸びるかを確かめなければ、半径も積分区間も決まりません。縦軸に垂直な切り口を想像し、曲線を高さの式から半径の式へ読み替えましょう。

何を高さとして積み重ねるか

求める立体は、平面上の領域をy軸のまわりに1回転してできます。高さyを固定して領域を横に切り、その線分を回した断面の面積を考えます。軸から曲線までの線分なら断面は円板です。高さを少しずつ変えた円板の面積を、yについて積分して体積を求めます。

問題の出方には、曲線が最初からxの式として与えられる場合と、yの式をxについて解き直す場合があります。さらに、1本の曲線でも横に切る位置によって右端を表す式が変わる場合があります。どの場合も、回転前の領域の右端と高さの範囲を先に決めると、式の意味を説明できます。

ここでは横断面が円板になる領域を扱います。横に切った線分が軸に届かない場合は中央に穴ができるので、円板1枚の式をそのまま使えません。また、軸をまたぐ領域では回した部分が重なることがあるため、左右の部分を単純に足せません。まずは軸から片側に伸びる線分で考えます。

横の線分が円板になる

領域の各高さyで、横の線分が0 ≦ x ≦ R(y)と表され、a ≦ y ≦ bでRが連続かつ非負とします。yを固定して線分を回すと、中心がy軸上で半径R(y)の円板になります。したがって断面積はπR(y)²であり、断面積を積分する体積の公式から、体積Vは次のようになります。

V = ∫[a→b] πR(y)² dy

図1のように、回転軸から横に測った距離が半径です。y座標は円板の高さを示し、一般には半径ではありません。積分の両端もxの最小値と最大値ではなく、領域が存在する高さの最小値と最大値です。

図1の左側の線分は、その高さで軸から右端まで途切れずに含まれています。したがって回転後には中心から外周まで隙間がありません。右端が曲線上の点なら、その点のx座標をyで表したものがR(y)です。円板の半径を求めてから二乗し、面積πR(y)²へ進む順番を守ります。

例えば、右端がy = x²で、x ≧ 0に限られるなら、y ≧ 0でx = √yです。x = -√yも方程式自体の解ですが、領域が右側にあるという条件に合いません。逆に解くときは、方程式を満たすことだけでなく、元のxの範囲に戻ることを確かめます。端点で半径が0になることは、円板が点に縮むことを意味し、積分の障害ではありません。

積分を始める前の点検

同じ曲線を使っても、取り出す領域が違えば断面は変わります。曲線の式だけを見て半径を決めず、不等式や囲む直線を含めて領域を塗ってください。横線が領域に交わらない高さは積分区間の外です。横線が軸から始まるなら円板になり、途中から始まるなら中心が空くので別の断面積が必要です。

逆に解いた式が正しいかは、端点以外の高さでも確認できます。高さを1つ選び、その式が返すxを元の曲線に代入します。さらにそのxが指定された領域の範囲にあるかを調べます。代入だけでは左右両方の枝が通ることがあるため、符号や範囲の検査も必要です。

高さの区間を分ける際には、分け目の断面が両側の式で同じになるかも確認します。値が一致していなければ、切り替えの高さか、選んだ境界のどちらかを見直します。境界が連続していても、式が変わる理由を図で示すことが必要です。

最後に、積分の次元を見ます。半径の二乗は面積に対応し、そこに高さ方向の変化を積み重ねると体積に対応します。半径そのものを積分した式では、断面の面積を積み重ねていません。数式の形と、円板を積む図形の意味を一緒に確認します。

基本例題：放物線の右枝を選ぶ

座標平面のy軸、曲線y = x²、直線y = 4で囲まれた領域のうちx ≧ 0の部分を、y軸のまわりに1回転します。体積をπを用いた厳密な値で求めてください。

領域は0 ≦ y ≦ 4にあります。y = x²を解くとx = ±√yですが、x ≧ 0より右端はx = √yです。各高さの線分は0 ≦ x ≦ √yで、図2のように軸から曲線まで伸びます。R(y) = √yは閉区間で連続かつ非負なので、円板の公式を使えます。

図2で上端の点は(2, 4)です。半径が高さそのものではなく√yであることは、この点でも確かめられます。断面積と体積は順に次のとおりです。

A(y) = π(√y)²
     = πy
V = ∫[0→4] πy dy
  = π[y²/2]₀⁴
  = 8π

答えは8πです。もとの曲線に右端を戻すと(√y)² = yで、上端では半径2、高さ4に一致します。断面積は0から4πまで増え、平均は2πですから、高さ4を掛けた8πとも一致します。曲線の左枝を半径にすると負の座標を距離として扱うことになり、領域の右端を表せません。

標準例題：高さから直線までの距離を読む

直線y = 2x + 1、y軸、直線y = 7で囲まれた領域をy軸のまわりに1回転します。体積をπを用いた厳密な値で求めてください。

軸と直線の交点は(0, 1)です。上端y = 7では2x + 1 = 7よりx = 3です。横に切った線分は高さ1から7まで存在します。直線をxについて解くとx = (y − 1)/2なので、1 ≦ y ≦ 7における半径はR(y) = (y − 1)/2です。この式は連続かつ非負で、横の線分は0から右端まで途切れません。

V = π∫[1→7] ((y - 1)/2)² dy
  = (π/4)∫[1→7] (y - 1)² dy
  = (π/4)[(y - 1)³/3]₁⁷
  = 18π

答えは18πです。半径を元の式に入れると2・((y − 1)/2) + 1 = yとなり、上端の半径も3です。回転した立体は高さ6、底面の半径3の円すいで、その体積π・3²・6/3も18πです。円すいと見抜ける場合はこの方法でも確かめられますが、曲線が境界になる場合にも使えるよう、断面から式を作る練習をしておきましょう。

上端の座標3を積分の上端に使う誤りは、半径と高さを同じ欄に書いたときに起こります。上端の3は横の距離、7は縦の座標です。高さの幅も7ではなく7 − 1 = 6です。軸との交点が原点でないことを図に残すと、区間の取り違えを防げます。

発展例題：右端の切り替わりを探す

領域0 ≦ y ≦ 4、0 ≦ x ≦ 1、x² ≦ yをy軸のまわりに1回転します。体積をπを用いた厳密な値で求めてください。

高さyで横に切ると、右端はx ≦ 1とx ≦ √yの両方を満たします。0 ≦ y ≦ 1では√y ≦ 1なので右端は√yです。1 ≦ y ≦ 4では1 ≦ √yなので右端は1です。どの高さでも線分は軸から右端まで続き、半径は各区間で連続かつ非負です。高さ1で2つの式が等しくなるため、そこで積分を分けます。

V = π∫[0→1] (√y)² dy + π∫[1→4] 1² dy
  = π[y²/2]₀¹ + π[y]₁⁴
  = π/2 + 3π
  = 7π/2

答えは7π/2です。元の条件に戻すと、0 ≦ y ≦ 1では√y ≦ 1で曲線が右端を決め、1 ≦ y ≦ 4では1² ≦ yなので直線x = 1が右端を決めます。両式はy = 1で同じ半径1を与え、断面は切り替わりでつながります。半径を1のまま下端まで使うと、放物線の外側を余分に数えます。

円板の式を適用する前に、各高さで左端が0かを確認します。軸に届かない高さがあれば、中央に穴ができます。境界を表す式が複数あるときは、右端の候補を比較し、候補の値が等しい高さで区間を分けます。

間違えた式から断面を描き直す

基本例題で、次の式を書いたとします。

V = π∫[0→4] y² dy

図3のように、この式は高さyの半径をyとした円板を積み重ねています。しかし、もとの境界はy = x²ですから、同じ高さの右端はx = √yです。例えば高さ4では、誤った式は半径4を使いますが、境界点のx座標は2です。誤りは積分計算ではなく、断面の読み取りにあります。

図3の2つの円板は同じ高さ4の断面を表しています。正しい半径2を元の式へ戻すと2² = 4ですが、誤った半径4では4² = 16となります。半径を境界条件へ代入する検査は、計算を最後まで進める前にもできます。

別の失敗は、x = ±√yの両方を見て、半径も2本必要だと考えることです。問題が指定する領域はx ≧ 0にあり、負の枝は境界に含まれません。正負の解を機械的に選ぶのではなく、横線と領域の交わりを描きます。領域が軸から離れていたり、右端の式が途中で変わったりするときも、断面を描き直してから積分式を修正します。

練習問題

いずれも指定した領域をy軸のまわりに1回転し、体積をπを用いた厳密な値で求めてください。

1. y軸、曲線y = x²、直線y = 9で囲まれたx ≧ 0の領域。
2. y軸、直線y = 3x + 2、直線y = 8で囲まれた領域。
3. y軸、曲線y = x³、直線y = 8で囲まれたx ≧ 0の領域。
4. 0 ≦ y ≦ 5、0 ≦ x ≦ 2、x² ≦ yを満たす領域。
5. y軸、曲線y = 1 + x²、直線y = 5で囲まれたx ≧ 0の領域。

練習の答えと確かめ方

1. 高さは0から9で、右枝よりR(y) = √yです。半径は連続かつ非負なので、次の積分を使います。

V = π∫[0→9] y dy
  = π[y²/2]₀⁹
  = 81π/2

上端の半径は3で、3² = 9と境界に戻ります。断面積は高さに比例するため、その平均9π/2に高さ9を掛けても81π/2です。

2. 軸との交点の高さは2、上端の半径は2です。直線からR(y) = (y − 2)/3を得ます。

V = (π/9)∫[2→8] (y - 2)² dy
  = (π/9)[(y - 2)³/3]₂⁸
  = 8π

半径を戻すと3R(y) + 2 = yです。高さ6、底面半径2の円すいとしてもπ・2²・6/3 = 8πです。

3. x ≧ 0より右端はx = yの立方根です。0 ≦ y ≦ 8で連続かつ非負なので、その二乗を断面積に使います。

V = π∫[0→8] yの3分の2乗 dy
  = π[(3/5)・yの3分の5乗]₀⁸
  = 96π/5

上端の半径2は2³ = 8を満たします。原始関数を微分すると被積分関数に戻り、断面積も全区間で非負です。

4. 0 ≦ y ≦ 4では右端が√y、4 ≦ y ≦ 5では右端が2です。高さ4で2つの候補が一致します。

V = π∫[0→4] y dy + π∫[4→5] 4 dy
  = 8π + 4π
  = 12π

下側では右端の二乗がy、上側では2² = 4 ≦ yです。したがって各区間の右端は元の条件を満たします。

5. 1 ≦ y ≦ 5で、右枝はR(y) = √(y − 1)です。軸と曲線の交点の高さ1を積分の下端にします。

V = π∫[1→5] (y - 1) dy
  = π[(y - 1)²/2]₁⁵
  = 8π

上端の半径2を元の曲線へ戻すと1 + 2² = 5です。下端の半径は0で、領域は軸上の点から始まります。

手元に残す要点

• 回転軸に垂直な横断面を描き、軸から右端までの距離を半径にします。
• 高さの範囲と逆に解いた枝を、元の領域の条件で確かめます。
• 軸に届く線分が作る円板の面積をπR(y)²とします。
• 右端が切り替わる高さで積分を分け、体積を足します。

どこで止まったかを見分ける

式が立たないときは、任意の高さに横線を引き、線分の両端を指で示してみてください。線分が見えるのに半径が書けないなら、境界の式をxについて解き、元の範囲に戻して枝を選びます。半径は書けるのに積分区間が決まらないなら、領域の最下点と最上点のy座標を読みます。

個別指導では、図の横線、半径を表す式、断面積、積分の上下端を順に照らし合わせます。正しい答えでも、半径と高さを偶然同じ値にした可能性があります。別の高さを1つ選び、式から出た右端が元の境界上にあるか説明すると、立式の根拠が見えてきます。回転体の体積は、1枚の断面を正しく読むところから決まります。