高校数学III 横軸のまわりの回転体—円板の半径と区間から体積の式を作る｜武蔵野個別指導塾

曲線の高さを二乗する理由を断面からたどり、指数関数や三角関数の例題に取り組みます。体積を求める鍵は円板法です。

よくあるのは、理系の高3が回転体の演習で、曲線の高さをそのまま積分して答えを出す場面です。平面の領域を見ている間は高さが気になりますが、回転後の立体では、その高さは切り口の半径になります。半径から円板の面積を作り、切り口を重ねる方向に沿って積分することが必要です。どの線が回転軸かを最初に図へ書き込み、断面の形を確かめましょう。

立体のどこを測るのか

横軸、つまりx軸のまわりに平面の領域を1回転させると、xの値を固定した位置に円形の切り口が現れます。ここでは、曲線とx軸、2本の縦の直線で囲まれる領域を扱います。切り口に穴がない場合は、外側の曲線から軸までの距離が円板の半径です。

問題には、与えられた曲線からそのまま体積を求める型のほか、半径の式を平方して指数関数や三角関数の積分に直す型があります。また、曲線が軸の下にあるときは、座標の符号と距離の違いを押さえる必要があります。範囲はx軸回転の円板に絞り、穴のある切り口や軸をまたぐ領域の重なりは扱いません。

計算に入る前に、左端と右端、軸、領域を別々に確認します。曲線の式だけを見て積分区間を決めると、問題が指定した縦の境界を読み落とすことがあります。回転前の図に区間を書いた後、途中の1か所を縦に切って回転後の円板を想像する手順が有効です。

円板の半径から断面積へ

閉区間 a ≦ x ≦ b で連続な関数 f(x) があり、曲線 y = f(x) とx軸の間を回すとします。各xで軸から曲線までの距離は r(x) = |f(x)| です。距離なので半径は負になりません。断面は半径 r(x) の円板で、その面積は A(x) = πr(x)² です。

図1のように、回転前の縦の線分が、回転後は円板を埋めます。円周だけではなく、線分の各点も回るので円板の内部が含まれます。半径が2倍なら断面積は4倍です。高さをそのまま使う積分では、この断面積の変化を表せません。

断面積 A(x) は連続です。断面積をx方向に積分する体積の公式から、次の式を得ます。

V = ∫[a→b] A(x) dx
  = π∫[a→b] |f(x)|² dx
  = π∫[a→b] f(x)² dx

最後の等号は、実数の絶対値を二乗すると元の数の二乗になることによります。曲線が軸より下にある場合も、半径の説明を省かず、まず絶対値で距離を表します。その後に二乗を整理すれば、座標の負号を体積の負号として残す誤りを防げます。

式の dx は、切り口を並べるx方向に対応します。半径も端点も同じxの言葉で書いたことを確かめてから積分します。曲線が滑らかに見えても、公式を用いる場面では少なくとも扱う閉区間での連続性が必要です。以下の多項式、指数関数、三角関数は、それぞれ指定した有限の閉区間で連続です。

基本例題：直線からできる円板

曲線 y = x + 1、x軸、直線 x = 0、x = 2 で囲まれる領域をx軸のまわりに1回転させます。できる立体の体積をπを含む厳密値で求めてください。長さの単位は1とします。

この区間では x + 1 は1以上で、半径は r(x) = x + 1 です。図2のように、左端の半径は1、右端の半径は3です。高さが変わるため、1つの円板の面積に長さ2を掛ける方法では体積を求められません。

任意の位置xでの断面積を求めてから積分します。

A(x) = π(x + 1)²
     = π(x² + 2x + 1)
V = π∫[0→2] (x² + 2x + 1) dx
  = π[x³/3 + x² + x]₀²
  = π(8/3 + 4 + 2)
  = 26π/3

したがって体積は 26π/3 です。端点での半径を元の式に戻すと、x = 0 で1、x = 2 で3になり、図と一致します。区間中の円板の半径は1以上3以下なので、体積も底面積πの円柱と底面積9πの円柱の体積の間、すなわち 2π 以上 18π 以下です。答え 26π/3 はその範囲に入ります。

展開する前に二乗を落とすと、円板の面積ではなく高さにπを掛けた量を積分することになります。立式時に r と A を別の行に書けば、何を二乗したか追跡できます。端点の代入も上端から下端を引く順に書き、区間の長さを積分の外へもう一度掛けないようにします。

標準例題：指数関数の高さ

曲線 y = eˣ、x軸、直線 x = 0、x = 1 で囲まれる領域をx軸のまわりに1回転させます。体積を e とπを用いた厳密値で求めてください。

指数関数 eˣ はこの区間で連続かつ正です。よって半径は eˣ、断面積は π(eˣ)² です。指数を二乗すると e²ˣ になるので、原始関数では内側の係数2も考えます。

r(x) = eˣ
A(x) = πe²ˣ
V = π∫[0→1] e²ˣ dx
  = π[e²ˣ/2]₀¹
  = π(e²/2 - 1/2)
  = π(e² - 1)/2

答えを元の切り口に戻して確かめます。x = 0 なら半径は1で面積はπ、x = 1 なら半径は e で面積は πe² です。区間中の断面積はこの2つの間にあり、答え π(e² − 1)/2 も区間の長さ1に対応する範囲内にあります。

原始関数 e²ˣ/2 を微分すると e²ˣ です。もし係数 1/2 を忘れたら微分は 2e²ˣ となり、元の断面積のπを除いた部分に戻りません。この微分による確認は、指数を二乗して積分するときに役立ちます。

発展例題：軸の下の三角曲線

曲線 y = -2 sin x、x軸、直線 x = 0、x = π/2 で囲まれる領域をx軸のまわりに1回転させます。体積をπを用いた厳密値で求めてください。

指定区間で sin x は0以上ですから、曲線は軸上または軸の下にあります。高さの座標 -2 sin x をそのまま半径にせず、軸からの距離 2 sin x を取ります。図を描くと、原点で半径0、右端で半径2の円板です。端の半径が0になっても断面積は連続なので、積分の式をそのまま使えます。

r(x) = |-2 sin x|
     = 2 sin x
A(x) = π(2 sin x)²
     = 4π sin² x
V = 4π∫[0→π/2] sin² x dx

積分するため、倍角の関係から sin² x = (1 − cos 2x)/2 と直します。

V = 2π∫[0→π/2] (1 - cos 2x) dx
  = 2π[x - (sin 2x)/2]₀→π/2
  = 2π(π/2 - 0)
  = π²

答えは π² です。途中の添字と矢印は、上端 π/2 の値から下端0の値を引くことを意味します。x = π/2 の切り口は半径2なので面積は4π、x = 0 の切り口の面積は0です。全区間で断面積は0以上4π以下なので、体積は0以上 2π² 以下となり、得た値はこの条件に合います。

別の見方として、sin² x と cos² x はこの区間を左右反転すると入れ替わります。両者の積分が等しく、和が1であることから sin² x の積分は区間の長さの半分です。ただし対称性を使う場合も、対象の区間と置き換え後の端点を先に確かめます。軸の下という情報だけで体積に負号を付けることはありません。

高さを積分した誤答を直す

基本例題で次のように計算したとします。

π∫[0→2] (x + 1) dx = 4π

積分自体は正しいものの、被積分関数が円板の面積を表していません。x = 2 では半径3に対する正しい断面積は 9π ですが、この式が使う値は 3π です。図3のように、半径と面積を別々の箱に置いてから、断面積を積分し直します。

修正後は π∫[0→2] (x + 1)² dx = 26π/3 です。さらに、横の長さと半径に同じ長さの単位を付けると、半径の二乗は面積、そこへ厚さに対応する dx を掛けると体積に対応します。高さをそのまま積分した式は長さの二乗にしか対応せず、単位の面でも立式の不足に気づけます。

もう1つの失敗は、軸より下の曲線を見て、体積に負号を残すことです。距離は負にならず、その二乗も負になりません。負の答えが出たときは、積分の上下端が逆になっていないか、半径ではなく符号付きの高さを断面積に使っていないかを戻って調べます。計算結果が正でも十分とは限らないので、切り口1つの半径を元の図へ戻して照合します。

立式を選ぶための確認

問題文が与える線を先に全部書き出すと、回転させる部分が定まります。たとえば左端と右端の直線があるとき、積分の端点はそのx座標です。曲線がx軸と交わる場所が区間の外にあっても、その交点を勝手に端点にすることはできません。逆に、交点そのものが領域の端として指定されていれば、式に代入して確かめます。

同じ半径でもxによって変わるとき、一定の半径を持つ円柱の公式を直接当てはめられません。小さな区間では円板の面積と幅の積を考え、それらを細かく集めた極限が断面積の定積分に対応します。連続な断面積ならこの過程を体積の公式で表せます。端だけで半径が0になっても、連続性が保たれれば切り口の式に穴は開きません。

軸の下側の領域では、曲線上の点の座標と回転軸との距離を区別します。負の座標を持つ点も回転すると軸から正の距離にあります。二乗の式だけを覚えるより、距離、面積、体積の順に記すと、符号と単位の両方を確認できます。

練習問題

いずれも指定した領域をx軸のまわりに1回転させます。体積はπや e を使った厳密値で求めてください。各曲線は指定した閉区間で連続です。

1. y = 2x、x軸、x = 0、x = 3 で囲まれた領域。
2. y = 3 − x、x軸、x = 0、x = 1 で囲まれた領域。
3. y = e⁻ˣ、x軸、x = 0、x = 2 で囲まれた領域。
4. y = 3 cos x、x軸、x = 0、x = π/2 で囲まれた領域。
5. y = x² − 4、x軸、x = 0、x = 2 で囲まれた領域。

練習問題の答えと道筋

1の答え

半径は 2x です。軸上の端では半径0、右端では6となります。

V = π∫[0→3] (2x)² dx
  = 4π[x³/3]₀³
  = 36π

答えは 36π です。右端の断面積は 36π、左端は0で、全体は長さ3の円柱の体積 108π 以下です。答えはこの条件に合います。

2の答え

半径 3 − x は区間で2以上です。直線が下がっていても、半径は正です。

V = π∫[0→1] (3 - x)² dx
  = π∫[0→1] (9 - 6x + x²) dx
  = π[9x - 3x² + x³/3]₀¹
  = 19π/3

答えは 19π/3 です。両端の半径は3と2なので、体積は 4π 以上 9π 以下です。この範囲へ戻しても矛盾しません。

3の答え

半径 e⁻ˣ は正で、二乗すると e⁻²ˣ です。原始関数の係数に負号が必要です。

V = π∫[0→2] e⁻²ˣ dx
  = π[-e⁻²ˣ/2]₀²
  = π(1 - e⁻⁴)/2

答えは π(1 − e⁻⁴)/2 です。原始関数を微分すると e⁻²ˣ に戻ります。元の端点では半径が1から e⁻² に減り、体積は正で、最大断面積πと長さ2の積を超えません。

4の答え

指定区間で cos x は0以上なので、半径は 3 cos x です。cos² x = (1 + cos 2x)/2 を使います。

V = 9π∫[0→π/2] cos² x dx
  = (9π/2)∫[0→π/2] (1 + cos 2x) dx
  = (9π/2)[x + (sin 2x)/2]₀→π/2
  = 9π²/4

答えは 9π²/4 です。元の曲線から両端の半径は3と0で、断面積は0以上9π以下です。答えは、それを区間の長さ π/2 で挟んだ範囲にあります。

5の答え

この区間では x² − 4 は0以下です。軸からの距離は 4 − x² として円板を作ります。

V = π∫[0→2] (4 - x²)² dx
  = π∫[0→2] (16 - 8x² + x⁴) dx
  = π[16x - 8x³/3 + x⁵/5]₀²
  = π(32 - 64/3 + 32/5)
  = 256π/15

答えは 256π/15 です。x = 0 の元の高さは -4、x = 2 の高さは0なので、両端の半径は4と0です。最大断面積 16π に長さ2を掛けた 32π 以下となり、答えは非負でこの範囲内です。

覚えておくこと

• 回転軸を図に示し、切る向きと積分区間を決めます。
• 半径は軸から曲線までの距離であり、負にはなりません。
• 円板の断面積は π × 半径² です。
• 連続な断面積をx方向に積分して体積を求めます。
• 最後に元の端点の半径と体積の範囲を照合します。

手が止まったときに見る場所

式だけで迷ったときは、領域を縦に切った線分を描き、回転によってできる切り口を言葉で説明してみてください。線分の長さが半径なのか直径なのか、軸の位置から判定します。次に、区間の端と途中の1点で半径を読み、断面積の式に代入して図と合うかを確かめます。

個別指導で見直す場合も、計算の途中から訂正する前に、回転前の図、半径の式、円板の面積、積分区間を順に見比べます。例えば半径を正しく読めているのに面積で二乗を落としたのか、軸からの距離自体を取り違えたのかで、練習すべき箇所が変わるためです。図から切り口を説明できれば、見慣れない関数でも立式の根拠をたどれます。