高校数学III グラフの凹凸—第二次導関数の符号と接線の位置を対応させる｜武蔵野個別指導塾

増加していても上に凸となる例を使い、第二次導関数の符号と接線との差から曲線の凹凸を判定します。

よくあるのは、理系高3の演習で、右上がりの曲線を見て「増加しているから下に凸」と決める場面です。右に進むと値が増えることと、接線の傾きが増えることは別の情報です。傾きが正でも、その値が小さくなっていけば曲線は上に凸になりえます。符号を調べる対象を分け、接線との差にも戻して判断しましょう。

学習範囲の確認として、導関数を用いた凹凸と概形は数学IIIで扱います。ここでは凹凸の区間と接線の位置に絞り、変曲点の詳しい判定や概形全体の作図には踏み込みません。

符号表には、定義域の端と第二次導関数が0になる点を順に並べます。各区間で因子の符号を調べ、最後に言葉へ直します。接線の位置を答えるときは、比較する点が対象の区間に含まれるかも確認します。図の形を先に決めると境界を見落としやすいため、式から得た符号を先に記録します。

どんな問いで使うか

第一に、関数の式から下に凸、上に凸の区間を求める問いがあります。定義域を先に書き、第二次導関数が正か負かを区間ごとに調べます。零になる点があっても、その点だけの値で左右の符号は決まりません。境界の左右で符号を確かめます。

第二に、増減と凹凸の組合せを読み取る問いがあります。増減はf′の符号、凹凸はf″の符号を使います。正と負の組合せはそれぞれ独立に調べる必要があります。増加中でも傾きが減っていれば上に凸です。

第三に、接線と曲線の位置を比べる問いがあります。接点の両側で曲線が接線より上か下かを、差の式や導関数の増減で確かめます。図の見た目は予想に使えますが、区間全体での大小の根拠には符号の説明が必要です。

傾きの変化を読む

区間内の任意の異なる2点を結ぶ線分について、その間の曲線が線分より下側にあるとき、その区間でグラフは下に凸です。逆に曲線が線分より上側にあるとき上に凸です。直線と一致する場合を凸に含める流儀もありますが、ここでは上下を明確にするため、以下では厳密な不等号を使います。

ある開区間でfが2回微分可能で、区間全体でf″(x) > 0なら、f′はそこで増加し、グラフは下に凸です。f″(x) < 0ならf′は減少し、グラフは上に凸です。これらは十分条件であり、ある点でf″が0だから直ちに凹凸が決まらないと考えます。区間端や定義されない点には、その点をまたいだ符号を無条件につなげません。

図1のように、下に凸では右へ進むにつれて接線の傾きが増えます。上に凸では傾きが減ります。傾きそのものが正か負かは別に調べます。

図1の接線は、それぞれの曲線上の点を通ります。下に凸の曲線では接線は曲線の下側に、上に凸では上側にあります。これを確認するには接点をaとし、接線をL(x) = f(a) + f′(a)(x − a)と置きます。下に凸の区間ではf′が増加するので、x > aなら平均値の定理より、あるaとxの間のcについて

f(x) - f(a) = f′(c)(x - a)
f′(c) > f′(a)
f(x) - L(x) > 0

となります。x < aでも、xとaの間のcに対してf′(c) < f′(a)であり、負のx − aを掛けると向きが変わって同じ結論です。平均値の定理を使う各閉区間で連続、内部で微分可能であることは、ここでの2回微分可能という条件から満たされます。接点では差は0です。上に凸では不等号が逆になり、接線は曲線の上側です。この位置関係は、接点と比較する点が同じ凸の区間にあるときに適用します。

基本例題：符号を左右に分ける

関数f(x) = x³ − 3xについて、凹凸の区間とx = 1における接線を求め、その接線と曲線の位置をx > 0で比べてください。区間の端は不等号で表し、直線の式は整数係数で表します。

多項式なので実数全体で2回微分可能です。まず導関数を順に求めます。

f′(x) = 3x² - 3
f″(x) = 6x

f″(x) < 0はx < 0、f″(x) > 0はx > 0です。したがってx < 0で上に凸、x > 0で下に凸です。x = 0は区切りとして表に入れますが、その1点を正か負の区間に入れません。

次に接点に戻ります。

f(1) = 1 - 3 = -2
f′(1) = 3 - 3 = 0
L(x) = -2 + 0(x - 1)
L(x) = -2
f(x) - L(x) = x³ - 3x + 2
                 = (x - 1)²(x + 2)

x > 0ではx + 2 > 0なので、差はx = 1で0、それ以外で正です。よって接線は接点以外で曲線の下側です。接点(1, -2)を接線の式に代入すると一致し、傾き0もf′(1)と一致します。

図2のように、右側は下に凸でも、0 < x < 1ではf′(x) < 0なので減少しています。図2は増減と凹凸が別の判定であることも示しています。左側まで接線との差が同じ符号だと決める必要はありません。実際、差の因子x + 2はx = -2を境に符号が変わります。

標準例題：増加と上に凸を両立させる

関数g(x) = log x + 2xについて、定義域での増減と凹凸を求め、x = 1における接線と曲線の位置を答えてください。接線は整数係数で表します。logは自然対数です。

真数条件からx > 0です。この区間でgは2回微分可能ですから、導関数の符号を別々に調べます。

g′(x) = 1/x + 2
g″(x) = -1/x²

x > 0では1/x > 0なのでg′(x) > 0です。またx² > 0なのでg″(x) < 0です。したがって全定義域で増加し、上に凸です。分母の符号を確かめてから判断すると、増加しているという事実に引きずられません。

g(1) = log 1 + 2 = 2
g′(1) = 1 + 2 = 3
L(x) = 2 + 3(x - 1)
L(x) = 3x - 1

接点(1, 2)を直線に代入すると2となり、傾きも3です。g″はx > 0で負なので、接点以外のx > 0では曲線はこの接線の下にあります。例えばx = eでは差はg(e) − L(e) = 2 − eで、e > 2より負です。ただし1点の代入は全区間の証明ではありません。全体の位置を支えるのは、区間内でg″が負であることです。x = 0は定義域外なので接点にも表の値にも入れません。

発展例題：指数因子を残して符号を追う

h(x) = (x − 2)eˣについて、増減と凹凸の区間を求め、x = 0における接線と曲線の位置をx < 0で比べてください。区間の端は整数で、直線の式は整数係数で表します。

指数関数と多項式の積は実数全体で2回微分可能です。積の微分を2回行います。

h′(x) = eˣ + (x - 2)eˣ
        = (x - 1)eˣ
h″(x) = eˣ + (x - 1)eˣ
        = xeˣ

eˣはすべての実数xで正です。したがってh′の符号はx − 1、h″の符号はxの符号で決まります。hはx < 1で減少し、x > 1で増加します。一方、x < 0で上に凸、x > 0で下に凸です。特に0 < x < 1では減少かつ下に凸です。因子eˣを零として候補に加えないことと、2種類の符号表の区切りを混同しないことが要点です。

h(0) = -2
h′(0) = -1
L(x) = -2 - x

接線は(0, -2)を通り、傾きは-1です。接点は上に凸の区間x < 0の端なので、先ほどの開区間内の接点についての結論をそのまま引用せず、差を調べます。D(x) = h(x) − L(x)とすると、

D(0) = 0
D′(x) = (x - 1)eˣ + 1
D″(x) = xeˣ

x < 0でD″(x) < 0です。D′はx < 0で減少し、D′(0) = 0ですから、x < 0でD′(x) > 0です。ゆえにDは左から0へ増加し、D(x) < D(0) = 0です。したがってx < 0では曲線は接線の下側です。端点までの比較は、閉区間での連続性と内部での微分可能性を満たす平均値の定理で正当化できます。

誤答から符号表を修正する

「p(x) = -x² + 4xは0 < x < 2で増加する。したがって下に凸」という答案を考えます。前半は正しいものの、結論は誤りです。

p′(x) = -2x + 4
p″(x) = -2

0 < x < 2ではp′(x) > 0ですが、p″(x)は負です。傾きは正のまま4から0へ減り、曲線は上に凸です。図3のように接線の傾きが小さくなる様子と、上側の接線を見比べます。

図3のx = 1の接線はp(1) = 3、p′(1) = 2よりy = 2x + 1です。差はp(x) − (2x + 1) = -(x − 1)²で、接点以外では負です。誤りを直すときは、まず増加の根拠に使ったp′を残し、次の行にp″を書きます。2つの符号を別々に判定すれば、増加と上に凸を同時に記述できます。

練習問題

次の5問はそれぞれ区間の端を不等号で示し、接線は正確な式で答えてください。各関数の定義域も答えます。

1. f(x) = x² + 6xの凹凸と、x = -1における接線を求め、接線との位置を比べてください。
2. g(x) = -x³ + 6xの凹凸の区間と、x = 2における接線を求めてください。
3. h(x) = log x − 3xの増減と凹凸を求めてください。logは自然対数です。
4. q(x) = (x + 1)eˣの増減と凹凸の区間を求めてください。
5. r(x) = 1/xについて、定義域の各部分で凹凸を求め、x = 2における接線とx > 0での位置を比べてください。

答えと解き方

1. 定義域は実数全体です。f′(x) = 2x + 6、f″(x) = 2 > 0より全体で下に凸です。f(-1) = -5、f′(-1) = 4なので接線はy = 4x − 1です。差はf(x) − (4x − 1) = (x + 1)²ですから、接点以外で曲線が上です。接点を直線に戻すと-5となり、傾きも4に一致します。

2. 定義域は実数全体です。g′(x) = -3x² + 6、g″(x) = -6xです。x < 0で下に凸、x > 0で上に凸です。g(2) = 4、g′(2) = -6なので、接線はy = -6(x − 2) + 4 = -6x + 16です。x = 2を戻すと4、傾きは-6で、どちらも元の曲線と一致します。x = 0での第二次導関数の値だけから左右を決めないようにします。

3. 定義域はx > 0です。h′(x) = 1/x − 3 = (1 − 3x)/x、h″(x) = -1/x²です。分母は正なので、0 < x < 1/3で増加、x > 1/3で減少します。h″は定義域で負なので全体で上に凸です。例えばx = 1ではh′(1) = -2、h″(1) = -1となり、減少と上に凸の判定に戻ります。

4. 定義域は実数全体です。q′(x) = (x + 2)eˣ、q″(x) = (x + 3)eˣです。指数因子は正なので、x < -2で減少、x > -2で増加します。x < -3で上に凸、x > -3で下に凸です。例えばx = -5/2ではq′が負、q″が正ですから、減少しながら下に凸という区間に確かに入ります。

5. 定義域はx < 0またはx > 0です。r′(x) = -1/x²、r″(x) = 2/x³なので、x < 0で上に凸、x > 0で下に凸です。0は定義域外であり、曲線をそこにつなぎません。r(2) = 1/2、r′(2) = -1/4より接線はy = -x/4 + 1です。差を整理すると

r(x) - (-x/4 + 1) = 1/x + x/4 - 1
                       = (x - 2)²/(4x)

x > 0では分母が正なので、接点以外で曲線が上です。x = 2を接線に戻すと1/2で、傾きも-1/4と一致します。負の部分へ同じ符号を持ち越さないことが必要です。

要点

f′の符号で増減、f″の符号で凹凸を調べます。 2回微分可能な区間でf″が正なら下に凸、負なら上に凸です。 同じ凸の区間内では、下に凸の曲線は接線の上、上に凸の曲線は接線の下です。 定義域の切れ目と符号の境界を区別します。

どこで止まったかを見分ける

増加と下に凸を同じ意味にしていたら、まずf′の値が正か、次にf′が増えているかを別々に問い直します。f″が0になった点で手が止まるなら、その左右の区間を1つずつ調べ、0の点そのものと区間の符号を分けます。接線の上下が逆になった場合は、曲線から接線を引いた差を作り、接点で0になるかを確かめます。

個別指導で確認するときも、答えの名称だけでなく、定義域、2つの導関数、符号表の境界、接線との差の順に書いた行を見ます。どの行から結論が出たかを言葉で結べれば、右上がりの図に惑わされずに凹凸を判断できます。