高校数学III 対数微分法による積と商—関数の符号を確かめて式を整理する｜武蔵野個別指導塾

積や商の対数微分で一時的に除く零点を、元の関数で調べ直す手順と理由を示します。

よくあるのは、演習ノートで積の関数を y と置き、y で割って得た式に零点をそのまま代入する場面です。途中の式には便利な分数が並びますが、その分母が 0 になる点では計算が止まります。そこで止めた点が、元の関数でも使えないとは限りません。元の式が定義されるか、そこで微分できるかを別に調べると、答えに戻せる点があります。

対数微分法は、因子が多い積や商を和や差に変えてから微分する方法です。ここでは自然対数を log と書き、符号が負になる場合も絶対値で扱います。変数を指数に持つ関数へは広げず、因子の零点と元の分母に注意して計算します。

要点（結論から）

• log|y| を使う区間では y ≠ 0 を先に確認します。
• 積は対数の和、商は差になり、微分後は各因子の導関数と因子の比が並びます。
• 分子の零点は元の式で微分可能性と値を別に調べます。

どこで使い分けるか

第1の出方は、複数の因子を掛けた式の導関数を求める問いです。積の微分公式を繰り返しても解けますが、各因子の微分を元の因子で割った形にまとめると、構造が見えます。ただし割る因子が 0 の点では、その形を直接使えません。因数分解して分母を消せた場合にも、その点を答えに含める根拠は元の関数から補います。

第2の出方は、分母にも因子がある商です。分母の因子が 0 の点は、元の関数の定義域から除きます。一方、分子の零点は元の関数が定義される場合があります。両方が途中の分数の分母に現れるため、同じように除外して終えると範囲を誤ります。

第3の出方は、ある点の微分係数だけを求める問いです。その点で各因子が 0 でなければ、対数微分で求めた比に元の関数値を掛けられます。零点なら積の公式や差商に戻ります。まず「その点で y は 0 か」を調べることが、計算経路を選ぶ目印です。

絶対値を付けて比を作る

微分可能な関数 y = f(x) について、ある点の近くで f(x) ≠ 0 とします。微分可能な関数は連続なので、f がその点で 0 でなければ、十分近くでは f の符号が一定となり、絶対値を取った |f(x)| は正です。正の区間では log|f(x)| = log f(x)、負の区間では log|f(x)| = log(-f(x)) です。合成関数の微分により、どちらの場合も次の式を得ます。

(log|f(x)|)′ = f′(x)/f(x)

負の場合も、分子と分母に現れる負号が消えます。この式は f(x) = 0 で使えません。左辺の log|f(x)| が定義されず、右辺も 0 で割るためです。対数を取る前に f(x) ≠ 0 を書く理由はここにあります。

図1のように、積と商をいったん対数の和と差に移します。各因子が微分可能で、商の分母が 0 でない点を考えます。さらに対数を取る段階では分子の各因子も 0 でないとします。

例えば y = A(x)B(x)/C(x) なら、A、B、C がいずれも 0 でないところで、絶対値の積と商の性質から次のように変形できます。

log|y| = log|A| + log|B| - log|C|
y′/y = A′/A + B′/B - C′/C
y′ = (AB/C)(A′/A + B′/B - C′/C)

図1の矢印は、等式を使える範囲が絞られることも示しています。最後の式に y を掛け戻しても、導出した時点の条件が自動的に消えるわけではありません。整理後の式が零点でも意味を持つときは、その点で別の計算をして一致を確認します。また、元の分母が 0 の点は、約分後の式に値を入れられても元の定義域に戻せません。

因子の累乗にも同じ考えを使います。例えば A が 0 でない区間では log|A³| = 3 log|A| です。3 は定数として前に出て、微分後は 3A′/A となります。負の A でも絶対値があるので、この式は成立します。符号を無視して log A と書くと、A が負の区間では実数の対数が存在しません。

基本例題：零点を最後に戻す

問題　y = (x − 1)²(x + 2) の導関数を、元の定義域全体で因数分解した形に求めてください。

元の関数は多項式ですから、すべての実数で定義され、微分可能です。まず因子が 0 にならない x ≠ 1、x ≠ -2 で対数微分します。図2のように、2つの零点はいったん計算の外へ置きます。

log|y| = 2 log|x - 1| + log|x + 2|
y′/y = 2/(x - 1) + 1/(x + 2)
y′ = (x - 1)²(x + 2){2/(x - 1) + 1/(x + 2)}
y′ = 2(x - 1)(x + 2) + (x - 1)²
y′ = (x - 1){2(x + 2) + (x - 1)}
y′ = 3(x - 1)(x + 1)

最後の多項式に零点を入れる前に、元の式を積の公式で微分します。その式は零点でも成立します。

y′ = 2(x - 1)(x + 2) + (x - 1)²
y′(1) = 0
y′(-2) = 9

整理後の式に 1 と -2 を入れても、それぞれ 0 と 9 です。したがって答えは全実数で y′ = 3(x − 1)(x + 1) です。x = 1 では2乗の因子があるため、積の公式の2項とも 0 です。x = -2 では x + 2 を微分した項が残ります。零点と微分係数が 0 になる点は、必ずしも同じではありません。

標準例題：分子の零点と分母の除外点

問題　y = (x − 3)(x + 1)/(x − 2) の導関数を、元の定義域で分数の形に求めてください。

元の分母から x ≠ 2 です。分子が 0 になる x = 3、-1 では元の式は定義されています。まず x ≠ 2、3、-1 として対数を取ります。

log|y| = log|x - 3| + log|x + 1| - log|x - 2|
y′/y = 1/(x - 3) + 1/(x + 1) - 1/(x - 2)
y′ = ((x - 3)(x + 1)/(x - 2)){1/(x - 3) + 1/(x + 1) - 1/(x - 2)}
y′ = (x + 1)/(x - 2) + (x - 3)/(x - 2) - (x - 3)(x + 1)/(x - 2)²
y′ = {(2x - 2)(x - 2) - (x - 3)(x + 1)}/(x - 2)²
y′ = (x² - 4x + 7)/(x - 2)²

分子の零点では商の微分公式を元の式に使って確かめます。分母が 0 でないことを先に確認してから代入します。

y′ = {[(x + 1) + (x - 3)](x - 2) - (x - 3)(x + 1)}/(x - 2)²
y′(3) = 4
y′(-1) = 4/3

整理した答えに代入しても同じ値です。よって求める導関数は x ≠ 2 で (x² − 4x + 7)/(x − 2)² です。x = 2 には元の関数値がないため、微分係数もありません。対数を取るための一時的な除外と、元の定義域の除外を分けると、この違いを保てます。

発展例題：負の値と重なった零点

問題　y = (x + 2)³(x − 1)/(x + 4)² の導関数を、元の定義域で因数分解した形に求めてください。

元の式は x ≠ -4 で微分可能です。分母は正なので、y の符号は (x + 2)³(x − 1) の符号で決まります。特に -2 < x < 1 では y < 0 です。この区間も扱うため、log y ではなく log|y| を使います。x ≠ -4、-2、1 の範囲で計算します。

log|y| = 3 log|x + 2| + log|x - 1| - 2 log|x + 4|
y′/y = 3/(x + 2) + 1/(x - 1) - 2/(x + 4)
y′ = ((x + 2)³(x - 1)/(x + 4)²){3/(x + 2) + 1/(x - 1) - 2/(x + 4)}
y′ = (x + 2)²{3(x - 1)(x + 4) + (x + 2)(x + 4) - 2(x + 2)(x - 1)}/(x + 4)³
y′ = (x + 2)²(2x² + 13x - 4)/(x + 4)³

括弧内の展開は 3(x² + 3x − 4) + (x² + 6x + 8) − 2(x² + x − 2) = 2x² + 13x です。したがって上の最後の行は、この展開と一致していません。定数項は -12 + 8 + 4 = 0 なので、正しくは次の形です。

y′ = x(x + 2)²(2x + 13)/(x + 4)³

途中の括弧から最後の形への移行は、係数と定数項をそれぞれ確かめると修正できます。x = -2 と x = 1 は、元の式の積と商の微分で別に確かめます。x = -2 では3乗の因子を1回微分しても2乗が残るので 0 です。x = 1 では x − 1 を微分した項だけが残り、27/25 です。正しい整理式も両点で同じ値を与えます。答えは x ≠ -4 で上の式です。

誤答を切り分ける

基本例題で、次のように零点に代入するのは誤りです。

y′/y = 2/(x - 1) + 1/(x + 2)
x = 1 を代入して y′(1) を求める

x = 1 では y = 0 なので左辺の y′/y は定義されず、右辺にも 0 の分母があります。図3のように、元の式へ戻ってから積の公式を使えば、そこでの微分係数を求められます。図3の修正は、分数の式に形式的に代入する操作ではありません。

別の誤りは、y が負の区間で log y と書くことです。例えば発展例題の x = 0 では y = -1/2 ですから、実数の log y は定義されません。log|y| なら真数は 1/2 で正です。ただし絶対値を付けても y = 0 は救えません。符号の問題と零点の問題は別々に確認します。

練習問題

いずれも導関数を、元の定義域全体で指定の形に求めてください。対数微分を使えない点は別に確かめます。

1. y = (x + 3)²(x − 2) を因数分解した形にしてください。
2. y = (x − 4)(x + 2)/(x − 1) を分数の形にしてください。
3. y = (x − 2)³(x + 1) を因数分解した形にしてください。
4. y = (x + 1)²/(x − 3) を分数の形にしてください。
5. y = (x − 1)²(x + 3)/(x + 2) を因数分解した形にしてください。

解答と確かめ

1

全実数で定義されます。x ≠ -3、2 では次の通りです。

y′/y = 2/(x + 3) + 1/(x - 2)
y′ = 2(x + 3)(x - 2) + (x + 3)²
y′ = (x + 3)(3x - 1)

元の積の公式で x = -3 では 0、x = 2 では 25 です。整理式でも一致するので、答えは全実数で (x + 3)(3x − 1) です。

2

元の定義域は x ≠ 1 です。x ≠ 1、4、-2 で次のように計算します。

y′/y = 1/(x - 4) + 1/(x + 2) - 1/(x - 1)
y′ = {(2x - 2)(x - 1) - (x - 4)(x + 2)}/(x - 1)²
y′ = (x² - 2x + 10)/(x - 1)²

元の商の微分公式で確かめると、x = 4 と x = -2 での微分係数はいずれも 2 です。整理式も同じ値を与えます。答えは x ≠ 1 で上の分数です。

3

元の式は全実数で微分可能です。x ≠ 2、-1 で対数微分します。

y′/y = 3/(x - 2) + 1/(x + 1)
y′ = 3(x - 2)²(x + 1) + (x - 2)³
y′ = (x - 2)²(4x + 1)

元の積の公式により、x = 2 で 0、x = -1 で -27 です。整理式でも一致します。答えは全実数で (x − 2)²(4x + 1) です。

4

元の定義域は x ≠ 3 です。x ≠ -1、3 で計算します。

y′/y = 2/(x + 1) - 1/(x - 3)
y′ = {2(x + 1)(x - 3) - (x + 1)²}/(x - 3)²
y′ = (x + 1)(x - 7)/(x - 3)²

元の商の微分公式に x = -1 を戻すと 0 です。整理式も 0 です。答えは x ≠ 3 で上の分数です。

5

元の定義域は x ≠ -2 です。x ≠ 1、-3、-2 で対数微分します。

y′/y = 2/(x - 1) + 1/(x + 3) - 1/(x + 2)
y′ = (x - 1){2(x + 3)(x + 2) + (x - 1)(x + 2) - (x - 1)(x + 3)}/(x + 2)²
y′ = (x - 1)(2x² + 9x + 13)/(x + 2)²

元の積と商を微分すると、x = 1 で 0、x = -3 で -16 です。整理式でも同じ値なので、答えは x ≠ -2 で上の式です。分母の除外点は最後まで残ります。

要点

• log|y| を使う区間では y ≠ 0 を先に確認します。
• 積は対数の和、商は差になり、微分後は各因子の導関数と因子の比が並びます。
• 分子の零点は元の式で微分可能性と値を別に調べます。
• 元の分母が 0 の点は、整理後も定義域に含めません。

手が止まったときの点検

式に代入できない点が出たら、まず元の関数の分母を見ます。元の分母が 0 ならその点は定義域の外です。分子の因子だけが 0 なら、積や商の微分公式に戻して値を計算します。個別指導で途中式を確かめるときも、対数を取った行の条件と、最後に示した定義域を並べれば、除外した理由を追えます。零点を戻す根拠まで書くと、対数微分法の答えが元の関数につながります。