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高校数学III 絶対値を含む対数の微分—正負の区間から同じ導関数を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 微分法を掘り下げる

真数の正負で式を分け、零点を除いた各区間で導関数を導きます。負の入力にも絶対値対数を使えます。

よくあるのは、演習ノートで log |x| を log x と同じ関数と思い、負の x を考えずに微分を終える場面です。確かに正の x では値も導関数も一致します。しかし負の x では前者は定義され、後者は実数の範囲で定義されません。式が似ていることと、関数の定義域が同じことは別です。ここでは log を自然対数とし、絶対値の中が正の区間と負の区間を分けて調べます。

要点（結論から）

log |g(x)| の真数条件は g(x) ≠ 0 です。
g が微分可能なら、g ≠ 0 の点で導関数は g′/g です。
負の区間では log(-g) とし、2つの負号を追います。

どこで符号が必要になるか

最初の出方は、log |g(x)| の導関数を求める問いです。g(x) が負でも真数 |g(x)| は正になり得ます。一方、g(x) = 0 では真数が 0 になるため、対数そのものが定義されません。まず元の関数の定義域を書き、次にその中で微分します。

次は、ある点での微分係数を尋ねる問いです。点が定義域内かを調べてから導関数へ代入します。計算結果の分母が 0 になる点は、代入を工夫して値を作る場所ではありません。元の関数に値があるかどうかを先に確かめます。

さらに、絶対値を外して得た複数の式から、同じ導関数が現れる理由を説明する問いがあります。負の区間では外側の微分で付く負号と、真数の分母の負号が打ち消されます。これは log |g(x)| と log g(x) が同じ関数だという意味ではありません。ここで扱うのは、この符号と定義域の関係です。

正と負からたどる公式

自然対数 log t は t > 0 で定義され、その導関数は 1/t です。g がある点 a の近くで微分可能で、g(a) ≠ 0 とします。微分可能な関数はその点で連続なので、a に十分近い範囲では g の符号は g(a) と同じです。したがって、その範囲で絶対値を一つの式に外して合成関数の微分公式を使えます。

図1のように、正の場合は |g| = g、負の場合は |g| = -g です。いずれも対数の真数は正です。点の近くで符号を固定できることが、区間ごとの計算を一点の微分係数に使う根拠です。

図1の上段では g > 0 ですから、log |g| = log g です。真数 g が正で、g が微分可能なので、導関数は g′/g です。下段では g < 0 なので、-g > 0 に注意して次のように計算します。

log |g(x)| = log(-g(x))
(log |g(x)|)′ = (-g′(x))/(-g(x))
                 = g′(x)/g(x)

両方で同じ式が得られました。したがって、g が微分可能で g(x) ≠ 0 の点では、(log |g(x)|)′ = g′(x)/g(x) です。分母が 0 でないことは、この式を使う条件と元の真数が正である条件の両方に関係します。g が微分可能でない点については、この公式から結論を出せず、元の関数の差商などで別に調べる必要があります。

例えば g(x) = x の場合、log |x| の定義域は x ≠ 0 です。x > 0 では log x、x < 0 では log(-x) となり、どちらの導関数も 1/x です。0 の左右で同じ式が書けても、0 で微分可能になるわけではありません。そもそも log |0| に実数の値がないからです。導関数の式が左右で共通という事実と、区切りの点をまたぐ微分可能性は区別します。

基本例題：一次式の符号を分ける

関数 f(x) = log |2x − 6| の定義域と導関数を求め、f′(1) を分数で求めてください。

まず絶対値の内側が 0 になる点を探します。2x − 6 = 0 は x = 3 なので、真数が正となる定義域は x < 3 または x > 3 です。2x − 6 は全実数で微分可能ですから、定義域の各点で公式を使えます。

図2のように、3 の左では内側が負、右では正です。境界の 3 には元の関数の値がありません。各区間での式を実際に外して、共通の答えになることを見ます。

図2の左側では |2x − 6| = 6 − 2x で、6 − 2x > 0 です。右側では |2x − 6| = 2x − 6 > 0 です。それぞれ合成関数の微分を用います。

x < 3 のとき f′(x) = (-2)/(6 - 2x)
                         = 2/(2x - 6)
x > 3 のとき f′(x) = 2/(2x - 6)

よって定義域全体で f′(x) = 2/(2x − 6) = 1/(x − 3) です。式を簡単にしても x ≠ 3 の条件は残します。求める点 1 は 1 < 3 で定義域に含まれますから、次の値です。

f′(1) = 1/(1 - 3)
      = -1/2

元の式に x = 1 を戻すと真数は |2 − 6| = 4 > 0 です。負の内側を持つ点でも対数が定義されることを確認できます。例えば x = 3 を上の分母に入れて計算を続けることはできません。そこでは差商に必要な f(3) 自体が存在しないためです。

標準例題：零点が二つあるとき

関数 p(x) = log |x² − 5x + 6| の定義域と導関数を求め、p′(5/2) を分数で求めてください。

内側を因数分解すると、x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) です。零点は 2 と 3 なので、定義域は x ≠ 2 かつ x ≠ 3 です。内側は多項式であり各点で微分可能です。したがって、この定義域で絶対値つきの公式を適用できます。

p′(x) = (x² - 5x + 6)′/(x² - 5x + 6)
      = (2x - 5)/(x² - 5x + 6)
      = (2x - 5)/((x - 2)(x - 3))

途中の区間でも計算を確かめます。2 < x < 3 では一方の因子が正、他方が負なので、内側は負です。そのとき真数は -x² + 5x − 6 > 0 となります。

p′(x) = (-2x + 5)/(-x² + 5x - 6)
      = (2x - 5)/(x² - 5x + 6)

2 より左と 3 より右では内側が正なので、最初の式がそのまま出ます。3 区間の導関数が同じ形で表されることと、2 と 3 が定義域に含まれることは別です。求める 5/2 は 2 と 3 の間にあり、元の真数は 1/4 です。したがって有効な点であり、次のように代入できます。

p′(5/2) = (2・(5/2) - 5)/((5/2 - 2)(5/2 - 3))
         = 0/((1/2)(-1/2))
         = 0

導関数の分子が 0 になる点は、元の対数の真数が 0 になる点とは限りません。この点では元の真数が正なので、微分係数 0 を有効な答えとして採用できます。

発展例題：商の内側と除外点

関数 q(x) = log |(x + 1)/(x − 4)| の定義域と導関数を求め、q′(0) を分数で求めてください。

まず内側の分数は x = 4 で定義されません。また分数が 0 になる x = -1 では、対数の真数が 0 です。したがって定義域は x ≠ -1 かつ x ≠ 4 です。この範囲で分数関数は微分可能で、しかも 0 でないため、公式を使えます。

内側を g(x) として、商の微分公式を分母の条件 x ≠ 4 のもとで使います。

g(x) = (x + 1)/(x - 4)
g′(x) = ((x - 4) - (x + 1))/(x - 4)²
      = -5/(x - 4)²
q′(x) = g′(x)/g(x)
      = (-5/(x - 4)²)/((x + 1)/(x - 4))
      = -5/((x - 4)(x + 1))

割る式 g(x) が 0 でないことも、定義域を先に求めたことで確認済みです。約分した後も -1 と 4 を除きます。x = 0 は両方の除外点と異なり、元の真数は |1/(-4)| = 1/4 > 0 です。

q′(0) = -5/((-4)・1)
      = 5/4

別の見方では、定義域上で |(x + 1)/(x − 4)| = |x + 1|/|x − 4| です。両方の絶対値が正なので、対数の商の性質を使えます。これにより q(x) = log |x + 1| − log |x − 4| となり、導関数は 1/(x + 1) − 1/(x − 4) です。通分すると同じ -5/((x − 4)(x + 1)) に戻ります。対数の性質を使う前にも、分母と両方の真数が 0 でないことが必要です。

誤答の分岐を直す

基本例題で「log |2x − 6| = log(2x − 6) だから、定義域は x > 3」とする答えを考えます。微分の式 1/(x − 3) が右側で合っていても、定義域の答えは不足しています。図3のように、左側の x = 1 では内側が -4 ですが、絶対値を取った真数は 4 です。元の関数には値があります。

図3の修正では、内側の符号ではなく絶対値を取った後の真数が正かを調べます。x = 1 を log(2x − 6) に入れる操作は実数の範囲でできませんが、元の log |2x − 6| には入れられます。内側が負の区間では log(6 − 2x) と書き換えてから微分します。

別の誤りは、絶対値を外したときの内側の微分の負号を忘れ、負の区間で 2/(6 − 2x) とすることです。6 − 2x の導関数は -2 ですから、分子は -2 でなければなりません。この負号と分母を 2x − 6 に直す際の負号が両方必要です。符号を一つだけ消すと、負の区間で微分係数の符号が反対になります。

また、公式の分母に 0 を入れて計算が止まった場合は、式の変形で穴を埋める前に元の真数を確かめます。零点では関数値がないため、微分係数も定義できません。数式処理の途中で分母を払ったとしても、この除外点は元に戻りません。

練習問題

各問で定義域を明記し、導関数を求めてください。指定した点の微分係数は整数または分数で答えます。

f(x) = log |3x + 6| について、f′(-3) を求めてください。
f(x) = log |x² − 4| について、f′(1) を求めてください。
f(x) = log |x² + 9| について、f′(3) を求めてください。
f(x) = log |(x − 5)/(x + 2)| について、f′(0) を求めてください。
f(x) = log |x³ − 8| について、f′(-1) を求めてください。

練習の解答

内側 3x + 6 の零点は -2 です。定義域は x ≠ -2 で、内側は微分可能です。指定点 -3 では真数が |-9 + 6| = 3 > 0 なので代入できます。

f′(x) = 3/(3x + 6)
      = 1/(x + 2)
f′(-3) = 1/(-3 + 2)
       = -1

x² − 4 = (x − 2)(x + 2) より、定義域は x ≠ -2 かつ x ≠ 2 です。内側は微分可能で、指定点 1 の真数は |1 − 4| = 3 > 0 です。

f′(x) = 2x/(x² - 4)
f′(1) = 2/(1 - 4)
      = -2/3

負の内側を持つ区間でも、絶対値を取れば真数は正です。分母の符号をそのまま残して代入します。

x² + 9 はすべての実数 x で正なので、定義域は実数全体です。内側は微分可能で、3 に戻した真数は 18 > 0 です。

f′(x) = 2x/(x² + 9)
f′(3) = 6/(9 + 9)
      = 1/3

この場合は絶対値を外しても元の定義域は変わりません。それは内側が常に正だと確認できたためです。

内側の分母が 0 となる -2 と、分子が 0 となる 5 を除きます。定義域は x ≠ -2 かつ x ≠ 5 で、内側はこの範囲で微分可能です。

g(x) = (x - 5)/(x + 2)
g′(x) = ((x + 2) - (x - 5))/(x + 2)²
      = 7/(x + 2)²
f′(x) = (7/(x + 2)²)/((x - 5)/(x + 2))
      = 7/((x + 2)(x - 5))
f′(0) = 7/(2・(-5))
      = -7/10

指定点の元の真数は |-5/2| = 5/2 > 0 です。分数の分母も 2 で 0 ではありません。

x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4) です。後者は (x + 1)² + 3 > 0 なので、実数の零点は 2 です。定義域は x ≠ 2 であり、内側は多項式として微分可能です。

f′(x) = 3x²/(x³ - 8)
f′(-1) = 3/(-1 - 8)
       = -1/3

元の式に -1 を戻すと真数は |-1 − 8| = 9 > 0 です。計算した微分係数は、定義域の内側の点についての値です。

要点

log |g(x)| の真数条件は g(x) ≠ 0 です。
g が微分可能なら、g ≠ 0 の点で導関数は g′/g です。
負の区間では log(-g) とし、2つの負号を追います。
零点や内側の式の除外点は、整理後も定義域に戻しません。

手が止まったときの点検

導関数の形が出ても不安が残るときは、まず内側が負の具体的な点を一つ選び、絶対値を取った真数を計算します。次にその点の近くで絶対値を外した式を微分し、g′/g と符号まで照合します。式を短くした後に除外点が見えなくなった場合は、元の分母と真数へ戻ります。個別に解き方を確かめる場面でも、この2つの条件と、負の区間で生じる負号を書き出すと、どの段階で誤ったかを特定できます。絶対値は負の入力を受け止め、対数の真数を正にします。