武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学III 左右の微分係数—絶対値の接続点で差商の一致を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 微分法を掘り下げる

絶対値を接続点の左右で外し、実際の関数値を引いた差商から微分可能性と係数の条件を判定します。

よくあるのは、演習ノートで接続点の右側の式を微分し、その値だけで微分可能とする場面です。右側からの傾きが求まっても、左側から同じ点へ近づく差商はまだ調べていません。絶対値の中身が接続点で符号を変えると、左右で式が変わります。点そのものの値を共通の出発点にして、両方向からの差商を比べましょう。

要点（結論から）

接続点 a の値 f(a) を先に求め、両側で同じ値を引きます。
h > 0 と h < 0 で絶対値を外し、分母はどちらも h とします。
左右の差商がともに有限値へ収束し、その値が等しいとき微分可能です。

どの問いでも、接続点を先に決める

絶対値の式では、まず中身が0になる点を探します。その点の左右で絶対値を外し、指定された一点で微分係数が存在するか判定する問いがあります。存在しない場合も、右と左の値をそれぞれ示せば、不一致の場所が明確になります。

文字を含む式では、左右の差商が一致するように係数を決める問いもあります。このとき、片方の式を選んで通常の微分をするだけでは条件が足りません。さらに、関数値が接続点で別に与えられている場合は、その値を差商に使う必要があります。左右の式が近づく値と、実際に定められた関数値を混同しないことが出発点です。

片側の差商から両側の極限へ

関数 f が a の両側の十分近くと a 自身で定義されているとします。h ≠ 0 の差商を次のように置きます。

Q(h) = (f(a + h) - f(a))/h

h を正の値に保って0へ近づけた Q(h) の極限が有限の値として存在するとき、それを a における右側の微分係数と呼びます。h を負の値に保った極限が有限に存在するときは左側の微分係数です。どちらも分母は h であり、左側で分母を |h| に変えません。負の増分を負のまま割ることで、同じ x 軸の向きに対する傾きが得られます。

両側の微分係数 f′(a) が存在する条件は、この2つの片側極限がともに有限に存在し、互いに等しいことです。一致すれば共通の値が f′(a) です。一方が存在しない場合や、両方が有限でも値が異なる場合は、微分可能ではありません。右側の値がきれいな整数になることは、左側の値の存在を保証しません。

図1のように、h の符号によって a + h が接続点のどちらにあるかを判定します。h > 0 なら右、h < 0 なら左です。絶対値が |x − a| の形なら、x = a + h を代入した後は |h| となり、右で h、左で -h になります。

図1の両矢印は、どちらも同じ点へ近づくことを示しています。差商の分子の f(a) も左右で同じ値です。例えば f(a + h) − f(a) = |h| なら、右の差商は1、左の差商は -1 となり、一致しません。

微分可能性と連続性の関係も差商から確かめられます。差商が有限値 L に近づくなら、h ≠ 0 で次が成り立ちます。

f(a + h) - f(a) = hQ(h)
lim[h→0] hQ(h) = 0
lim[h→0] f(a + h) = f(a)

したがって a で微分可能なら a で連続です。逆は一般には成り立ちません。絶対値の折れ目は、連続でも左右の差商が異なる例です。連続性がないと判明した時点で微分可能ではありませんが、左右の差商の値を問われたときは、それぞれの極限も調べます。分子が0以外の値に近づく場合、分母は0へ近づくので、有限の片側微分係数は存在しません。

基本例題：折れ目の両側を計算する

関数 f(x) = |x − 2| + 3x について、x = 2 における左右の微分係数を求め、微分可能か判定してください。値は整数で答えます。

まず f(2) = 6 です。h ≠ 0 として差商を作り、絶対値の符号を残したまま整理します。

f(2 + h) = |h| + 3(2 + h)
           = |h| + 6 + 3h
(f(2 + h) - f(2))/h = (|h| + 3h)/h

h > 0 では |h| = h です。したがって右側の差商は次の値です。

(|h| + 3h)/h = (h + 3h)/h
                  = 4

h < 0 では |h| = -h です。同じ分母 h で割ります。

(|h| + 3h)/h = (-h + 3h)/h
                  = 2

右側の微分係数は4、左側は2です。両方とも有限ですが等しくないため、x = 2 で微分可能ではありません。実際、x > 2 では f(x) = 4x − 2、x < 2 では f(x) = 2x + 2 です。両式に2を戻すとどちらも6となり、図2の接続点と一致します。連続であっても傾きは一致しないことを、この計算は示しています。

図2の折れ線は接続点 (2, 6) を共有し、左の傾きが2、右が4です。点がつながっているという観察と、同じ傾きでつながるという条件は別々に判定します。

標準例題：係数で折れ目を消せるか

f(x) = x² + p|x − 1| とします。x = 1 で微分可能となる実数 p と、そのときの微分係数を整数で求めてください。

f(1) = 1 です。h ≠ 0 の差商は次のとおりです。

f(1 + h) = (1 + h)² + p|h|
             = 1 + 2h + h² + p|h|
(f(1 + h) - f(1))/h = 2 + h + p|h|/h

右では |h|/h = 1、左では |h|/h = -1 です。よって片側の極限は次のようになります。

右側 = lim[h→0+] (2 + h + p) = 2 + p
左側 = lim[h→0-] (2 + h - p) = 2 - p

ともに有限なので、一致条件を解きます。

2 + p = 2 - p
2p = 0
p = 0

p = 0 のとき f(x) = x² です。元の式に戻して f(1) = 1 を確認し、差商 2 + h の極限から微分係数は2です。逆に p ≠ 0 なら左右の値の差は 2p であり、等しくなりません。したがって求める条件は p = 0、微分係数は2です。

ここでは連続性だけで p を決められません。どの実数 p でも x が1へ近づくと絶対値の項は0へ近づき、関数値1につながります。差商まで進むと、絶対値の項が左右に反対の寄与を残すとわかります。

発展例題：接続点の値も含めて判定する

実数 b, c に対し、x ≠ -1 では f(x) = (x + 1)|x + 1| + b(x + 1) + 5、x = -1 では f(-1) = c とします。x = -1 で微分可能となる b, c の条件と、そのときの微分係数を求めてください。条件は等式で、微分係数は b を用いて答えます。

まず x が -1 に近づくと、x + 1 と |x + 1| はともに0へ近づきます。したがって x ≠ -1 の式の極限は5です。微分可能なら連続なので、必要条件は c = 5 です。c ≠ 5 なら関数値に飛びがあり、どの b でも微分可能ではありません。

c = 5 として差商を計算します。a = -1、h ≠ 0 とすると、a + h ≠ -1 ですから接続点以外の式を使えます。

f(-1 + h) = h|h| + bh + 5
(f(-1 + h) - f(-1))/h = (h|h| + bh)/h
                              = |h| + b

h が正でも負でも |h| は0へ近づくため、左右の差商はともに b へ収束します。b は任意の実数で、c = 5 が必要十分な条件です。そのときの微分係数は b です。元の定義へ戻すと、接続点の値は5、左右の式もその値に近づきます。さらに差商の両側の極限を調べたので、連続性だけから結論を出しているわけではありません。

この式では |h| にもう1つ h が掛かっています。差商で h を約分しても |h| が残り、両側で0へ近づきます。絶対値があるという見た目だけで微分不可能と決めることも、右側の式だけで可能と決めることもできません。

誤答を差商の符号から直す

基本例題で「右側の差商が4だから f′(2) = 4」とするのは誤りです。右側の計算自体は正しいものの、両側の極限の存在を示していません。左側では |h| = -h として差商が2になるので、4と一致しません。

図3のように、右の結果を得た後に左の欄を埋め、最後に2つを比較します。判定欄には右の値だけを転記せず、不一致なら「微分可能でない」と書きます。もし両側が一致しても、有限の極限として存在することまで確認します。

図3では左の値が2、右の値が4なので、結論は不一致です。もう1つの誤りは、左側の分母を -h に変えることです。分子と分母の両方が負になる場合もあるため、分母の符号を勝手に変えると本来の傾きが反転します。定義に戻り、h < 0 のまま計算してください。

練習：5つの接続点

各問で指定した点は定義域の内点です。片側の値を求める場合は有限値を整数または分数で答え、存在しない場合はその理由も書いてください。

f(x) = |x + 3| − 2x の x = -3 における左右の微分係数を求め、微分可能か判定してください。
g(x) = x² + q|x + 2| について、x = -2 で微分可能となる実数 q と、そのときの微分係数を求めてください。
u(x) = (x − 4)|x − 4| + 2x の x = 4 における左右の微分係数を求め、微分可能か判定してください。
x ≠ 0 では v(x) = |x| + 1、x = 0 では v(0) = 2 とします。x = 0 の左右の微分係数が有限に存在するか判定してください。
w(x) = |2x − 6| − x について、x = 3 の左右の微分係数を求め、微分可能か判定してください。

解答と途中の考え方

f(-3) = 6 です。h ≠ 0 として代入します。

f(-3 + h) = |h| - 2(-3 + h)
              = |h| + 6 - 2h
(f(-3 + h) - f(-3))/h = |h|/h - 2

右側は 1 − 2 = -1、左側は -1 − 2 = -3 です。不一致なので微分可能ではありません。元の式に -3 を戻すと6であり、左右で引く関数値は同じ6です。

g(-2) = 4 です。差商を展開します。

g(-2 + h) = 4 - 4h + h² + q|h|
(g(-2 + h) - g(-2))/h = -4 + h + q|h|/h

右側は -4 + q、左側は -4 − q です。一致条件は q = 0 です。このとき元の式は g(x) = x²、g(-2) = 4 であり、共通の微分係数は -4 です。q ≠ 0 のときは左右の差が 2q なので一致しません。

u(4) = 8 です。差商は次のように計算できます。

u(4 + h) = h|h| + 8 + 2h
(u(4 + h) - u(4))/h = |h| + 2

左右とも |h| は0へ近づきます。両側の微分係数は2で一致し、微分可能です。元の式でも x = 4 の絶対値を含む項は0で、関数値は8です。

v(0) = 2 を引くことに注意します。h ≠ 0 では v(h) = |h| + 1 なので、差商は次のとおりです。

(v(h) - v(0))/h = (|h| - 1)/h

h > 0 では 1 − 1/h となり、h を0へ近づけると負の方向に限りなく大きくなります。h < 0 では -1 − 1/h となり、正の方向に限りなく大きくなります。どちらも有限の微分係数としては存在しません。元の値2に対し、点以外の式は1に近づくため、連続でもありません。

w(3) = -3 です。絶対値の中の係数2を残して代入します。

w(3 + h) = |2h| - 3 - h
(w(3 + h) - w(3))/h = 2|h|/h - 1

右側は 2 − 1 = 1、左側は -2 − 1 = -3 です。異なるので微分可能ではありません。元の式に3を戻すと -3 となり、差商の引く値と一致します。

要点を手元に残す

接続点 a の値 f(a) を先に求め、両側で同じ値を引きます。
h > 0 と h < 0 で絶対値を外し、分母はどちらも h とします。
左右の差商がともに有限値へ収束し、その値が等しいとき微分可能です。
微分可能なら連続ですが、連続だけでは左右の傾きの一致は言えません。

差商が有限値に近づかない場合

片側の差商が一定の値に近づくとは限りません。練習4では接続点の関数値と周囲の値がずれ、分子が0以外に近づきました。このとき、分母が正から0へ近づくか負から近づくかで発散の向きも変わります。大きな値が出たところで計算を止めず、分子と分母のそれぞれの極限を見て、有限値が存在しない理由を記します。連続性を先に点検すれば、そのずれにも気づきやすくなります。

手が止まったときに見る場所

片側の計算は合うのに結論が定まらないときは、h の符号と、差商に入れた f(a) を行ごとに指で追ってください。別に定義された接続点なら、周囲の式の極限をそのまま関数値に使えません。個別指導で確かめるなら、右側と左側の式を並べ、一致する条件と有限に収束する条件を言葉にしてから結論を書くと、抜けた判定が見えます。左右の差商を同じ基準で比べれば、折れ目の判定は明確です。