高校数学III 微分係数の定義—差商の極限から一点の変化率を求め直す｜武蔵野個別指導塾

hを0にする前に差商を展開・有理化し、根号の定義域も確認しながら一点での微分係数を求め直します。

よくあるのは、演習ノートで差商を書いた直後に h を先に 0 にしてしまう場面です。分子も分母も 0 となり、そこで計算が止まります。微分係数は、その式に 0 を代入して得る値ではありません。0 でない増分について比を作り、増分を 0 に近づけたときの値を調べます。

この区別は、式の見た目を整えるためだけのものではありません。分母を消せる条件や、根号の中が定義される範囲を確かめるためにも必要です。ここでは一点での差商の計算に絞り、展開と有理化を使って値を求めます。

差商が必要になる問い

まず、関数と点が与えられ、その点の微分係数を定義に従って求める問いがあります。公式で値を予想できても、定義による解答には差商とその極限が必要です。点の関数値を先に求め、増分を加えた点の関数値との差を作ります。

次に、根号を含む関数の差商では、分子が根号の差になります。0 を代入すると分子と分母がともに 0 に近づきますが、それ自体は答えを決めません。共役な式を掛けて分子を変形し、0 でない h を約分します。

さらに、定義域の境界が絡む場合には、計算式が作れる h の範囲を調べる問いがあります。点の近くで左右から差商を調べられるか、分母が 0 にならないかを先に確認します。式の整理後に得た値を使うには、元の差商と一致する範囲も必要です。

増分を残したまま極限へ進む

関数 f が a を含む開区間で定義されているとします。h ≠ 0 で、a + h がその区間にあるとき、差商は次の式です。

(f(a + h) - f(a))/h

この差商が h → 0 のとき有限の値に収束するなら、その値を f の x = a における微分係数といい、f′(a) と書きます。ここで h は 0 以外の値をとりながら 0 に近づきます。正の側と負の側から近づけても同じ有限の値に近づくことが必要です。

分子は関数値の増分、分母は入力の増分です。図1のように、a から a + h への変化と、f(a) から f(a + h) への変化を対応させます。引く順序を両方でそろえると、その比が差商になります。

図1の h は 0 でない間の増分です。負の h なら a + h は a より小さくなり、関数値の差にもその向きが反映されます。図の並びは正の h の場合を表しますが、式は負の h にも同じ順序で使います。

例えば f(x) = x² なら、a の周辺の差商は次のように整理できます。

((a + h)² - a²)/h
= (a² + 2ah + h² - a²)/h
= h(2a + h)/h
= 2a + h

最後の等式には h ≠ 0 を使いました。整理後は h を 0 に近づけると 2a に近づくので、x = a の微分係数は 2a です。元の差商は h = 0 では定義されませんが、整理後の式はその点にも値を持ちます。極限で見ているのは近くの値なので、この違いは矛盾しません。

根号の差 A − B では、共役な式 A + B を使い、(A − B)(A + B) = A² − B² とします。ただし、掛ける分数の分母 A + B が 0 でないことを確かめます。根号は負でない値を表すため、少なくとも一方が正なら和は正です。約分も h ≠ 0 の範囲で行い、最後に残った分母が 0 に近づかないかを見ます。

差商を整理する際には、等式が成立する場所を意識します。たとえば h を約分した式は h = 0 でも計算できますが、約分前の差商はそこで定義されません。両者が 0 の近くの 0 でない h で一致することが、極限を比べる根拠です。近くで一致するという条件を省き、たまたま同じ形に見える式へ置き換えることはできません。

また、分母が 0 に近づくときは、分子と分母を別々に代入して商を決められません。整理後の分母が 0 でない値に近づく場合には、その値で割れます。根号の計算では、根号内が近くで負にならないことと、共役な和が 0 でないことをそれぞれ確かめます。

基本例題：根号の差をほどく

f(x) = √(x + 5) とします。定義を用いて x = 4 における微分係数を求め、答えは分数で表してください。

まず f(4) = 3 です。4 の十分近くでは x + 5 > 0 なので関数が定義され、h は正負の両側から 0 に近づけられます。差商を作ってから有理化します。

(f(4 + h) - f(4))/h
= (√(9 + h) - 3)/h
= ((√(9 + h) - 3)(√(9 + h) + 3))/(h(√(9 + h) + 3))
= ((9 + h) - 9)/(h(√(9 + h) + 3))
= h/(h(√(9 + h) + 3))
= 1/(√(9 + h) + 3)

h が 0 に十分近いとき、根号の和は正です。また約分は h ≠ 0 で行いました。h → 0 では分母は 6 に近づき、0 には近づきません。したがって f′(4) = 1/6 です。

図2のように、入力の基準は 4、関数値の基準は 3 です。増分を加えた側の根号にも 4 を代入してから h を残します。図2の右側にある分母は、有理化後に残る和を表します。

答えを元の差商に戻すと、0 に近い正負の h のどちらでも 1/(√(9 + h) + 3) に等しくなります。したがって片側だけの偶然の値ではありません。元の式に h = 0 を入れて 0/0 と書くことと、この極限が 1/6 であることは別の主張です。

標準例題：係数を残して展開する

g(x) = 2x³ − 3x とします。定義を用いて x = -2 における微分係数を求め、整数で表してください。多項式は -2 の周辺で定義されますから、差商を正負の h について作れます。

g(-2) = 2(-2)³ - 3(-2)
= -16 + 6
= -10

g(-2 + h) = 2(-2 + h)³ - 3(-2 + h)
= 2(-8 + 12h - 6h² + h³) + 6 - 3h
= -10 + 21h - 12h² + 2h³

(g(-2 + h) - g(-2))/h
= (-10 + 21h - 12h² + 2h³ + 10)/h
= h(21 - 12h + 2h²)/h
= 21 - 12h + 2h²

最後の約分では h ≠ 0 です。h → 0 で残りの項はそれぞれ 0 に近づくため、g′(-2) = 21 です。引くべき g(-2) が負なので、分子では -(-10) = +10 となります。ここで符号を落とすと定数項が消えず、h でまとめられません。

元の多項式に -2 + h と -2 を入れた差は、上の展開から h(21 − 12h + 2h²) です。この差を入力の差 h で割ると、求めた式へ戻ります。定数項が消えることは、同じ関数の同じ基準点を引いているかを見直す手掛かりです。

発展例題：係数と根号の両方を扱う

p(x) = √(3x + 7) とします。定義を用いて x = 3 の微分係数を求め、分数で表してください。基準点の真下の数は 16 で正ですから、十分小さい正負の h で根号の中は正です。

p(3) = √16
= 4
p(3 + h) = √(16 + 3h)

(p(3 + h) - p(3))/h
= (√(16 + 3h) - 4)/h
= ((√(16 + 3h) - 4)(√(16 + 3h) + 4))/(h(√(16 + 3h) + 4))
= (16 + 3h - 16)/(h(√(16 + 3h) + 4))
= 3h/(h(√(16 + 3h) + 4))
= 3/(√(16 + 3h) + 4)

根号と 4 の和は正で、h は 0 でないので各変形ができます。h → 0 では分母が 8 に近づくため、p′(3) = 3/8 です。分子の 3 は入力の増分 h が根号の中では 3h になることから残ります。元の式へ 3 + h を代入して、増分が h ではなく 3h であることを確かめてください。

基準点の根号の中が正か 0 かで、調べ方は分かれます。例えば q(x) = √x の x = 0 では、実数の範囲で h < 0 の差商は作れません。h > 0 でも差商は 1/√h となり、h → 0 のとき有限の値に収束しません。したがって、上で述べた両側からの定義による微分係数はありません。途中で現れる分母の極限が 0 の場合に、機械的に代入して有限値とすることはできません。

0 を入れる位置を直す

基本例題で「h = 0 だから (√(9 + h) − 3)/h = 0/0 = 0」とする答案を考えます。誤りは 0/0 に値を与えた点です。0 で割ることは定義されず、この式は h = 0 で差商として存在しません。図3のように、まず h ≠ 0 のまま変形する道を選びます。

図3の正しい道では、有理化と約分の後に極限をとります。h = 0 のときの元の式を計算しているのではなく、0 でない h で等しい式の近づく先を見ています。約分前と後の式が一致する範囲を明記すれば、穴を埋めたように見える操作の意味がはっきりします。

もう一つの誤りは、√(9 + h) − 3 を h と見なすことです。根号は足し算に分配できません。有理化すると分子は h ですが、分母には √(9 + h) + 3 が残ります。その分母を捨てずに極限をとると 1/6 です。

練習問題

各問とも、定義による差商から求めてください。答えは整数または既約分数で表し、微分係数がない場合はその理由を述べてください。

1. f(x) = x² + 2x の x = 3 における微分係数を求めてください。
2. g(x) = x³ + x の x = 2 における微分係数を求めてください。
3. p(x) = √(x + 11) の x = 5 における微分係数を求めてください。
4. q(x) = √(2x + 1) の x = 4 における微分係数を求めてください。
5. r(x) = √(x − 2) の x = 2 における微分係数を、上記の両側からの定義に照らして調べてください。

練習の解答と確かめ

1. 多項式なので 3 の周辺で定義されます。f(3) = 15 を使い、h ≠ 0 で次のように計算します。

(f(3 + h) - f(3))/h
= ((3 + h)² + 2(3 + h) - 15)/h
= (8h + h²)/h
= 8 + h

h → 0 より答えは 8 です。元の関数値の差は h(8 + h) なので、入力差 h で割ればこの差商に戻ります。

2. g(2) = 10 です。多項式のため 2 の近くの正負の h を使えます。

(g(2 + h) - g(2))/h
= ((2 + h)³ + 2 + h - 10)/h
= (13h + 6h² + h³)/h
= 13 + 6h + h²

h → 0 より答えは 13 です。元の式を展開すると関数値の差は h(13 + 6h + h²) となり、差商と一致します。

3. p(5) = 4 で、5 の近くでは根号の中が正です。h ≠ 0 のもとで共役な式を使います。

(p(5 + h) - p(5))/h
= (√(16 + h) - 4)/h
= h/(h(√(16 + h) + 4))
= 1/(√(16 + h) + 4)

分母は正で 8 に近づくので答えは 1/8 です。元の根号の差に共役な和を掛ければ h が得られ、整理後の式へ戻れます。

4. q(4) = 3 で、4 の近くでは根号の中が正です。h ≠ 0 として計算します。

(q(4 + h) - q(4))/h
= (√(9 + 2h) - 3)/h
= 2h/(h(√(9 + 2h) + 3))
= 2/(√(9 + 2h) + 3)

分母は 6 に近づくので答えは 1/3 です。元の根号の中に 4 + h を代入すると 9 + 2h となり、分子に残る 2 の出どころを確認できます。

5. r(2) = 0 ですが、h < 0 では r(2 + h) が実数として定義されません。したがって両側からの差商を作れず、指定された定義での微分係数はありません。さらに h > 0 では次のようになります。

(r(2 + h) - r(2))/h
= √h/h
= 1/√h

h → 0 の正の側でこの値は限りなく大きくなり、有限の値にも近づきません。元の定義域 x ≥ 2 に戻すと、負の h を使えないことも確認できます。

手元に残すこと

• 差商は基準点と増分を加えた点の関数値の差を、0 でない h で割ります。
• 展開や有理化の後も、約分と分母の条件を保持します。
• 正負の側から同じ有限値に近づくとき、その値が微分係数です。
• 根号の端では定義域と片側の挙動を別々に調べます。

どこで止まったかを見る

分子の定数項が残るなら、基準点の関数値と引く符号を見直します。根号の問題で係数が消えたなら、増分を代入した後の根号の中と共役な式の積を照合します。

個別指導で式を確かめるときは、最初の差商、h ≠ 0 の条件、最後に近づける値を順にノートへ書き出してください。答えが合っていても、途中で 0/0 に値を置いていないかが見えます。差商を作れる範囲を守ると、一点の変化率へ至る道筋が残ります。