高校数学B 母平均と母比率の区間推定—条件に合う標準誤差で区間を作る｜武蔵野個別指導塾

母標準偏差が既知の平均と大標本の比率を例に、標準誤差と信頼区間の意味から考える母比率の区間推定です。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が、計算して得た区間の中を母平均が一定の確率で動くと考える場面です。標本を取る前には区間の端が標本によって変わりますが、母平均は未知でも固定された値です。取った後の区間を見て、何が変わり何が固定されているかを言葉にすると、計算と解釈がつながります。

区間を作る問題の入口

出方の1つは、母標準偏差がわかっている母集団から標本を取り、標本平均を中心に母平均の区間を求める型です。標本の個々の値の散らばりを、そのまま区間の片側の幅に使うわけではありません。平均の散らばりを表す標準誤差に直し、信頼係数に対応する数をかけます。

もう1つは、ある性質を持つ割合について標本比率から母比率を推定する型です。こちらは母標準偏差の数値が与えられないので、標本比率から標準誤差を見積もります。十分大きい標本で正規近似を使える条件を確認したうえで計算します。

さらに、同じ標本平均や標本比率から信頼係数を変えた区間を比べる型があります。係数を大きくすると、標本を繰り返し取ったとき母数を含む区間の割合を高くするため、通常は区間が広がります。数値の代入の前に、対象が平均か比率か、何が既知か、どの係数を使うかを問題文に印を付けて整理しましょう。

標本から区間までの道筋

母集団は考える対象の全体、母平均 μ や母比率 p はその全体についての固定された値です。標本はそこから取り出したデータで、標本平均 X̄ や標本比率 P̂ は、抽出前には値が変わりうる確率変数です。抽出後に得た平均 x̄ や比率 p̂ は実際の観測値です。大文字と小文字の区別は、区間が変動する段階と、具体的な区間が確定した段階を区別する助けになります。

母標準偏差を σ、標本の大きさを n とします。各観測値が独立で同じ母集団に従うとき、標本平均の標準偏差は σ/√n です。これを標本平均の標準誤差と呼びます。母集団が正規分布なら標本平均も正規分布に従い、大きな標本では条件のもとで近似的に正規分布に従います。母標準偏差が未知のときの別の方法はここでは扱いません。

母比率では、各観測を該当なら1、該当しなければ0と置くと、標本比率はその平均です。標本比率の本来の標準偏差は √(p(1-p)/n) ですが、未知の p を使って計算できないため、十分大きい標本では p̂ を代入して √(p̂(1-p̂)/n) と見積もります。この値は推定された標準誤差です。標本が小さい場合や該当数・非該当数が少ない場合、この正規近似による区間は適切でないことがあります。

図1のように、標本を取り直すたびに中心と区間は変わります。縦の線は同じ母平均を表します。3回のうち1回は母平均を含まない例であり、3回という回数から信頼係数を決める図ではありません。図1の各区間が動く対象であることを押さえてください。

信頼係数95%に使う標準正規分布の値は、ここでは問題の条件として 1.96 を使います。標準正規分布表が「0から正の値までの面積」を載せているなら、1.96に対応する面積は約0.4750です。左右対称なので -1.96から1.96までの面積は約0.9500です。累積確率を載せる表なら1.96の欄は約0.9750となり、表の定義を見てから読む必要があります。いずれも四捨五入した値で、1.96による信頼係数は厳密に95%そのものではなく約95%です。

母平均の区間は x̄ ± 1.96σ/√n、母比率の区間は p̂ ± 1.96√(p̂(1-p̂)/n) と表します。記号 ± は中心から片側の幅を引いた値が下端、足した値が上端という意味です。母比率の式は近似式です。標本の取り方に偏りがあれば、標本数を増やすだけでは偏りが消えるとは限りません。

平均の幅を1段ずつ求める

例題1。ある製品の長さの母集団は正規分布に従い、母標準偏差は 10 mm とします。独立に無作為抽出した 100 個の標本平均が 52 mm でした。標準正規分布の -1.96から1.96までの確率を約0.95とし、母平均の約95%信頼区間を求めてください。端点は小数第2位まで、単位は mm で示します。

母平均を μ とすると、抽出前の標本平均 X̄ は正規分布に従います。その平均は μ、標準誤差は σ/√n です。条件の 10 と 100 を入れ、根号から計算します。

√100 = 10

10/√100 = 10/10 = 1 mm

標本平均から母平均を測る尺度が 1 mm と決まりました。次に、中心から左右に取る幅は 1.96 倍です。

1.96 × 1 = 1.96 mm

観測された中心は 52 mm ですから、下端には幅を引き、上端には足します。

下端: 52 − 1.96 = 50.04 mm

上端: 52 + 1.96 = 53.96 mm

したがって、求める区間は 50.04 mm 以上 53.96 mm 以下です。図2のように、中心から両端までの距離はそれぞれ 1.96 mm です。図2の左右の幅と、問題で与えた標準誤差から求めた幅を照らし合わせます。

この式は標準化からも確かめられます。抽出前には Z = (X̄ − μ)/(10/√100) が標準正規分布に従うので、-1.96 ≦ Z ≦ 1.96 となる確率は約0.95です。分母は正なので、不等号の向きを変えずに両辺に 1 をかけ、μ について整理すれば X̄ − 1.96 ≦ μ ≦ X̄ + 1.96 です。X̄ に観測値 52 を入れると先ほどの区間になります。

元の条件に戻して確認すると、両端の平均は (50.04 + 53.96)/2 = 52 で、与えられた標本平均と一致します。また片側の幅 1.96 を 1.96 で割ると 1 mm となり、10/√100 に戻ります。端点が合っていても単位を落とすと長さの問題として読み取りにくくなるので、途中の標準誤差にも mm を添えます。

比率では未知の散らばりを見積もる

例題2。2種類の札を十分に混ぜ、1回ごとに戻して独立に 400 回取り出します。印付きの札が 100 回出ました。印付きの母比率について、標本比率を用いる正規近似で約95%信頼区間を求めてください。1.96 を用い、端点は比率として小数第4位を四捨五入し小数第3位まで示します。

まず標本比率は p̂ = 100/400 = 0.25 です。印なしは 300 回です。該当数と非該当数がともに十分大きく、各回が独立で確率が一定という設定なので、ここでは正規近似を使います。これは戻して取るという条件を利用した判断です。

推定された標準誤差を順に計算します。

√(0.25 × 0.75/400) = √(0.00046875) ≒ 0.0216506

片側の幅は 1.96 × 0.0216506 ≒ 0.042435 です。途中で丸めすぎないようにしてから、中心に引き算と足し算を行います。

下端: 0.25 − 0.042435 ≒ 0.207565

上端: 0.25 + 0.042435 ≒ 0.292435

よって端点を指定どおり丸めた区間は 0.208 以上 0.292 以下です。元の場面に戻ると 0.25 × 400 = 100 で、中心は印付きの回数に対応します。丸める前の両端の平均も 0.25、片側の幅も上の標準誤差の 1.96 倍です。

ここで母平均の例題との差を確認します。平均では既知の母標準偏差 10 を使いました。比率では母比率が未知なので、観測された 0.25 で散らばりを見積もりました。両者とも中心 ± 幅ですが、幅の材料は異なります。標本比率が0や1に近く、印付きまたは印なしの回数がごく少ないときは、この近似式を機械的に当てはめず、条件不足として別の方法を検討します。

また、正規近似の区間が0未満や1を超える場合は、比率がその値を取れるという意味ではありません。母比率の範囲は0以上1以下です。そのような端の例では近似の精度にも注意が必要で、単に端を切り詰めるだけで所定の信頼係数が保証されるとは限りません。

誤答から固定された値を見直す

例題1で「母平均が 50.04 から 53.96 の間を95%の確率で動く」と書くのは誤りです。母平均は母集団について決まった未知の値で、標本を取り直しても動きません。動くのは標本平均と、それを使って作る区間です。

図3のように、標本を取る前に同じ方法で区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%の区間が固定された母平均を含む、というのが信頼係数の意味です。図3には含む場合と含まない場合を両方描いています。実際には取り出し後の1つの区間が母平均を含むかどうかは決まっており、この方法だけではどちらかを断定できません。

別の誤りは、例題1で標準誤差を 10/100 = 0.1 mm とすることです。100 個を平均すると分散は100分の1になりますが、標準偏差はその平方根なので10分の1です。分散と標準偏差を区別し、√100 = 10 を経由すると 1 mm に直せます。幅も誤った 0.196 mm ではなく 1.96 mm です。

例題2で標本比率 0.25 を母比率の確定値とみなすのも間違いです。0.25は抽出結果であり、標本を取り直せば変わります。推定された標準誤差に0.25を使うことは、母比率が必ず0.25だと決めることではありません。まず観測値、未知の母数、推定に使う値を欄に分けて書きましょう。

自分で区間を作る練習

いずれも独立な無作為抽出とし、標準正規分布の -1.96から1.96までの確率を約0.95とします。近似値の端点は最後に四捨五入します。

1. 正規分布に従う重さの母集団の母標準偏差は 6 g です。36 個の標本平均が 40 g のとき、母平均の約95%信頼区間を求めてください。端点は小数第2位まで、単位は g で示します。
2. 印のある球の母比率を調べるため、戻しながら独立に 625 回抽出したところ、印ありは 125 回でした。標本比率を用いた正規近似による母比率の約95%信頼区間を求めてください。端点は比率として小数第4位を四捨五入し小数第3位まで示します。
3. 正規分布に従う長さの母集団の母標準偏差は 12 cm です。標本平均が 80 cm だったとき、約95%信頼区間の片側の幅を 2.94 cm 以下にしたいとします。独立に無作為抽出する標本の大きさの最小の整数を求めてください。
4. 信頼係数に対応する数として 1.96 を使い、ある固定の母平均について同じ方法で標本を繰り返し取り、区間を作ります。確定した1つの区間に母平均が95%の確率で入ると解釈してよいか、理由とともに文章で答えてください。

練習の答えと途中の見方

1. 標準誤差は 6/√36 = 1 g、片側の幅は 1.96 × 1 = 1.96 g です。したがって 40 − 1.96 = 38.04、40 + 1.96 = 41.96 より、38.04 g 以上 41.96 g 以下です。両端の中央は 40 g、幅を1.96で割ると1 gなので、与えられた標本平均と標準誤差に戻ります。

2. 標本比率は 125/625 = 0.2、印なしは 500 回です。両方の回数が十分大きく、独立で確率一定なので正規近似を用います。推定された標準誤差は √(0.2 × 0.8/625) = 0.016、幅は 1.96 × 0.016 = 0.03136 です。端点は 0.16864 と 0.23136 なので、指定の丸め後は 0.169 以上 0.231 以下です。0.2 × 625 = 125 と、元の印ありの回数に戻ります。丸め前の端点の平均も 0.2 です。

3. 幅の条件は 1.96 × 12/√n ≦ 2.94 です。正の数を使って整理すると 23.52 ≦ 2.94√n、したがって 8 ≦ √n、64 ≦ n です。最小の整数は 64 個です。64 個では幅が 1.96 × 12/8 = 2.94 cm となり条件を満たします。63 個では √63 が 8 より小さく、幅は 2.94 cm より大きいので、最小であることも確認できます。標本平均 80 cm を中心とする区間は 77.06 cm 以上 82.94 cm 以下で、中央は元の 80 cm に戻ります。

4. よくありません。母平均は固定され、確定した区間がそれを含むか否かも決まっています。同じ抽出と区間作成を繰り返す手順について、母平均を含む区間の割合が約95%になると解釈します。信頼係数は母平均の移動する確率ではありません。

手元に残す要点

• 母平均と母比率は固定され、標本から作る区間は標本ごとに変わります。
• 母標準偏差既知の平均では、標準誤差は σ/√n です。
• 大標本の比率では、標本比率を使って標準誤差を見積もります。
• 信頼区間は中心 ± 対応する数 × 標準誤差です。
• 信頼係数は区間作成を繰り返したときの包含割合を表します。

途中式のどこで止まったかを見る

区間の中心を選べないときは、母平均と標本平均、母比率と標本比率をそれぞれ別の欄に書きます。中心が書けても幅が違うなら、母標準偏差を使う問題か、標本比率で見積もる問題かを確認します。平方根の位置が曖昧なら、例題1の 100 を 10 に直す一行からたどると誤りの位置を特定できます。

個別指導で確認するときも、答えの端点だけでなく、抽出前の確率変数と抽出後の観測値を指して説明できるかを見ると、解釈の誤りが見えます。比率なら該当数と非該当数、独立性も問題文へ戻って確かめます。固定された母数と変わる区間の役割を区別すると、信頼係数の意味まで一続きで読めます。