高校数学B いろいろな数列の和—項の分解とずらした差で式を整える｜武蔵野個別指導塾

等差と等比の積をずらして引く手順と、端の項が残る部分分数の相殺です。

よくあるのは、定期テスト前に和の式を上下に書き、引き算を進めた高校生が、ずらした和の最後の項を消し忘れるという場面です。途中の形が似ていると、最後まで同じ対応が続くように見えます。しかし、有限の和には始まりと終わりがあります。各行の項がどこまであるかを先に書けば、残る項と消える項を見分けられます。

ここでは、隣り合う分母を持つ分数の和と、等差数列の項と等比数列の項を掛けた有限和を扱います。どちらも一度に公式へ当てはめるのではなく、項を分けるか行をずらすかして、計算しやすい和に変えます。

答えに向かう形を見つける

問題を見たら、まず項が何からできているかを読みます。分母が k(k+1) の形なら、1/k と 1/(k+1) の差に分けると、隣の項どうしが打ち消し合います。このとき最後まで消えるわけではありません。初めの正の項と終わりの負の項が残ることを確認します。

一方、k と 2 の累乗のように、等差の部分と等比の部分が掛け合わされている和は、和全体に公比を掛けてから引く方法が有効です。累乗を同じ位置にそろえると、係数の差が一定になり、残った部分を等比数列の和として計算できます。元の行にしかない初めの項と、掛けた行にしかない最後の項は、対応する相手がいないので残ります。

もう1つの見方は、数値を最初の数項に入れて式の意味を確かめることです。たとえば n=1 のとき、求めた式は元の最初の1項に一致しなければなりません。これは式の誤りを見つけるための確認であり、一般の場合を導く途中式の代わりにはなりません。

隣の項との対応を作る

部分分数への分解とは、1つの分数を、足したり引いたりできる複数の分数に直すことです。k が正の整数なら、分母は0ではありません。次の等式は右辺を通分すると確かめられます。

1/k − 1/(k+1) = ((k+1) − k)/(k(k+1)) = 1/(k(k+1))

ここで重要なのは、分けた後の後半の分母 k+1 が、次の項の前半の分母になることです。図1のように、同じ分母の正負が隣り合う位置に現れます。矢印は負の分数と、それを打ち消す次の正の分数の対応を表します。

図1では 1/2 と 1/3 に対応する部分が消え、1 と -1/4 が残ります。和の範囲が長くなっても同じ対応は続きますが、最後の負の項の分母は最後に代入した k の次の数です。終点の値を見ずに、途中で見えた分母をそのまま答えにすることは避けます。

等差と等比の積では、たとえば k に 2 の k 乗を掛けた各項の和を S と置き、2S を作ります。2S の各項の累乗は、S の各項より1つ大きくなります。行を1項ずらして同じ累乗の下に並べると、各列の係数を引けます。並べる際は、同じ列の累乗が一致しているかを目で確認します。

分数を分ける方法と、和をずらす方法は操作が違いますが、どちらも「対応する項」を作る点が共通です。途中を短く書く前に、初めの数項と最後の項を一度並べてみます。点線の省略記号の前後には、その規則と終点が読める項を置きます。

基本例題：分けた後に残る両端

次の和を求め、答えを既約分数で表してください。n は正の整数です。

A = 1/(1・2) + 1/(2・3) + 1/(3・4) + … + 1/(n(n+1))

まず一般の項を通分して確かめた形に直します。k が 1 から n まで動くので、分解した各項も同じ順に並べます。

1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)

したがって、和は次の形です。

A = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + (1/n − 1/(n+1))

n が2以上のとき、図2のように、各かっこの負の項は次のかっこの正の項と等しく、符号が反対です。末尾の -1/(n+1) には次のかっこがなく、先頭の 1 にも対応する負の項がありません。この2つを残します。

よって、通分して整理すると次の答えになります。

A = 1 − 1/(n+1)

A = (n+1)/(n+1) − 1/(n+1)

A = n/(n+1)

n と n+1 の公約数は1なので、この分数は既約です。n=1 の場合は、元の和は 1/(1・2) = 1/2 です。得られた式も 1/(1+1) = 1/2 となり、1項の場合に一致します。n=3 では元の条件に戻して 1/2 + 1/6 + 1/12 = 3/4 となり、式からも 3/(3+1) = 3/4 です。

ここで、n=1 の展開には途中で消える項がありません。それでも先頭の 1 と最後の -1/2 を残す式は使えます。実際に項を1つ書いて確かめることで、途中の相殺がある場合の図を、項数が1の場合にも無理に当てはめずに済みます。

分子が1でない場合も、定数倍できるかを先に見ます。たとえば分子が3なら、各項は 3(1/k − 1/(k+1)) です。3は残る両端の両方に掛かります。途中の分数が消えることと、外側の係数が消えることは別です。

分母の間隔が1ではない場合も、同じ考えを使えます。ただし隣の項どうしがすぐに消えるとは限りません。たとえば 1/(k(k+2)) は、通分を確かめると (1/k − 1/(k+2))/2 です。k=1, 2, 3, 4 の4項を足すと、次のようになります。

(1/2){(1 − 1/3) + (1/2 − 1/4) + (1/3 − 1/5) + (1/4 − 1/6)}

ここでは 1/3 と 1/4 がそれぞれ2項後の正負で消えます。残るのは (1/2)(1 + 1/2 − 1/5 − 1/6) = 17/30 です。元の4項を共通の分母に直すと、1/3 + 1/8 + 1/15 + 1/24 = (40 + 15 + 8 + 5)/120 = 17/30 で一致します。ずれが2の場合、端に残る項も各側に2つあるので、ずれが1の場合の答えをそのまま当てはめないようにします。

計算途中で項を省略する場合も、何項目の分数と何項目の分数を対応させるかを見失わないことが大切です。まず分解の等式を確かめ、次に和の範囲を代入し、最後に消えなかった項を拾う順に進めます。和が始まる番号が1以外なら、先頭に残る分数もその番号に合わせて変わります。

一段進む例題：累乗をそろえて引く

n を正の整数とします。次の有限和を n を用いて求め、答えを整数係数の式で表してください。

S = 1・2 + 2・2² + 3・2³ + … + n・2ⁿ

係数 1, 2, 3, …, n は等差で、累乗 2, 2², 2³, …, 2ⁿ は等比です。各項全体は等比数列ではありません。隣の項の比には係数も関係するため、S 全体をそのまま等比数列の和の公式に入れることはできません。

そこで両辺に公比 2 を掛けます。最後の項まで掛けることが、端の項の取りこぼしを防ぐ鍵です。

2S = 1・2² + 2・2³ + 3・2⁴ + … + n・2ⁿ⁺¹

同じ累乗を上下にそろえて 2S − S を考えます。2 の項は S にしかないので -2 です。2² の列は 1・2² − 2・2² = -2²、2³ の列も 2・2³ − 3・2³ = -2³ です。同様に 2ⁿ の列まで係数の差は -1 になります。最後の n・2ⁿ⁺¹ は 2S にしかなく、正のまま残ります。

2S − S = n・2ⁿ⁺¹ − (2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ)

左辺は S です。かっこ内を T と置くと、T = 2 + 2² + … + 2ⁿ で、2T = 2² + 2³ + … + 2ⁿ⁺¹ です。差を取れば 2T − T = 2ⁿ⁺¹ − 2 なので、T = 2ⁿ⁺¹ − 2 となります。

これを戻し、符号に注意して整理します。

S = n・2ⁿ⁺¹ − (2ⁿ⁺¹ − 2)

S = (n-1)・2ⁿ⁺¹ + 2

n=1 なら、元の和は 1・2 = 2 で、答えも (1-1)・2² + 2 = 2 です。n=3 なら、元の和は 2 + 8 + 24 = 34 で、式も (3-1)・2⁴ + 2 = 34 です。最後の項まで含めて元の和に戻した確認になります。

方法の分かれ目は、掛ける数が1かどうかです。公比が1なら、掛けても行がずれず、引き算では情報が残りません。その場合は等比の部分が一定なので、等差の部分をそのまま足します。公比が1以外なら、掛けた和と元の和の差を利用できます。負の公比でも同じ操作はできますが、符号を付けた各項を縦に並べてから引きます。

消えたと思い込んだ列を調べる

上の例題で、2S の最後を見落として次のように書いたとします。

誤答：S = -(2 + 2² + … + 2ⁿ) = 2 − 2ⁿ⁺¹

原因は、2S の最後にある n・2ⁿ⁺¹ を、S の行にも対応する項があるかのように扱ったことです。n が2以上の場合、図3のように、2ⁿ の列には両方の行の項がありますが、2ⁿ⁺¹ の列には 2S の項しかありません。引き算をすると、相手のない項は0になるのではなく、符号を保って残ります。

修正するときは、まず 2S の最後まで書き直し、S の最後が 2ⁿ の列で終わることを確認します。次に、2S − S の向きを決め、2ⁿ⁺¹ の列に n・2ⁿ⁺¹ を残します。n=1 を誤答に代入すると -2 ですが、元の和は正の2なので、この時点でも誤りに気づけます。

もう一つの間違いは、部分分数の和で最後の負の項まで消すことです。1/(n(n+1)) を 1/n − 1/(n+1) と分けた後、-1/(n+1) を消すには次の +1/(n+1) が必要です。問題の和は k=n で終わるため、その次の項はありません。消す相手を指でたどり、存在しない項を足していないか調べます。

手を動かす4問

いずれも自作の有限和です。n は正の整数とし、途中の対応と残る端を記してください。分数の答えは既約分数、n を含む答えは指定した形で表します。

1. 1/(2・3) + 1/(3・4) + 1/(4・5) を求め、既約分数で表してください。
2. B = 2/(1・2) + 2/(2・3) + … + 2/(n(n+1)) を求め、n を用いた既約分数で表してください。
3. 1・3 + 2・3² + 3・3³ を求め、整数で表してください。
4. C = 1・(-2) + 2・(-2)² + … + n・(-2)ⁿ を求め、n と (-2) の累乗を用いた分数式で表してください。

解答と道筋

1. 各項を 1/k − 1/(k+1) に分けると、(1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + (1/4 − 1/5) です。中央の2組が消えて 1/2 − 1/5 = 3/10 です。元の分数で確かめると、1/6 + 1/12 + 1/20 = 10/60 + 5/60 + 3/60 = 18/60 = 3/10 です。

2. 各項を 2(1/k − 1/(k+1)) に分けます。内側の和の両端は 1 と -1/(n+1) なので、B = 2n/(n+1) です。このままでは n が奇数のとき分子と分母に2の公約数があります。n が偶数なら n+1 は奇数なので 2n/(n+1)、n が奇数なら n/((n+1)/2) が既約です。n=2 では元の和が 1 + 1/3 = 4/3 で、偶数の場合の式も 4/3 です。n=3 では 1 + 1/3 + 1/6 = 3/2 で、奇数の場合の式も 3/2 です。

3. まず元の3項を計算すると 3 + 18 + 81 = 102 です。ずらす方法でも、D = 1・3 + 2・3² + 3・3³ と置けば、3D = 1・3² + 2・3³ + 3・3⁴ です。引いて 2D = 3・3⁴ − (3 + 3² + 3³) = 243 − 39 = 204、よって D = 102 です。2つの計算で、問題の3項の合計に戻りました。

4. 公比は -2 なので、C に -2 を掛けます。(-2)C = 1・(-2)² + 2・(-2)³ + … + n・(-2)ⁿ⁺¹ です。同じ累乗の列をそろえ、(-2)C − C を作ると、端の項と係数の差から次の式になります。

-3C = n・(-2)ⁿ⁺¹ − {(-2) + (-2)² + … + (-2)ⁿ}

かっこ内を E と置き、(-2)E − E を作ると、-3E = (-2)ⁿ⁺¹ − (-2) です。したがって E = {(-2) − (-2)ⁿ⁺¹}/3 です。これを戻して整理します。

C = {(-2) − (3n+1)・(-2)ⁿ⁺¹}/9

n=1 では元の和は -2 です。答えも {-2 − 4・4}/9 = -2 となります。n=2 では元の和が -2 + 8 = 6 で、答えは {-2 − 7・(-8)}/9 = 6 です。負の公比では各累乗の符号が交互に変わることも、代入時に確かめます。

残すものの確認

• 分母が k(k+1) なら、隣と消える差へ分けます。
• 部分分数では、始めの正の項と終わりの負の項を残します。
• 等差と等比の積は、公比を掛けて同じ累乗をそろえます。
• ずらした行の最初と最後に、相手のない項がないか見ます。
• できた式を最初の項数に戻して、元の和と比べます。

どこで止まったかを見分ける

分解の式を作れない場合は、右辺を通分して分子が元の式と一致するかを見ます。分解はできても答えが合わない場合は、消した2項を1組ずつ指し、最後の負の項に相手があるかを確認します。計算結果だけを見直すより、どの対応を使ったかが見えます。

積の和で止まる場合は、元の和と公比を掛けた和の最初の3列と最後の列を並べます。個別指導で確かめるなら、累乗がそろった列の係数、引く順序、相手のない端を本人の言葉で説明できるかを見ると、つまずいた場所を絞れます。最後に元の和へ具体的な項数を入れ、導いた式と同じ値になるかを確かめます。