高校数学B シグマの計算—添字の範囲と項数をそろえて和を求める｜武蔵野個別指導塾

定数が現れる回数と添字の範囲をそろえ、平方和・立方和の公式で途中から始まる和も計算します。

よくあるのは、定期テスト前に和を分解した高校生が、定数の部分を1回だけ足して計算を進める場面です。各項に同じ数が入っているなら、その数も項の数だけ現れます。シグマの上下の数字は飾りではなく、何を何回足すかを決める範囲です。まず小さい場合を展開し、その後に公式を使う順番で整理しましょう。

和の問題で見たい範囲

出方の1つは、1からnまでの多項式の和です。例えば各項が平方の項と一次の項と定数からできていれば、3種類の和に分けて公式を使います。分けた後も、それぞれの添字の範囲は元と同じです。定数には添字が見えませんが、各項に1回ずつ現れるため、最後に項数を掛けます。

もう1つは、1以外から始まる和です。公式が1からの和を表すとき、途中から最後までの和は、1から最後までの和から、開始直前までの和を引いて求められます。開始の項まで引くと、その項を失います。最初と最後が両方含まれるかを、引き算の前に書き出すことが分かれ目です。

さらに、和の値から項数に関する条件を考えることもあります。まず和をnの式に直し、nが自然数という条件を残して計算します。ここでは定数、自然数、平方、立方の有限和を扱います。別の方法が必要な和に広げず、項と範囲をそろえる基本に集中します。

記号を足し算に戻す

Σは、添字を決められた範囲で動かし、右側の式を足す記号です。例えば「Σ(k=2から5) (k+3)」では、kに2、3、4、5を順に入れます。したがって和は5+6+7+8です。最初と最後を含むので、項数は5-2+1で4です。末尾から先頭を引くだけだと、間隔の数を数えているため1つ足りません。

図1のように、添字の各値と、そこから作る項を縦に対応させます。添字が4個なら、各項に含まれる3も4個です。項の値と添字の値は別物です。kが2から始まるからといって、最初の項そのものが2になるとは限りません。

図1では、4個の項を縦に分けると、kの列と3の列になります。足し算の順序を変えて各列を合計すれば、Σ(k=2から5) k と 3×4 の和です。この分け方は、同じ添字の範囲にわたる和に対して成り立ちます。係数も各項に共通なら、和の外へ出せます。引き算の場合も、引く項をそれぞれ足すことに注意すれば同じです。

nを自然数とすると、次の公式を使えます。ここでΣ(k=1からn)は、kを1からnまで1ずつ動かすという意味です。

• Σ(k=1からn) 1 = n
• Σ(k=1からn) k = n(n+1)/2
• Σ(k=1からn) k² = n(n+1)(2n+1)/6
• Σ(k=1からn) k³ = {n(n+1)/2}²

最初の式は、1がn個あることを表します。定数cの和はcがn個なのでcnです。平方和と立方和の公式のnには、項に代入するkではなく、1から数えた最後の添字を入れます。式を覚えた後も、n=1でそれぞれ1になるかを見ると、書き間違いを見つける手掛かりになります。ただし1つの場合の確認は公式の証明の代わりにはなりません。

基本例題：各列に分ける

問題：kを1から5まで動かすとき、Σ(k=1から5) (2k²-3k+4) を求めてください。答えは整数で表してください。

まず、各項の2k²、-3k、4を同じ範囲で分けます。図2のように、5個の各項に4が入っている点を見落とさないでください。

図2の列を読むと、元の和は次のようになります。

Σ(k=1から5) (2k²-3k+4) = 2Σ(k=1から5) k² − 3Σ(k=1から5) k + 4Σ(k=1から5) 1

係数2と-3をそれぞれ和の外へ出し、定数4を4×1として書きました。範囲は3つとも1から5までです。公式にn=5を入れると、平方の和と自然数の和は次の通りです。

Σ(k=1から5) k² = 5×6×11/6 = 55

Σ(k=1から5) k = 5×6/2 = 15

また、Σ(k=1から5) 1 = 5です。よって元の和に戻すと、

2×55 − 3×15 + 4×5 = 110 − 45 + 20 = 85

となります。答えは85です。定数の列を4とするのではなく20とするところが、この問題の要点です。分けた後のマイナスは、自然数の和全体に掛かるので、-3×15を一まとまりとして計算します。

元の条件に戻して、k=1、2、3、4、5を代入すると、各項は順に3、6、13、24、39です。これらを実際に足すと3+6+13+24+39=85となり、公式による結果と一致します。例えば85から最初の4項の和46を引くと最後の項39に戻るので、項の取りこぼしも点検できます。展開による確認は項数が少ないときに特に使いやすい方法です。

始まりが途中にある立方和

問題：kを3から6まで動かすとき、Σ(k=3から6) (k³-2k+1) を求めてください。答えは整数で表してください。

ここでは公式をそのまま使う前に、範囲を1から始まる2つの範囲に直します。3から6までは、1から6までに含まれます。そこから1と2の項を引けば、3、4、5、6の項が残ります。引く範囲を1から3にすると、必要なk=3の項も消えるため注意します。

まず、1からmまでの同じ式の和をT(m)と置きます。mは自然数です。線形性と公式により、

T(m) = Σ(k=1からm) k³ − 2Σ(k=1からm) k + Σ(k=1からm) 1

= {m(m+1)/2}² − 2×m(m+1)/2 + m

です。求める和はT(6)-T(2)なので、それぞれ計算します。

T(6) = (6×7/2)² − 2×(6×7/2) + 6

= 21² − 42 + 6 = 405

T(2) = (2×3/2)² − 2×(2×3/2) + 2

= 3² − 6 + 2 = 5

したがって、求める和は405-5=400です。答えは400です。最後に足す定数も、T(6)では6個、T(2)では2個として引かれます。差を取った後には4個分が残り、実際の添字3、4、5、6の個数と合います。

別の道として、各種類の和を先に3から6の範囲に直しても同じです。立方の列は21²-3²=432、一次の列は21-3=18、定数の列は4です。よって432-2×18+4=400です。どちらの方法でも、引く範囲を全ての列でそろえます。

元の式に3、4、5、6を代入すると、各項は22、57、116、205です。これらの和は400で、指定された範囲に戻して確かめられます。1から始まる場合は引き算が不要ですが、途中からの場合は開始直前まで引くという判断が必要です。公式の形だけを見て終点に6、開始点に3を代入して差を取ると、k=3を落とすため、境界を書いてから計算しましょう。

定数を1回しか足さなかったら

例えば基本例題で、2×55-3×15+4=69とした答案を考えます。この誤答では平方と一次の列には5個分の和を使いながら、定数の列には1個分の4しか使っていません。図3のように、元の各項には4が付いています。4を1回だけ足した式では、残り4個の4が抜けます。

図3の右側のように4×5へ直せば、不足した16が戻り、69+16=85です。誤りに気づくには、分けたそれぞれの和の上と下を見て、何項あるかを横に書きます。定数の和を見たら、各項に同じ定数があるところまで展開してから数えてください。

別の失敗は、添字が途中からのときも終点の数をそのまま項数にすることです。例えば3から6までなら、6個ではなく6-3+1=4個です。開始点が1の場合に限って、終点と項数が一致します。項数を出す式に迷ったら、3、4、5、6と並べ、両端を含めて数えます。公式に入れる数字と実際の項数が異なる場面を区別することが、修正への近道です。

また、範囲を引く際に、引く側の式全体にマイナスを付け忘れることがあります。T(6)-T(2)は、T(2)の各列をまとめて除く操作です。途中式で括弧を残すか、T(2)を先に1つの数にしてから引くと、符号を追いやすくなります。答えの大小だけで正誤を決めず、残る項が指定範囲と一致するかを見てください。

手を動かす4問

次の和を求めてください。いずれも答えは整数で表します。問題をまとめて解いてから、下の解答と照合してください。

1. Σ(k=1から4) (3k+2)
2. Σ(k=2から5) (k²+3)
3. Σ(k=1から4) (k³-k)
4. Σ(k=4から7) (2k²-k+1)

解答と確かめ

1. 和を3Σ(k=1から4) k + 2×4に分けます。自然数の和は4×5/2=10なので、3×10+8=38です。元の項は5、8、11、14で、その和も38です。定数2が4回現れたことを項に戻して確認できます。

2. 平方の和は、1から5までの55から1²を引いて54です。定数3は5-2+1=4個なので12です。したがって54+12=66です。元の項は7、12、19、28で、合計66に戻ります。1から5の平方和をそのまま使うと、範囲外の1²が残ります。

3. 立方の和は(4×5/2)²=100、自然数の和は10です。その差は90です。元の項は0、6、24、60で、足すと90です。各項の差を足すことと、2つの列の和を引くことが一致します。

4. 1から7までの平方和は7×8×15/6=140、1から3までは3×4×7/6=14です。よって指定範囲の平方和は126です。自然数の和は7×8/2-3×4/2=28-6=22です。項数は7-4+1=4なので、2×126-22+4=234です。元の項は29、46、67、92で、合計も234です。開始直前の3までを引いたため、k=4の項が残っています。

手元に残す要点

• 添字の両端を含め、項数を数えます。
• 和を分けても添字の範囲は変えません。
• 定数の和は定数に項数を掛けます。
• 途中からの和は開始直前までを引きます。
• 小さい範囲では元の項に戻して確かめます。

どの行で止まったかを見る

計算が合わないときは、まず元の各項を書けるかを確かめます。そこで止まるなら、添字の値と代入後の項を別々の列に書き、開始と終了を指で追います。展開はできるのに公式の行でずれるなら、定数の個数と、各和の範囲を照合します。途中からの和で迷う場合は、残したい添字と引く添字を並べて境界を見ると、式のどこを直すべきか見えてきます。

個別指導で確かめる際も、答えだけでなく、分ける前の式、公式への代入、元の項による検算を順に見ます。どの段階で範囲や符号が変わったかを言葉にできれば、別の数に替えても自分で点検できます。添字と項数の対応が、シグマの式を読む手掛かりです。

公式を使う前の確認として、Σの右にある括弧の終わりも見てください。例えばΣ(k=1から4) (k+2)では、kと2の両方が4回ずつ現れます。一方、Σ(k=1から4) k + 2と括弧の外に書かれていれば、最後の2は和を求めた後に1回足します。前者は(1+2)+(2+2)+(3+2)+(4+2)=18、後者は1+2+3+4+2=12です。同じ数字でも記号が受け持つ範囲で結果が変わります。実際の答案では、括弧を省く前に、どこまでを各項として足すかを確認します。

添字の文字は、同じ範囲で同じ式を表している限り、別の文字に替えても和の値は変わりません。例えばΣ(k=1から3) k²とΣ(j=1から3) j²は、どちらも1²+2²+3²を表します。ただし、文字を替えるときは範囲と項の両方をそろえます。片方だけを替えると、何を動かす式か読み取れません。公式の文字と問題の文字が異なっていても、開始、終了、各項の対応を確認してから代入すれば使えます。

計算途中で分数が現れるときは、積全体を分母で割ることにも注意します。平方和の公式なら、n、n+1、2n+1の積を6で割ります。約分する場合は分子の因数と分母の間で行い、足し算の途中の一部を勝手に割らないようにします。最後の整数が予想できても、途中では正確な分数を保ちます。値が合わなかった場合は、公式の写し間違い、範囲の引き間違い、係数の掛け忘れを別々に調べると、修正する場所を特定しやすくなります。