高校数学A n進法—位の重みと割り算の余りから整数の表記を変換する｜武蔵野個別指導塾

各桁に使える数字を基数から判断し、位の重みで十進法へ戻す計算と、割り算の余りを逆順に読む変換を練習します。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が、5進法で使える数字に5も含めてしまう場面です。見慣れた十進法では0から9までを使い、10になると位が上がります。同じ仕組みを別のまとまりに替えると、数字の見た目と表す量を区別する必要があります。数字が並んだ形を見たら、まず基数を確認し、その基数に応じた位の重みを考えましょう。ここでは0以上の整数を扱い、小数や対数には広げません。

問われる形を見分ける

1つ目は、n進法の表記を十進法の整数に直す形です。各桁の数字に位の重みを掛け、その和を求めます。右端から重みを決めるので、桁数が増えても考え方は変わりません。途中の位に0があっても、その位を飛ばして左側の重みをずらさないことが必要です。

2つ目は、十進法の整数を指定された基数で表す形です。整数を基数で繰り返し割り、出た余りを最後から読みます。割り算を続ける方向と数字を読む方向は逆です。途中の余りが0なら、それも桁として残します。

3つ目は、数字や基数に条件が付いた形です。表記として成立するために各数字が基数より小さいことを先に確かめます。そのうえで同じ量を表す式を作り、候補を元の条件に戻します。計算式を満たしても、使えない数字が含まれる候補は表記として認められません。

位の重みと使える数字

基数nは2以上の整数とします。ここでは各桁に通常の数字0から9を使える範囲として、nを10以下に限ります。n進法で各位に置ける数字は0以上n未満の整数です。たとえば5進法なら0、1、2、3、4の5種類であり、5は使えません。1つの位に5個たまると、その左の位の1個にまとめるからです。

右端の位の重みは1、その左はn、さらに左はnをもう一度掛けたn²です。左へ1桁移るたびに重みがn倍になります。例えば4進法の「203」は、左からそれぞれ16、4、1の重みを持ちます。図1のように、真ん中の0も4の位を占めるので、十進法では2×16 + 0×4 + 3×1 = 35です。表記を区別するため、以下では (203)₄ のように右下へ基数を付けます。

図1の各枠は数字の大きさそのものではなく、その数字が何個分の重みを表すかを示します。(203)₄ は十進法の203ではありません。右下の4は4の位の数字でもなく、表記全体の基数です。先頭に不要な0を並べなくても値は変わりませんが、通常は0自体を表す場合を除いて先頭を0にしません。

逆に十進法の数をnで割ると、余りは0以上n未満です。右端以外の項はどれもnの倍数なので、この余りが1の位になります。商には残りの位が1桁ずつ右へずれた量が入っています。商をさらにnで割れば、次の余りが元のnの位です。この関係が、余りを下から読む理由です。

変換を始める前の小さな確認

表記を読むときは、基数を囲み、右端から位の重みを書いてから計算すると、見慣れない桁数でも整理できます。基数が変わると、同じ数字の並びでも量が変わります。例えば (12)₃ は1×3 + 2 = 5ですが、(12)₄ は1×4 + 2 = 6です。右端の2はどちらも2個の1を表し、左の1が表す量が変わります。逆に同じ量を異なる基数で表すと、数字の並びが変わることもあります。

0の扱いも確認しましょう。途中の位の0は、その位にまとまりがないことを示す場所取りの数字です。0を消して左側の桁を右へ寄せると、左側の重みまで変わります。一方、先頭に0を付けても、その0が加える量は0です。先頭の0が省けることと、途中の0が省けないことを分けて考えます。

十進法への変換では、各項が何を表すかまで書くと、掛け算の対象を間違えにくくなります。数字と基数をただ掛け合わせるのではなく、位ごとに基数を繰り返し掛けて作った重みを使います。右端の重みは基数ではなく1です。計算が終わったら、桁ごとの量の和が答えになっているか見直します。

基本例題：十進法から2進法へ

十進法の整数45を2進法で表し、基数を右下に付けて答えなさい。

45を2で割り、商が0になるまで商を次の割られる数にします。各行で「割られる数 = 2×商 + 余り」という関係を保ちます。

45 = 2×22 + 1

22 = 2×11 + 0

11 = 2×5 + 1

5 = 2×2 + 1

2 = 2×1 + 0

1 = 2×0 + 1

最初の余り1が1の位です。次の余り0が2の位、次の1が4の位に当たります。商が0になった最後の余りは最も左の桁です。図2のように、余りを下から上に読むと101101となるので、答えは (101101)₂ です。

図2で途中の0を省くと桁がずれて別の数になります。答えを元の量へ戻すと、左から重みは32、16、8、4、2、1です。したがって1×32 + 0×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 45となり、最初の整数に戻ります。2進法の各桁は0または1なので、数字の範囲も満たしています。

途中で商が1になっても、そこで最後の1を書き落とさないようにします。1を2で割ると商0、余り1です。一方、最初の数が0の場合は割り算を何行も続ける必要はなく、表記は (0)₂ です。商が0になる前に計算を止めると、まだ左側にある桁が残っています。

条件を使って基数を決める

(132)ₙ が十進法の47を表すとき、基数nを整数で求めなさい。ただし2以上10以下とします。

数字3が現れるので、表記が成立するにはnは3より大きい整数です。数字1と2もこの条件のもとで使えます。位の重みを使うと、n² + 3n + 2 = 47です。左辺をまとめると

n² + 3n − 45 = 0

となります。ここでこの式の整数解を、条件の範囲から調べます。nが4のとき左辺は16 + 12 − 45 = -17、5のときは25 + 15 − 45 = -5、6のときは36 + 18 − 45 = 9です。正の整数nを1増やすと、n²も3nも増えるため、左辺は必ず増えます。5と6の間に整数はなく、4以下や6以上でも0にはならないので、条件を満たす基数はありません。

式を作っただけで解があると決めず、表記の条件と整数という条件に戻すことが必要です。たとえばn = 3を試すと式の値以前に数字3が使用範囲から外れます。また、連続する整数の間で式の値の符号が変わっても、その間に整数解があるとは限りません。基数を求める問題では、存在しない場合も答えとして残します。

もし十進法の値が56に変わるなら、同じ表記からn² + 3n + 2 = 56となります。n = 6を代入すると36 + 18 + 2 = 56です。4以上で左辺は増え続けるので、他の候補はありません。6進法で1、3、2はいずれも6未満であり、条件を満たします。このように値の変更によって、解が存在するかどうかが変わります。

基数の条件を先に置く理由は、方程式の候補を減らすためだけではありません。表記に使う数字は、数の読み方そのものの条件だからです。数字3を使う表記にn = 3を許すと、1つの位に3個を置いて左へ繰り上げるという約束と矛盾します。式に代入する作業と、表記が成立するかの判断は別々に行います。

また、基数を大きくすると、正の係数を持つ各位の重みは大きくなります。上の表記では最高位が1なので、基数が増えれば値は必ず増えます。そのため、隣り合う候補の値が47を挟んだところで、それより外側の候補もまとめて除外できます。範囲が限られているときは候補を順に代入してもよいですが、増え方を説明すると、調べ残しがない理由が明確です。

誤答を数字の範囲から直す

「(25)₅ を十進法に直すと2×5 + 5 = 15」とする誤答を考えます。掛け算と足し算の形だけを見ると計算は合っています。しかし5進法の1桁には0から4までしか置けず、図3のように5という数字が条件から外れます。したがって (25)₅ は有効な5進法の表記ではありません。

図3の左側の数字を使ってから、位の計算を行います。十進法の15を正しく5進法で書くなら、15 = 5×3 + 0なので (30)₅ です。逆に3×5 + 0 = 15と戻せます。使えない数字を見つけたときは、そのまま変換を続けず、問題の表記や基数を書き写し間違えていないか確かめます。

もう1つの失敗は、割り算の余りを上から並べることです。最初の余りは一番右の位に対応するため、上から並べると位の重みが逆になります。ただし偶然同じ並びになる数もあるので、見た目だけでは判定できません。得た表記を位の重みで十進法に戻し、与えられた数と一致するか調べます。戻して一致しても、各桁の数字が基数未満かという表記の条件は別に確かめます。

練習問題

いずれも0以上の整数を扱います。問1は十進法の整数、問2と問4は基数を右下に付けた表記で答えてください。問3は基数nの整数値を答え、該当する値がなければその旨を述べてください。

1. (312)₄ を十進法の整数に直しなさい。
2. 十進法の整数70を3進法で表しなさい。
3. (41)ₙ が十進法の21を表すとき、基数nを2以上10以下の整数から求めなさい。条件を満たすものがなければ、その旨を答えなさい。
4. 十進法の整数36を5進法で表しなさい。

練習の答えと確かめ方

1. 答えは54です。右から重みは1、4、16ですから、3×16 + 1×4 + 2×1 = 48 + 4 + 2 = 54となります。数字3、1、2はいずれも4未満です。逆に54 = 4×13 + 2、13 = 4×3 + 1、3 = 4×0 + 3となり、余りを下から読むと元の (312)₄ に戻ります。

2. 答えは (2121)₃ です。70 = 3×23 + 1、23 = 3×7 + 2、7 = 3×2 + 1、2 = 3×0 + 2と割ります。余りを下から読み、2、1、2、1を並べます。戻すと2×27 + 1×9 + 2×3 + 1 = 70です。各桁は3未満なので、表記も成立します。

3. 答えはn = 5です。数字4を使うのでn > 4です。位の重みから4n + 1 = 21となり、4n = 20、n = 5を得ます。5は指定された整数の範囲にあり、4と1はともに5未満です。元の表記の値は4×5 + 1 = 21です。一次式から得られる候補は5以外にないため、他の基数はありません。

4. 答えは (121)₅ です。36 = 5×7 + 1、7 = 5×1 + 2、1 = 5×0 + 1と割り、余りを下から読みます。1×25 + 2×5 + 1 = 36と戻せます。1と2は5未満で、使える数字の条件も満たします。

答えの数字を基数で割るのではなく、変換前の整数またはその商を割ります。各余りは指定された基数より小さいことも、各行の点検に使えます。

要点を短く

n進法で使う数字は0以上n未満です。
右端から位の重みを1、n、n²と並べます。
十進法から直すときはnで割り、余りを下から読みます。
変換後は数字の範囲と元の値の両方を確かめます。

練習では、先に表記の条件を満たすか調べることと、最後に変換を逆向きにたどることを別々の確認として行います。割り算で商と余りが元の数に戻らない行があれば、読み順を直す前にその行から計算し直します。逆に各行が正しくても、余りを読む向きが逆なら答えは変わります。

基数の問題で候補が見つからなかった場合も、計算の途中で放置せず、なぜ他の整数を除けるかを書きます。使用可能な数字、基数の範囲、式の増減を順に照合すれば、解なしという結論にも根拠が付きます。問題文が基数を制限しているときは、式の解がその範囲内かまで確認します。

手が止まった場所を見つける

数字の範囲を誤る場合は、基数と最大の数字の関係を、5個たまったら左の位に繰り上がる図で説明できるか確かめます。変換後の値が違う場合は、0の位を残したか、割り算の余りをどちらから読んだかを順に見ます。答えだけが合っている場合も、最初の余りが右端になる理由を言葉にすると、別の数でも使える考え方が残ります。

個別指導で確認するなら、途中の割り算の1行を指し、商と余りが元の数をどう作るかを本人に説明してもらいます。基数を求める問題では、式を解く前に数字の範囲を示せるか、解いた後に元の表記へ戻せるかも確かめます。位の重みと余りの対応がつながれば、表記の向きを変えても同じ整数を追えます。