【小6算数】対称な図形を図解で総まとめ—線対称 点対称・対応する点・対称の軸と中心｜武蔵野個別指導塾

折って重ねる線対称と半回転で重ねる点対称を、対応する点の図と作図の例題で確かめます。正多角形の対称の軸や家庭での声かけまで、理由をたどって学べます。

よくあるのは、理科室の実験台の脇で、観察用に切った紙の形を見ながら、「左右が同じだから対称」と答えたあと、紙を斜めに置かれると、どこで折ればよいか迷ってしまう場面です。さらに、斜めの平行四辺形を見て、「同じ長さの辺があるのに、折っても重ならない」と手が止まることもあります。形がそろって見えることと、決まった動かし方でぴったり重なることは、同じではありません。

対称な図形では、見た印象に加えて、「どの直線で折るか」「どの点の周りに何度回すか」を確かめます。線対称と点対称を分けて考えると、対応する点や辺が見つかり、図の半分から残りをかくこともできます。保護者の方が教えるときも、最初から用語を答えさせる必要はありません。「この点は、動かしたあと、どこに来るかな」と1点を追うところから始めましょう。点の動きを根拠に説明できれば、向きの違う図にも取り組みやすくなります。

この単元で身につけること

• 線対称を、1本の直線を折り目にして折ったときに、両側がぴったり重なる性質として説明します。折り目になる直線が対称の軸です。
• 点対称を、1つの点の周りに180°回したときに、もとの図形とぴったり重なる性質として説明します。その回転の中心が対称の中心です。
• 対応する点・辺・角を見つけます。点の組を先に決め、その点を端にもつ辺や、その点を頂点とする角へと調べる範囲を広げます。
• 線対称では軸に垂直な方向の等しい距離、点対称では中心をはさむ一直線上の等しい距離を使って作図します。点を置く理由を言いながらかけるようにします。
• 三角形や四角形、正多角形を調べ、線対称と点対称の両方がある形、片方だけがある形を区別します。軸の本数を数えるときには、同じ直線を重ねて数えないようにします。

これまでに学んだ合同な図形の対応や、垂直・平行、辺の長さ、角の大きさが、ここでつながります。対称を調べる活動では、1つの図形を動かしたときの重なり方に注目します。長さを測るだけでなく、点の位置関係を説明することが学習の柱です。

基本の考え方

線対称は、折り目から同じ距離にある形です

1本の直線を折り目にして折ったとき、両側の部分がぴったり重なる図形を、線対称な図形といいます。その直線が対称の軸です。左右に開いた紙の形だけでなく、上下に折って重なる形も、斜めの直線で折って重なる形も線対称です。図を紙の上で回しても、図形そのものの性質は変わりません。

ここでいう「ぴったり」は、一部の辺や頂点だけが重なるという意味ではありません。輪郭も内部も、全体が重なるという意味です。左右の広さが同じくらいに見えても、片側だけに小さな出っ張りがあれば、その直線は対称の軸にはなりません。面積を等しく分ける直線が、必ず対称の軸になるわけでもありません。

図1のように、五角形ABCDEを縦の直線で折ると、点Bは点Eに、点Cは点Dに重なります。このように、折って重なる点を対応する点といいます。点Aは軸の上にあるため、折っても位置が変わりません。軸上の点は、自分自身に対応すると考えられます。

図1で、対応する点BとEを結んだ線分は、対称の軸と垂直に交わります。交わる点をHとすると、BHとEHの長さは等しくなります。「軸をはさんで反対側にある」だけでは不十分で、垂直な方向に同じ距離だけ離れていることが必要です。図の点CとDについても、同じことが成り立ちます。

対応する辺は、両端の点から決められます。BがEに、CがDに対応するので、辺BCに対応するのは辺EDです。また、辺ABには辺AEが対応します。対応する辺の長さは等しく、対応する角の大きさも等しくなります。点Bの角を見るなら、その両側の辺BAとBCが、それぞれEAとEDに重なることまで確かめると、角の対応も納得しやすくなります。

点対称は、中心を動かさずに半回転させる形です

1つの点の周りに180°回したとき、もとの図形とぴったり重なる図形を、点対称な図形といいます。180°は1回転の半分です。紙の形を裏返すのではなく、表を上にしたまま半回転させると考えます。時計回りでも反時計回りでも、180°回したあとの位置は同じです。

点対称では、対応する2点を結ぶ線分が、必ず対称の中心を通ります。さらに、中心からそれぞれの点までの長さが等しくなります。中心をOとして、点Aと点Cが対応するなら、A、O、Cは一直線上に並び、AOとCOが等しくなります。この2つの条件がそろうことが大事です。

「中心から同じ距離」という条件だけでは、対応する点を決められません。中心から同じ距離にある点は、周りにいくつもあるからです。もとの点と中心を結ぶ直線を、中心の向こうまで延ばして、反対側の位置を選びます。点対称の作図では、この一直線という条件が、点を置く方向を決めています。

中心そのものは、回しても動きません。ただし、多角形の頂点が中心にあるとは限りません。長方形や平行四辺形では、2本の対角線が交わる点が対称の中心です。中心に頂点の印がなくても、対応する頂点どうしを結ぶと見つけられます。

多角形は、折る場合と回す場合を別々に調べます

正三角形には対称の軸が3本あります。どの頂点からも、向かい側の辺の真ん中へ軸を引けますが、180°回しても重ならないので点対称ではありません。正方形には、向かい合う辺の真ん中を結ぶ2本と、2本の対角線の、合計4本の対称の軸があります。正方形は180°回しても重なるため、点対称でもあります。

正方形ではない長方形の軸は2本です。対角線で折ると、長い辺と短い辺が重ならないので、対角線は軸になりません。正方形ではないひし形では、2本の対角線が軸になり、やはり点対称でもあります。長方形でもひし形でもない平行四辺形は、線対称ではありませんが、点対称です。

正多角形は、辺の数と同じ本数の対称の軸をもちます。辺の数が偶数の正多角形は点対称で、辺の数が奇数の正多角形は点対称ではありません。正六角形では半回転すると各頂点が反対側の頂点へ移りますが、正五角形では、頂点が頂点に重なりません。この決まりは正多角形についてのものです。辺が6本あれば、どんな六角形でも点対称になるという意味ではありません。

例題で解き方を確かめる

例題1　線対称な図形の対応を調べます

図1の五角形ABCDEは、示された直線を対称の軸とする線対称な図形です。辺ABの長さが5 cm、辺BCの長さが3 cm、角Bの大きさが120°のとき、辺AE、辺ED、角Eを求めます。さらに、辺BCに対応する辺を答えます。

1. 折ったときに重なる点を確認します。AはAに、BはEに、CはDに重なるので、まず点の対応をこの順に書きます。近くにある点を選ぶのではなく、折り目をはさんだ位置で決めるためです。
2. 求める辺の両端を調べます。辺ABの両端A、Bに対応するのはA、Eなので、辺ABと辺AEの長さが等しくなります。したがって、辺AEは5 cmです。同様に、辺BCと辺EDが対応するので、辺EDは3 cmです。
3. 角の頂点と両側の辺を見ます。角Bは角Eに重なり、角の開きもそのまま重なるので、角Eは120°です。図に描かれた角度を目で測る必要はありません。

答え：辺AEは5 cm、辺EDは3 cm、角Eは120°、辺BCに対応する辺は辺EDです。

辺EDは辺DEと書いても同じ線分を表します。ただし、点の対応を説明するときは、BとE、CとDの順にそろえて「BCとED」と読むと、端の点を取り違えにくくなります。保護者の方は「この辺の両端は、それぞれどこへ行くかな」と声をかけてください。

例題2　線対称な点を作図します

縦に引いた直線を対称の軸とします。点Pは軸から左へ垂直に2 cm離れたところにあり、点QはPより1 cm上で、軸から左へ垂直に1 cm離れたところにあります。Pに対応する点Rと、Qに対応する点Sをかき、線分PRの長さを求めます。

1. 点Pから対称の軸へ垂直な直線を引きます。縦の軸に垂直なので、この直線は横向きです。Pから斜めに軸へ線を引くと、折ったときの重なる位置を決められません。
2. その直線上で、軸の右側へ2 cm測り、Rを打ちます。PとRが軸から同じ距離になるようにするためです。同じようにQからも軸へ垂直な直線を引き、軸の右側へ1 cm測ってSを打ちます。
3. PとQを結び、RとSを結びます。対応する点を先に決めれば、線分も重なる位置にかけます。PRは軸の左側の2 cmと右側の2 cmを合わせるので、2 + 2 = 4となります。

答え：RはPと同じ高さで軸の右2 cm、SはQと同じ高さで軸の右1 cmにあり、PRは4 cmです。

作図では、軸が横向きなら上下に、軸が斜めならその軸に垂直な方向に測ります。「右へ同じだけ」とだけ覚えると、斜めの軸で困ります。定規や三角定規で垂直を確かめてから長さを移す、という順序で練習しましょう。

例題3　点対称な図形の中心と長さを求めます

図2の平行四辺形ABCDは点対称です。対角線ACとBDの交点をOとします。AOが4 cm、BOが3 cm、辺ABが5 cmのとき、CO、DO、AC、辺CDの長さを求めます。また、辺ABに対応する辺を答えます。

1. 図2のOを動かさずに、図形を180°回すことを考えます。AはCへ、BはDへ移るので、対称の中心はOです。向かい合う頂点が、どちらの対角線でも同時に入れ替わることを確かめます。
2. 対応する点と中心までの距離を使います。AOとCOは等しいのでCOは4 cm、BOとDOは等しいのでDOは3 cmです。中心を通るだけでなく、中心がそれぞれの線分の真ん中になっているためです。
3. AC全体の長さを求めます。AからOまでとOからCまでを合わせるので、4 + 4 = 8です。AOだけの4 cmを、対角線全体の長さとしないようにします。
4. 辺の両端の対応を調べます。AがCに、BがDに移るので、辺ABは辺CDに対応します。対応する辺の長さは等しいため、辺CDは5 cmです。

答え：COは4 cm、DOは3 cm、ACは8 cm、辺CDは5 cmで、辺ABに対応する辺は辺CDです。

点対称な図を途中まで与えられたときも、同じ性質で続きをかけます。AとOを結ぶ直線をOの先まで延ばし、OからAOと同じ長さを測ればCが決まります。次にBからも同じ手順でDを決め、もとの図の辺に対応する順序で結びます。形を先に似せてかくのではなく、頂点を正しい位置に置くことが作図の土台です。

例題4　正六角形の対称を調べます

正六角形について、対称の軸の本数と、点対称かどうかを答えます。軸はどこを通るかも説明します。頂点から始まる線だけを探すと見落としがあるため、辺の真ん中も調べる問題です。

1. 向かい合う頂点を結ぶ直線を調べます。どの直線でも、折ると両側が重なります。頂点は6個ですが、向かい合う2個で1本の直線になるので、6 ÷ 2 = 3で3本です。
2. 向かい合う辺の真ん中を結ぶ直線を調べます。こちらも折ると重なります。6本の辺を2本ずつ組にするので、6 ÷ 2 = 3で3本です。頂点を通る軸とは別の直線なので、合わせて3 + 3 = 6本になります。
3. 図形の中心の周りに180°回します。6個の頂点は、1周360°を6つに等しく分けた方向にあるので、隣り合う頂点の方向の差は360 ÷ 6 = 60°です。180 ÷ 60 = 3より、半回転すると3つ先の頂点に重なり、辺も全体が重なります。

答え：対称の軸は6本で、向かい合う頂点を通る軸が3本、向かい合う辺の真ん中を通る軸が3本あり、点対称でもあります。

ここで求めた60°は、中心から隣り合う頂点へ引いた2本の線がつくる角です。正六角形の頂点の内側の角を求めたのではありません。角を計算するときには、どの点を頂点とする角なのかも、図に指を置いて確かめると混同を防げます。

つまずきやすいところと直し方

「同じ高さにある点なら対応する」と考えてしまいます

誤った書き方は、「斜めの軸でも、点Pと同じ高さの反対側に点Rをかく」です。どこが違うかというと、対応する点を結ぶ線分が、軸に垂直になっていないところです。縦の軸でうまくいった横向きの移動を、軸の向きが変わっても使ってしまっています。

正しい書き方は、「点Pから軸に垂直な直線を引き、軸との交点をはさんで同じ長さになる位置に点Rをかく」です。図3の左では、斜めの軸上のHをはさんで、PとRが同じ距離にあります。PRが軸と直角に交わることを、小さな直角の印でも確かめてください。

図3の右では、点対称な点AとCが中心Oをはさんで並んでいます。左は「軸に垂直」、右は「中心を通る」という違いがあります。線対称と点対称の作図が混ざったら、線を引く前に、与えられているものが直線なのか点なのかを指で示しましょう。

「90°回して重なるから点対称」と書いてしまいます

誤った書き方は、「正方形は90°回すと重なるので、それで点対称と確認できる」です。どこが違うかというと、点対称の意味で決まっている180°の確認が抜けているところです。正方形が点対称という結論は正しいのですが、最初は定義に合う動かし方で確かめる必要があります。

正しい書き方は、「正方形は中心の周りに180°回すともとの形に重なるので、点対称です」です。90°回して重なる図形は、もう90°回しても重なるので180°でも重なりますが、その説明まで必要になります。一方、正三角形は120°回せば重なっても180°では重なりません。「ある角度で重なる」と「半回転で重なる」を区別しましょう。

「辺が等しければ、対角線はすべて軸」と考えてしまいます

誤った書き方は、「長方形の対角線は2本とも対称の軸なので、軸は4本」です。どこが違うかというと、対角線が図形を合同な三角形に分けることと、その直線で折って重なることを一緒にしているところです。合同な2つの部分でも、その折り目で重なるとは限りません。

正しい書き方は、「正方形ではない長方形の対称の軸は、向かい合う辺の真ん中を結ぶ2本です」です。縦3 cm、横5 cmの紙を対角線で折ると、3 cmの辺と5 cmの辺は向きも長さも一致せず、重なりません。対角線を軸にできる正方形との違いを、具体的な長さで確かめると理由がはっきりします。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

まず、折る問題には軸の印、回す問題には中心の印をつけてから取り組みます。数だけを答える問題でも、どの点とどの点が対応するかを短く添えてみてください。紙にかく問題では、最後まで補助線を残すと、位置の決め方を振り返れます。

練習1

線対称な図形で、対応する点AとBを結ぶ線分と、対称の軸との交点をHとします。AHが2.5 cmのとき、BHとABの長さを求めます。また、線分ABと対称の軸はどのように交わりますか。

練習2

方眼紙の1目盛りを1 cmとします。点Oを対称の中心として、Oから右へ3目盛り、上へ2目盛りの位置に点Pを打ちます。Pに対応する点Qの位置を、Oから見た左右と上下の目盛りで答えます。線分PQはOを通りますか。

練習3

正五角形と正八角形について、それぞれ対称の軸の本数と、点対称かどうかを答えます。点対称かどうかは、頂点が180°の回転でどこへ移るかを使って説明します。

練習4

図2と同じ頂点の順の長方形ABCDで、対称の中心をOとします。ACが10 cm、BDが10 cm、辺BCが6 cm、角Aが90°のとき、AO、BO、辺DA、角Cを求めます。

答えと解説

練習1の答えは、BHが2.5 cm、ABが5 cmで、垂直に交わります。対応する2点は軸から等しい距離にあるので、BH = 2.5 cmです。ABは2.5 + 2.5 = 5で求めます。線分全体を半分にする交点がHなので、AHをそのままABの長さにしないようにします。

練習2の答えは、QがOから左へ3目盛り、下へ2目盛りの位置にあり、PQはOを通ります。半回転では、右が左へ、上が下へ入れ替わります。左右だけを入れ替えて、左へ3目盛り、上へ2目盛りとすると、縦の直線について線対称な点になります。P、O、Qを定規で結び、一直線になるかも確かめましょう。

練習3の答えは、正五角形の軸が5本で点対称ではなく、正八角形の軸が8本で点対称です。正五角形では頂点から向かい側の辺の真ん中へ軸が通ります。中心での隣り合う頂点の方向の差は360 ÷ 5 = 72°で、180°は72°の整数倍ではなく、半回転した頂点がもとの頂点に重なりません。正八角形では360 ÷ 8 = 45°、180 ÷ 45 = 4なので、4つ先の頂点に重なります。

練習4の答えは、AOが5 cm、BOが5 cm、辺DAが6 cm、角Cが90°です。Oは対応する頂点を結ぶ線分の真ん中なので、10 ÷ 2 = 5で、どちらも5 cmと求めます。BがDに、CがAに対応するため、辺BCと辺DAは等しくなります。角Aと角Cも対応しているので、角の大きさは変わりません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

対称の作図で身につけた「基準を決め、方向と長さで点の位置を決める」という考え方は、拡大図と縮図でも役立ちます。対称では対応する辺の長さが同じですが、拡大図や縮図では長さを決まった割合で変えます。どの点がどの点に対応するかを先に決める手順は共通です。図形の面積を求めるときも、対称な部分の等しさを利用して、半分の面積から全体を考えられます。

家庭での1つ目の確かめ方は、紙を折り、折り目にかかる簡単な形を切って開くことです。5分の中で、開く前にどこが重なるかを予想し、開いたあとに1組の対応する点へ印をつけます。はさみを使う場面では、保護者の方がそばで見守ります。左右をそろえる意識より、折り目から等しい距離になることに注目しましょう。

2つ目は、透明な紙に平行四辺形と中心を写し、下の図に重ねて半回転させる方法です。こちらも5分で、頂点に付けた印がどこへ移るかを1つずつ確かめられます。回転中に中心がずれると全体が合わなくなるので、中心の印を重ね続けることが要点です。

個別指導で確かめる際には、お子さまの誤りが、垂直な線の引き方、長さの測り方、対応する点の選び方のどこにあるかまで戻ります。完成図だけを直すのではなく、最初に置いた1点の根拠を説明してもらうと、練習すべき内容を絞れます。

まとめ

対称な図形の問題では、答えにたどり着いたあと、1組の点を選んで理由を説明してみてください。「似ているから」と言っていた形について、「この線分は軸に垂直で、左右の長さが等しいから」と言えれば、向きを変えた図にも使える根拠を手にしています。かき間違えた点も、どちらの条件が合っていないかを調べれば、自分で直す場所を見つけられます。

対称の根拠は、見た目の整い方ではなく、動かした1点が重なる位置にあります。