ノートの図で実線と破線を同じに描いたら—元の図の線の役を戻して復習する方法｜武蔵野個別指導塾

立体の写しで辺の線種が混ざったとき、元の図の対応する頂点から修正し、再確認する手順の要は実線と破線です。

よくあるのは、小5が夜に立体の見えない辺も実線で描き、前後がわからなくなった場面です。授業中には箱の形を写せたつもりでも、後からノートを見ると、奥の辺が手前の辺と同じ調子で並んでいます。どの線を消せばよいか迷うときは、記憶で破線を足す前に元の図へ戻りましょう。図を描いた向きはそのままにして、同じ辺を探し、元の線の役を写し直します。

箱の形は残っていても、線の役が落ちる

立体を紙に表す図では、線の形も情報です。ここで扱う箱の見取図では、見えている辺を実線、面の向こうに隠れた辺を破線で表します。破線は辺がないという意味ではありません。見えていないところにも辺が続いていることを、短く区切った線で示しています。

図1のように、同じ箱の形でも、隠れた辺まで続いた線にすると、元の図で区別していた情報が写しから失われます。右の図は形を写せていても、後ろの下の角へつながる3本が実線です。その角が見えているかのように読み違える余地があります。

図1では手前の四角と、その右上にずれた奥の四角を対応させています。奥の左下の頂点に集まる3本が隠れた辺です。右の写しではその3本も途切れずに描いてあり、元の図と線種が合いません。線の数を数えるだけでは、この違いを見落とします。

実線を破線にすることは、辺の位置を新たに決めることとは別です。両端の頂点と辺のつながりが元の図に合っているなら、位置を変えずに線種を直せます。反対に、両端が違う場合は、線種だけ変えても別の辺のままです。まず同じ辺を指せるかを確かめます。

教科書の図には、線種に別の意味を持たせたものもあります。問題文や図の説明が線の意味を示しているときは、その説明を先に読みます。見えない辺を表す決まりを、どの図にも機械的に当てはめず、手元の元の図に従うことが出発点です。

対応する両端から線を直す

用意するのは、元の図が載った教科書や授業の資料、自分のノート、書き直すための鉛筆と消しゴムです。元の図のページがわかるように開き、ノートをその隣に置きます。後で別の図と取り違えないよう、ノートの余白に元のページや図の位置を短く控えておきます。

図2のように、準備したら、頂点を合わせる、辺を照らす、線を直す、もう一度照らす、の順で進めます。途中で対応がわからなくなったら、その場で線種を推測せず、頂点を合わせるところへ戻ります。図が小さくて判別しにくいときも、はっきり読める資料を確かめてから先に進みます。

最初に元の図の手前の面を指し、その面の角をノートの図でも指します。次に奥へ伸びる辺を1本たどり、先にある角を対応させます。位置関係がつかみにくければ、元の図と写しの余白に同じ印を小さく付けてかまいません。元の資料に直接書き込めない場合は、別紙に印と位置を控えます。

続いて、元の図の1本の辺を両端から指でたどり、写しで同じ2つの頂点を結ぶ辺を探します。手前の下の辺なのか、奥の下の辺なのかを言葉にしてから、元の線が続いているか、区切られているかを見ます。隣り合う線をまとめて判断すると、角のところで別の辺に移りやすくなります。

たとえば元が破線で写しが実線なら、その辺の両端を残すように実線部分を消し、同じ位置に短い線を間隔をあけて描きます。消す前に隣の辺との境目を確かめ、必要なら薄い印で両端を控えます。間違って隣の辺まで消したら、元の図を見ながらその辺も戻します。破線の間隔は完全にそろえることより、実線と区別でき、同じ辺をたどれることを優先します。

元が実線なのに写しが破線なら、両端を確かめてから区切れた部分をつなぎます。長い直線を一気に引くと角を通り越すことがあるので、元の辺の範囲で止めます。線が交差したり、別の印と重なったりして消しにくければ、余白に同じ向きの図を描き直してもよいです。その際も、先に頂点の対応を作り、辺ごとに元の線種を確かめます。

直した後は、修正した辺だけで終えません。元の図から1本ずつ写しへ指を移し、両端と線種を読み合わせます。続いて写しから元へ戻り、余分な線や見落とした線がないかも見ます。どちら向きにもたどると、写しの中で誤って増やした線にも気づきやすくなります。

元の図が手元になければ、直す候補に小さな印を付けて保留します。記憶に頼って破線に変えると、後から何を根拠にした修正か追えません。次に資料を開けるときに、印の辺の両端から照合します。元の図が汚れて線種を判別できない場合も、読める別の資料や授業での説明を確かめるまで未確定のまま残します。

時間が足りなくなったときは、照合を終えた辺と、まだ調べていない辺を余白に分けて記します。途中までの作業を完成とみなさず、再開する辺の両端を書いておけば、次にどこから見るか迷いません。線を直す時間がなければ、候補の印を残して元の資料の場所を控えるところまでで区切れます。

照合の途中で見つかる別のずれ

元の図と写しを比べると、線種のほかにも、角が1つ抜けていたり、辺が隣の角につながっていたりすることがあります。その場合は、線種の修正に入る前に、元の図の頂点と辺の対応を復元します。元の図でつながっている2点を指し、写しにも同じつながりがあるかを見ます。対応が取れた辺から順に線の種類を確かめると、位置の誤りと線種の誤りを別々に追えます。

消しゴムで何度も直した結果、破線の切れ目が汚れて実線のように見えることもあります。そのときは、元の図の辺の両端を控えた上で、その辺を消して描き直します。隣の線も薄くなったら、元の図と照らして元に戻します。紙が傷んで消しにくければ、新しい場所に図を描き、古い図の近くに描き直し先を記します。

破線が短く途切れていても、離れた線分の集まりを別々の辺として数えるわけではありません。元の図の2つの頂点を結ぶ1本の辺として指でたどります。逆に、角を挟んで向きが変わる部分は、そこで別の辺に移ります。指を角で止め、次の辺の終点を見てから、実線か破線かを読みます。

元の資料に同じ形の図が複数あるときは、ページだけでなく、図の近くの見出しや問題番号も控えます。見た目が似ていても線の説明が違う場合があるため、最初に写した図と比べる必要があります。資料を開いたら、ノートの図と形や頂点の位置を照らし、本当に対応する図か確かめてから修正します。

最後の確認でつまずいたら

修正後に元の図を隠して説明できても、それだけで照合を終えず、再び元の図を開いて確かめます。覚えた説明が別の辺を指していた場合、本人には筋が通って聞こえることがあるからです。説明した辺の両端と線種が元の図に一致しているか、指を動かして確認します。

逆に、説明が途中で止まっても、直した図をすぐ消す必要はありません。止まった場所を印で示し、元の図を見ながらその辺の両端をたどります。元を見れば説明できるのか、元と写しの対応から迷うのかを分けると、次の練習で戻る場所が決まります。対応が難しければ、辺ではなく頂点の組を合わせる段階からやり直します。

短い時間で再開するときは、前回付けた未確認の印を探し、その辺の元資料を開きます。確認が済んだ印には小さく済と書き、残った印とは区別します。複数の候補があっても、1本ずつ両端と線種を照らしていけば、どこまで調べたかが残ります。途中で中断しても、次に見る辺を選べる記録になります。

別の箱で、直した後までたどる

今度は図3の箱を使います。手前の面の左上から時計回りにア、イ、ウ、エ、奥の対応する頂点をそれぞれオ、カ、キ、クとします。上と右の面が見える向きです。元の図では奥の左下のクに集まる辺エク、クオ、クキが破線で、ほかの辺は実線です。

図3のように頂点を対応させると、同じ辺を名前で指せます。ノートの図でエクが実線になっていたら、元のエとクを結ぶ線が破線であることを確かめてから、写しのエクを破線に直します。クオとクキも順に元と照合します。3本が同じ頂点に集まるからといって、形の違う別の図でも同じ判断をするのではなく、それぞれ元の図で確かめます。

直せた場合は、ノートのエからクまでを指でたどり、元の図でも同じ両端に触れます。途切れた線が辺として続いていること、隣の実線が消えていないことを見ます。それからノートをいったん閉じ、再び開いて、クの周りの線種と元の図の対応を説明できるか試します。説明できたら、どの資料に戻ったかの控えを残して次の復習に進めます。

一方、クがどの角かわからなくなった場合は、破線を描き始めず、手前のアからエまでを先に対応させます。エから奥に伸びる辺の先がクだと元の図でたどり、写しにも同じ対応があるか見ます。もし写しにその辺自体がなければ、元の図にある辺を同じ両端の間へ描いてから線種を合わせます。辺の位置が不確かなまま線を足さないことが、誤ったつながりを増やさないための手がかりです。

写しの角が重なり、どこを直したか読めなくなった場合は、余白に描き直します。元の図にある頂点と辺を照らしながら進め、元のノートには描き直した場所を示します。元の資料と写しの向きが違って見えるときも、紙を回して安易に対応させず、まず手前の面と各頂点のつながりを確認します。対応が取れなければ、そのまま質問に持っていきます。

線の取り違えを自分で探す

次の問題は、上と右の面が見える箱の元の図を言葉で示したものです。紙に手前の四角を描き、左上から時計回りにサ、シ、ス、セと付けます。その右上にずれた奥の四角の対応する角をタ、チ、ツ、テとし、対応する角同士を結びます。元の図ではセテ、テタ、テツが破線で、残る辺は実線です。

ある人の写しは、頂点と辺のつながりが元の図と同じでした。ただし、セテを実線にし、シチを破線にしました。他の辺の線種は元の図と合っています。直す辺と、それぞれ直した後の線種を考えてください。次の解答を見る前に、両端を指して元と写しを照らしましょう。

解答は、セテを破線にし、シチを実線にします。元の説明ではセテが破線で、シチは残る辺に含まれるため実線です。両方とも元の図と両端が同じなので、辺の位置は動かさず、線種を直します。セテを消してしまうと隠れた辺の存在まで失い、シチをそのままにすると見える辺が隠れたように読めます。

セテしか直せなかった場合は、元が破線の辺だけでなく、元が実線の辺も写しと比べ直します。反対にシチしか見つけられなかった場合は、元の破線3本を順に指し、対応する写しを見ます。頂点の組を取り違えた場合は、手前の四角と奥の四角の対応を書き直してから、それぞれの両端を結び直してください。答えの線種を暗記するより、元の指定と同じ辺に戻れることを確かめます。

家で開く資料と、質問に持っていく図

家でお子さまと見るときは、元の資料とノートを並べ、まず本人に同じ辺の両端を指してもらいます。「どの線が違うか」だけでなく、「元のどこと写しのどこを比べたか」を聞くと、線種の間違いと頂点の取り違えを分けられます。すぐに直せなくても、迷った辺に印を付け、元の資料の場所を控えておけば、次に続けられます。

個別指導で尋ねるなら、元の図が載った資料と、直す前後がわかるノートを持参します。描き直した場合は両方の図を見せ、対応が取れなかった頂点や、消したときに境目が不明になった辺を指して質問します。元の図が読みにくいときは、その状態も伝えます。手元の図を一緒にたどり、どの線の両端が対応するかを確かめてから修正できます。

写しの線を整える目的は、きれいに見せることだけではありません。元の図が伝えた、見える辺と隠れた辺の違いを、後でノートを開いた自分が読み取れるようにすることです。迷ったら両端に戻り、元の線種を確かめてから、同じ辺を描き直しましょう。