数検2級 三角関数の合成—位相と角の範囲をそろえて最大最小を求める｜武蔵野個別指導塾

係数から位相を選び、移した角の区間で端点と山を比べる三角関数の合成をたどります。

よくあるのは、受検者が三角関数を合成し、振幅をそのまま最大値にしたものの、その値をとる角が指定区間の外にあるという場面です。式の変形が正しくても、動かせる角が限られていれば山の頂上まで届くとは限りません。合成後の角を新しい文字で置き、その範囲まで一緒に移すと、どこを比べればよいか見えてきます。

合成して何を調べるか

sin x と cos x が同じ角 x で並ぶ式は、1つの三角関数にまとめると値の動きが追いやすくなります。例えば係数が与えられて合成した形を求める型、閉じた区間で最大値と最小値を求める型、係数に負の数が含まれる式で位相を選ぶ型があります。どの型でも、元の式と展開後の係数を照合することが出発点です。

最大最小を問う場合は、値とそれをとる x の両方を求める練習をします。全実数での値域と、指定区間で実際にとる値の範囲は別です。端点を含む区間なら端点の値も候補に入れます。区間の中に山や谷がなければ、端点の比較が決め手になります。逆に、端点ばかり見ると途中の山を見落とします。

振幅と位相を係数から決める

一般に a、b を実数とし、少なくとも一方が0でないとします。R = √(a² + b²) とおくと R は正です。cos α = a/R、sin α = b/R を満たす角 α を選べます。両辺の2乗の和が1になるので、単位円上の点としてこの角を定められます。

加法定理から、R sin(x + α) = R cos α sin x + R sin α cos x です。したがって a sin x + b cos x = R sin(x + α) となります。R は振幅、α は角のずれを表す位相です。位相は2πの整数倍だけ違っても同じ式を表しますが、計算しやすい角を1つ選べば足ります。

図1のように、sin x の係数は R cos α、cos x の係数は R sin α に対応します。係数の順番を取り違えないために、先に加法定理を展開してから左右を比べます。

図1の対応は符号にも有効です。例えば a が負、b が正なら cos α は負、sin α は正なので、α は第2象限に選べます。比 b/a だけで角を決めると、第4象限との区別がつきません。両方の符号を単位円で見ることが必要です。

余弦を使う方法もあります。R cos(x − β) を展開すると R cos β cos x + R sin β sin x です。どちらの形も正しいですが、係数との対応は変わります。形を選んだら展開して元に戻すと、位相の符号を確かめられます。a = b = 0 なら R = 0 で割れません。この場合、元の式は常に0なので位相を決めずに値を判断します。

合成は値を変える操作ではなく、同じ関数の見方を変える操作です。たとえば振幅が正であれば、正弦の値が大きいほど元の式の値も大きくなります。一方、負の数を外に出した形では大小が逆になります。負の振幅の形を使うときは、最後に符号を掛けた後の値を比較します。

範囲が1周期より長い場合には、同じ山や谷が複数入ることもあります。最大値をとる角を1つ見つけた後も区間の右端まで確認し、該当する元の x を漏らさず列挙します。端点が等号なしで指定された場合は、値に近づけても実際には達しないことがあり、最大値や最小値が存在するとは限りません。閉区間の問題では両端を含めて比較します。

基本例題：移した区間に山があるか

例題。0 ≦ x ≦ π/2 のとき、f(x) = √3 sin x + cos x の最大値と最小値、およびそれぞれをとる x を求めなさい。値は整数または根号を使い、角はπを用いて表します。

まず係数の2乗の和から振幅を求めます。

R = √((√3)² + 1²) = √4 = 2

次に2でくくり、各係数を読みます。

f(x) = 2((√3/2) sin x + (1/2) cos x)

cos α = √3/2、sin α = 1/2 となる角として α = π/6 を選びます。どちらも正なので第1象限の角です。加法定理を使うと次のようになります。

f(x) = 2 sin(x + π/6)

展開すると 2 sin x cos(π/6) + 2 cos x sin(π/6) = √3 sin x + cos x となり、元の式に戻ります。係数と符号が合っているため、ここまでの変形は正しいと確かめられます。

次に t = x + π/6 とおき、角の範囲を移します。元の不等式の3辺に π/6 を足します。

π/6 ≦ t ≦ 2π/3

この範囲には sin t が1となる t = π/2 が含まれます。図2のように山をまたぐため、最大値は2です。そのとき x = π/2 − π/6 = π/3 です。

最小値は端点を調べます。区間の前半では sin t は増加し、π/2 を過ぎると減少するので、途中に谷はありません。両端の値は次のとおりです。

f(0) = 2 sin(π/6) = 1

f(π/2) = 2 sin(2π/3) = √3

1 < √3 なので最小値は1、そのとき x = 0 です。図2では左端が右端より低くなります。元の式でも x = π/3 なら √3・(√3/2) + 1/2 = 2、x = 0 なら 0 + 1 = 1 です。どちらも元の範囲に入り、求めた値と一致します。

少し難しい例題：負の係数と区間外の山

例題。0 ≦ x ≦ π/3 のとき、g(x) = -sin x + √3 cos x の最大値と最小値、およびそれぞれをとる x を求めなさい。値は整数または根号を使い、角はπを用いて表します。

振幅は √((-1)² + (√3)²) = 2 です。正弦の形なら cos α = -1/2、sin α = √3/2 となる α = 2π/3 を選びます。よって g(x) = 2 sin(x + 2π/3) です。展開すると sin x の係数が -1、cos x の係数が √3 に戻ります。

ここで t = x + 2π/3 とすると、2π/3 ≦ t ≦ π です。sin t の山である π/2 はこの区間より左にあります。振幅2を最大値とすることはできません。この区間では sin t は減少するので、左端で最大、右端で最小です。

g(0) = 2 sin(2π/3) = √3

g(π/3) = 2 sin π = 0

したがって最大値は √3 で x = 0、最小値は0で x = π/3 です。元の式でも g(0) = √3、g(π/3) = -√3/2 + √3/2 = 0 と確かめられます。

別の選択として g(x) = 2 cos(x + π/6) も使えます。展開すると 2 cos x cos(π/6) − 2 sin x sin(π/6) となるため、同じ元の式です。この形では角の範囲が π/6 から π/2 となり、余弦が減少する区間として判断できます。どちらの形を選んでも、角の範囲を移してから判断する点は変わりません。

誤答を角の範囲から直す

先ほどの g(x) について「振幅が2だから最大値は2」とした答案を考えます。2 sin t が2になるには t = π/2 + 2nπ、n は整数、が必要です。しかし 2π/3 ≦ t ≦ π にはそのような角がありません。図3のように、山と実際に動く範囲を分けて見ると、2は到達できない値だとわかります。

図3の区間は山の右側にあり、正弦は左端から右端へ減少します。左端で √3、右端で0となることを比べれば修正できます。山が端点に一致する場合は、その端点が含まれるかも必要です。例えば閉区間なら等号を含むため、端点の山は候補に入ります。

もう1つの誤りは、t = x + α とおきながら x の範囲をそのまま t の範囲として使うことです。変数名の変更ではなく角の平行移動なので、両端に同じ α を加えます。また、位相を決めるときに正接の値だけを使うと象限を誤ることがあります。正弦と余弦の符号をそれぞれ元の係数に戻して確認します。

練習問題

次の問題では最大値と最小値、およびそれぞれをとる x を求めてください。値は整数または根号、角はπを用いて表します。まず各問題の式を合成し、角の範囲と山・谷の位置を書いてから比べます。

1. 0 ≦ x ≦ π/2 のとき、sin x + cos x。
2. 0 ≦ x ≦ π/2 のとき、√3 sin x − cos x。
3. 0 ≦ x ≦ π/3 のとき、-√3 sin x − cos x。
4. 0 ≦ x ≦ 2π のとき、2 cos x。

練習問題の答えと考え方

1. sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) です。t = x + π/4 は π/4 ≦ t ≦ 3π/4 を動きます。山 t = π/2 が入るため最大値は √2、x = π/4 です。両端の値はともに1で、途中に谷はないので最小値は1、x = 0 または π/2 です。元の式に代入すると、中央では √2/2 + √2/2 = √2、両端では1に戻ります。

2. √3 sin x − cos x = 2 sin(x − π/6) です。t の範囲は -π/6 ≦ t ≦ π/3 で、この間の正弦は増加します。したがって最小値は -1 で x = 0、最大値は √3 で x = π/2 です。元の式にそれぞれ代入して -1 と √3 を得ます。山 t = π/2 は範囲外です。

3. -√3 sin x − cos x = -2 sin(x + π/6) です。t は π/6 から π/2 まで動き、sin t は増加します。負の2を掛けるので値の大小は逆になります。最大値は -1 で x = 0、最小値は -2 で x = π/3 です。元の式では両端がそれぞれ -1、-3/2 − 1/2 = -2 となり、条件に合います。振幅を正にするなら 2 sin(x + 7π/6) としても同じ結論です。

4. 2 cos x はすでに1つの余弦です。区間内で cos x = 1 となるのは x = 0、2π、cos x = -1 となるのは x = π です。最大値は2、最小値は -2 です。元の式に戻すと、それぞれ 2・1 = 2、2・(-1) = -2 となります。係数が0の項を含む場合も、位相を無理に求めずに判断できます。

候補を拾うときの点検

正弦の山と谷は、角が大きくなっても周期2πで繰り返します。したがって、移した区間が長いときには π/2 や 3π/2 だけを見て終わらず、それらに2πの整数倍を加えた角も範囲と照らし合わせます。図を描くときは区間の左端と右端を先に書き、範囲内の山と谷を後から印にすると、周期の異なる候補を落としにくくなります。

区間が山や谷を含まないときでも、角の範囲が増加部分と減少部分のどちらにあるかで、値の並びは変わります。正弦が増加する区間では右端の値が大きく、減少する区間では左端の値が大きくなります。判断に迷ったら単位円上の縦座標を左端から追い、角が進むにつれて高さがどう変わるかを見ます。

値をとる x を戻す際にも注意が必要です。t = x + α なら x = t − α であり、t にもう一度 α を足すのではありません。戻した x が指定区間に入ることと、元の式に代入して答えの値になることは別々に確かめます。条件に合う角が複数ある場合、同じ値になる端点も省かず書きます。

また、2つの三角関数の角が異なる式に、そのままこの合成公式を使うことはできません。式を変形して同じ角にそろえられるかが先の判断です。係数が文字の場合には、両方の係数が0となる場合を先に分けると、振幅で割る操作が安全になります。位相の値がすぐに特別な角として書けない場合でも、正弦と余弦の値および象限を指定することで位相を定められます。

端点を含まない区間では、端に近づく値と実際にとれる値を区別します。例えば 0 < x < π/2 の sin x は0にも1にもなりません。0には正の側から、1には小さい側から近づきますが、どちらの値にも達しないため、最小値や最大値としては採用しません。区間の等号は計算の飾りではなく、候補を採用するための条件です。角を移した後も、端点を含むかどうかは変わらないことを確認します。

覚えておくこと

• 振幅は係数の2乗の和の平方根、位相は両係数の符号を使って選びます。
• 合成した式を展開して元の係数に戻し、角の範囲も同時に移します。
• 指定区間の山・谷と端点を調べ、値をとる元の角まで答えます。

どこで判断が止まったか

個別指導では、まず合成式を展開して元の係数と照合できるかを見ます。符号が合わなければ加法定理と位相の象限に戻ります。合成が合っていても最大値が違う場合は、置いた角の範囲を不等式で書き、山がその範囲に入るかを本人に指してもらいます。

お子さまが答えを覚えていても、端点と途中の候補を区別できるかは別に確かめられます。最後に得られた x を元の式と区間に戻すと、変形の誤りと範囲の見落としをそれぞれ見つけられます。合成後の角の範囲が、最大最小の判断を支えます。