数検2級 二項定理—展開の一般項から指定された次数の係数を取り出す｜武蔵野個別指導塾

組合せの意味を確かめながら、負号を含む係数と定数項を、選択回数から求める手順を追います。

よくあるのは、受検者が二項式の累乗を端から展開し、並んだ項の中で求める係数を取り違える場面です。途中の計算が合っていても、次数の読み違いや負号の書き落としで答えが変わります。各項を順に作る前に、どの項が必要かを決められれば、見るべき計算を絞れます。括弧から何を何回選ぶかに戻り、係数までの道筋をたどりましょう。

係数を求める問題で見ること

二項定理を使う問題には、たとえば (x+1) の累乗から指定された次数の係数を求める型があります。もう一つは、引き算を含む二項式で、負号を伴う数の累乗まで計算する型です。また、x と 1/x を含む式から、x を含まない定数項を探すこともあります。この場合は x が 0 でないことを前提にします。

これらに共通するのは、目的の項の次数を先に決めることです。展開した式の項は、同じ二項式の各括弧から一方ずつ選んだ積の集まりです。何回選んだときに目的の次数になるかを式にし、その回数に対応する組合せと数の積を計算します。

係数は文字を除いた数の部分です。たとえば -7x³ の x³ の係数は -7 で、符号も係数に含めます。項そのものと係数は違うので、問題が求めているのがどちらかを最後に読み返します。ここでは整数の指数による二項式の展開を扱い、無限に続く展開は扱いません。

一般項を選ぶ回数から作る

(a+b) を n 個掛けた積を考えます。n は 0 以上の整数です。各括弧から b を r 個、残りの n-r 個から a を選ぶと、積は a の n-r 乗と b の r 乗の積になります。同じ積は、b を選ぶ括弧の位置が異なっても生じます。その位置の選び方が nCr 通りあるため、対応する項は次の形です。

nCr × a の (n-r) 乗 × b の r 乗

r は 0 から n までの整数です。nCr は n 個から r 個を順序を考えずに選ぶ組合せの数で、r が 0 のときと n のときはともに 1 です。たとえば 5 個から 2 個を選ぶとき、先に選ぶ順序を区別すると 5×4 通りですが、同じ 2 個を逆の順で数えた重複があるので 2×1 で割り、5C2 = 10 です。

図1のように、右側の項を r 回選ぶと、左側の項を選ぶ回数は n-r です。回数の合計は必ず n になります。r を 0 から始めるため、r に対応する項は並べ方によって「第 r+1 項」と呼ばれます。第何項かを求める問題と、何回選ぶかを混同しないようにします。

図1の組合せは同じ積を何回作るかを表します。一方、a と b の中に数や文字が入っている場合、その累乗の計算も必要です。たとえば b が -2 なら、b を 3 回選んだ部分は (-2)³ = -8 です。組合せの数だけを係数にすることはできません。

選ぶ側を入れ替えても同じ項になる

一般項は、右側を選ぶ回数でしか作れないわけではありません。左側を s 回選ぶと決めれば、右側を選ぶ回数は n-s 回です。すると項は nCs × a の s 乗 × b の (n-s) 乗になります。右側を r 回選ぶ方法との関係は s = n-r です。選ぶ側を変えた後に、回数の意味を変えずに式だけを写すと、指数が入れ替わってしまいます。

nCr と nC(n-r) は等しくなります。右側を選ぶ r 個の位置を決めれば、左側を選ぶ残り n-r 個の位置も決まるからです。これは選び方の数の対称性であり、数の累乗まで同じになるという意味ではありません。a と b が異なれば、どちらを何回掛けるかは区別します。

両側に文字がある式では、それぞれの文字の指数を足します。たとえば左側から x³ を 2 回、右側から x を 1 回選んだ積では、文字は x⁷ です。選んだ回数の合計と文字の指数の合計は別の数です。まず因数の選択回数を決め、その後に文字の指数を数える順番を保ちます。

基本例題：次数から選ぶ回数を決める

問題： (2x-3)⁵ の展開式における x² の係数を整数で求めてください。

まず a = 2x、b = -3 と見ます。-3 を r 回選ぶと、2x を選ぶのは 5-r 回です。図2のように、求める x² に合わせて、文字を含む側の回数を決めます。

一般項は 5Cr × (2x) の (5-r) 乗 × (-3) の r 乗です。-3 は文字を含まないので、x の指数は 5-r です。求める次数を 2 とすると、次のようになります。

5-r = 2

r = 3

r は 0 以上 5 以下の整数なので、3 回という選び方は可能です。-3 を選ぶ括弧は 5 個から 3 個選びます。したがって、その選び方は次の通りです。

5C3 = 5×4×3 ÷ (3×2×1) = 10

r = 3 を一般項に戻すと、求める項は次の積です。

5C3 × (2x)² × (-3)³

= 10 × 4x² × (-27)

= -1080x²

問題が聞いているのは項ではなく係数ですから、答えは -1080 です。図2の最後の数も、x² を取り除いた符号つきの数を表しています。

元の積に戻って確かめます。5 個の括弧のうち 3 個から -3、残る 2 個から 2x を取ると、1 通りの積は -108x² です。その位置の選び方は 10 通りなので、合わせて -1080x² になります。別の回数を選べば x の指数は変わるため、この式の x² に加える別の回数はありません。

最初に -3 を選ぶ回数を x の指数と勘違いすると、r = 2 と置いてしまいます。そのとき 2x は 3 回選ばれるので、できるのは x³ の項です。求める次数と選んだ側の文字の有無を照らし合わせてから組合せを計算すると、取り違えに気づけます。

少し難しい例題：定数項の指数をそろえる

問題：x ≠ 0 とします。(2x-1/x)⁶ の展開式の定数項を整数で求めてください。

定数項は x の指数が 0 の項です。右側の -1/x を r 回選び、左側の 2x を 6-r 回選びます。前の例題と違って右側にも x があるので、左側の指数を見るだけでは決まりません。左側の x は掛けるたびに指数を 1 増やし、右側の 1/x は掛けるたびに指数を 1 減らします。

一般項は 6Cr × (2x) の (6-r) 乗 × (-1/x) の r 乗です。x の指数は (6-r)-r、つまり 6-2r です。ここで定数項があるかどうかの分かれ目を調べます。

6-2r = 0

r = 3

3 は 0 から 6 の間の整数ですから、この回数に対応する定数項があります。もし指数を 0 にする r が整数でないか、範囲外なら、その展開には定数項がありません。回数を無理に丸めず、条件に合う項がないと判断します。

r = 3 を戻すと、6C3 = 20 なので、求める項は次のようになります。

20 × (2x)³ × (-1/x)³

= 20 × 8x³ × (-1/x³)

= -160

答えは -160 です。x ≠ 0 なので x³ と 1/x³ を掛けて 1 にできます。元の 6 個の括弧からも、3 個ずつ選ぶと x³ と 1/x³ が打ち消し合い、1 通りの数の積は -8 です。選び方 20 通りを合わせると -160 になり、問題の定数項に戻って確かめられます。

なお、たとえば累乗が奇数で左右の x の指数がそれぞれ 1 と -1 なら、2 種類の選択回数を等しくできません。この場合は定数項がないと判断できます。ただし、左右の文字の指数が異なる式では等しい回数とは限らないので、指数の和を式に戻すことが必要です。

目的の項が存在しない場合

指数の式を解いて得た数が、選択回数として使えるとは限りません。たとえば (x²+1)³ では、1 を r 回選ぶと x の指数は 2(3-r) です。r は 0、1、2、3 のいずれかなので、現れる次数は 6、4、2、0 です。x³ の項を求めようとすると 2(3-r) = 3 から r = 3/2 となり、括弧を分数個選ぶことはできません。したがって x³ の項はなく、その係数は 0 です。

この判断は「計算できなかった」という意味ではありません。許される回数を確認した結果、目的の次数を作る選び方がないと示しています。展開して x⁶+3x⁴+3x²+1 と並べても、x³ がないことを確かめられます。次数が飛ぶ式では、項の数え間違いを防ぐためにも、この確認が役立ちます。

定数項についても、文字が分母に現れるときは式そのものが定義される条件を先に置きます。前の例題では x = 0 を代入して確かめることはできません。文字の指数が 0 になった項の数を見つけることと、元の式に 0 を代入できることは別です。

負号と選び方の誤りを直す

基本例題の (2x-3)⁵ で、x² の係数を 1080 とする誤答を考えます。5C3 = 10 と (2x)² = 4x² は正しくても、(-3)³ を 27 とすると符号が逆になります。図3のように、負の数を選ぶ回数を書き、その数全体を括弧に入れて累乗します。

図3では、3 個の負の因数のうち 2 個を先に掛けて正にし、残った 1 個を掛けて負にしています。偶数回なら負号は対になり、奇数回なら 1 個残ります。計算の途中で括弧を消す前に、正負を独立して確認しましょう。

もう一つの誤りは、5C3 の 10 だけを係数として答えることです。10 は同じ積が現れる回数で、各積に含まれる 2² と (-3)³ は別に掛けます。反対に、1 通りの積 -108 だけを答えると、選ぶ位置の違いが抜けます。自分の式の中に「選び方」と「1 通りの積」の両方があるかを点検します。

答えの形を点検する

途中に x² が残ったまま「係数」として答えると、求める対象を取り違えています。係数を聞かれたら数だけ、項を聞かれたら文字の部分も添えます。定数項は文字を含まない項なので、この場合は項とその数値が同じ形になります。

指数を決める式が複数の回数に見える場合も、元の展開で各回数が何を意味するか確かめます。二項式の各側が単項式で、回数によって次数が変わる場合には、該当する回数を指数の式から探せます。一方、両側の文字の次数が同じ場合は、複数の回数から同じ次数が生じることがあります。そのときは該当する項を足し合わせます。「一般項を1つ拾う」という操作が通用する条件まで見ることが大切です。

練習問題

次の各問は、求めた係数または定数項を整数で答えてください。まず問題をまとめて解き、後の解答と比べます。

1. (x+2)⁶ の展開式の x⁴ の係数を求めてください。
2. (3x-1)⁴ の展開式の x³ の係数を求めてください。
3. (x²+2x)⁵ の展開式の x⁷ の係数を求めてください。
4. x ≠ 0 のとき、(x-2/x)⁴ の展開式の定数項を求めてください。

解答と確かめ

1. 2 を r 回選ぶと、x の指数は 6-r です。6-r = 4 から r = 2 と決まります。したがって求める項は 6C2 × x⁴ × 2² = 15×4x⁴ = 60x⁴ で、係数は 60 です。元の 6 個の括弧から 2 を選ぶ位置は 15 通りあり、それぞれ x を 4 個、2 を 2 個選ぶので 4x⁴ です。15 通りを合わせると 60x⁴ に戻ります。

2. -1 を r 回選ぶと x の指数は 4-r なので、4-r = 3 から r = 1 です。求める項は 4C1 × (3x)³ × (-1) = 4×27x³×(-1) = -108x³ です。係数は -108 です。4 個の括弧のうち 1 個から -1 を選ぶ各積は -27x³ で、位置は 4 通りあります。負号を含めた合計が元の積の x³ の項と一致します。

3. 2x を r 回、x² を 5-r 回選びます。文字の指数は 2(5-r)+r = 10-r なので、10-r = 7 から r = 3 です。求める項は 5C3 × (x²)² × (2x)³ = 10×x⁴×8x³ = 80x⁷ です。係数は 80 です。元の 5 個の括弧で 2x を選ぶ位置は 10 通りあり、各積の文字は x⁴ と x³ の積です。各積の数は 8 ですから、合わせて 80x⁷ になります。

4. -2/x を r 回選ぶと、x の指数は (4-r)-r = 4-2r です。4-2r = 0 より r = 2 なので、定数項は 4C2 × x² × (-2/x)² = 6×x²×(4/x²) = 24 です。元の 4 個の括弧から左右を 2 個ずつ選ぶと、x ≠ 0 のもとで文字の積は 1、数の積は 4 です。位置の選び方 6 通りを合わせると 24 です。負の数を 2 回選ぶので正になることも確認します。

覚えておくこと

• 右側を r 回選ぶと、左側は n-r 回です。
• 文字の指数を目的の次数に合わせ、r が範囲内の整数か調べます。
• 組合せの数に、選んだ数の累乗を掛けます。
• 負号と、係数を聞かれているか項を聞かれているかを確かめます。

つまずいた場所を見分ける

答えが合わないときは、最終行だけを直す前に、選ぶ回数と指数の式に戻ります。回数は合っていて符号だけが違うなら、負の数を括弧ごと何回掛けたかを確認します。次数が違うなら、文字を含む側を何回選んだかを、元の括弧に印を付けて数え直します。

個別指導では、たとえば基本例題の 5-r = 2 を書く前に、どちらを r 回選ぶと決めたかを言葉で説明してもらいます。式が立っても係数が違えば、5C3 が数えるものと 1 通りの積を別々に尋ねます。お子さまの途中式を一緒にたどれば、回数の判断と計算のどちらに戻るべきかが見えます。欲しい次数を選ぶことが、二項定理の係数を正しく取り出す出発点です。