数検3級 関数y=ax²のグラフ—対称な点と開き方から放物線を正確に描く練習｜武蔵野個別指導塾

負の係数での開く向きや、対称な点の取り方を例題と誤答からたどり、手を動かして放物線を描きます。

よくあるのは、受検者が係数aの負の符号を見落とし、上に開く曲線を描く場面です。点を打つ前に向きを決めると、途中の計算と絵が食い違ったときに戻る場所ができます。原点を通ること、左右の点の対応、目盛りの読み方を順に確かめましょう。ここではy=ax²の形を扱い、グラフの平行移動は扱いません。

式から絵へ移すときの3つの型

1つ目は、式が与えられ、表を作って放物線を描く型です。xに正と負の値を入れ、それぞれのyを計算します。座標平面に点を移した後、点をなめらかな曲線で結びます。点をたくさん取る前にaの符号を見れば、曲線がx軸の上側と下側のどちらにあるか予想できます。

2つ目は、複数の放物線を比べ、開く向きや開き具合を答える型です。aが正か負かは向きを決めます。一方、同じxに対するyの原点からの離れ方を比べるには、aの絶対値を使います。負の数の大小をそのまま「広い、狭い」に対応させると間違えやすいため、符号と絶対値を別々に読みます。

3つ目は、描かれた点や曲線が式に合うか判断し、誤りを直す型です。左右対称に見えても、上向きと下向きが逆なら式に合いません。反対に、向きが合っていても点の高さが違えば別の放物線です。形の印象に加え、具体的な座標を式に戻して確かめます。これらは練習のための型であり、出題の頻度を示すものではありません。

原点、対称の軸、係数を見る

座標は、横方向のx、縦方向のyの順に書きます。y=ax²では、xが0ならyも0です。したがって、aが0でないとき、曲線は原点(0, 0)を通り、そこが頂点になります。ここで扱う放物線はaが0でない場合です。aが0ならyは常に0で、グラフはx軸になり、放物線にはなりません。

xの符号が反対でも二乗は等しいので、xが2と-2のときのyは同じです。一般に(x, y)がグラフ上にあれば、(-x, y)もグラフ上にあります。2点はy軸から同じ距離にあり、y軸が対称の軸です。原点を通る別の線が対称の軸になるわけではありません。

図1のように、正の係数では原点から上へ、負の係数では下へ開きます。例えばxが0でなければx²は正なので、yの符号はaの符号と同じです。この理由から、負の係数のグラフを上に描いたら、点の計算か向きを見直せます。

図1の2本はそれぞれy=x²とy=-x²を表し、同じ大きさの係数で向きが反対です。横と縦の目盛りは同じ間隔です。曲線上の左右の点は、それぞれxが1と-1の組に対応します。

絶対値が大きいほど、同じ0でないxに対するyの絶対値は大きくなります。例えばy=2x²とy=x²では、x=1の高さはそれぞれ2と1です。両方とも上向きですが、前者は同じ横の距離でより高くなり、y軸に近い側を通る、開きの狭い曲線です。y=-2x²とy=-x²でも、前者の方が下に大きく離れ、開きは狭くなります。向きが違う曲線を比べる際も、符号と開き具合を分けて考えます。

表から点を置く基本例題

次の自作問題を解きます。y=-(1/2)x²について、xが-2、-1、0、1、2のときのyを分数または整数で求め、これらの点を通るグラフを描きましょう。曲線の向きと対称の軸も答えます。

まずa=-1/2なので、グラフは下に開くと見通します。次にxを二乗してから-1/2を掛けます。負のxも括弧に入れて計算すると、二乗の符号を取り違えにくくなります。

• x=-2: y=-(1/2)×(-2)²=-(1/2)×4=-2
• x=-1: y=-(1/2)×(-1)²=-(1/2)×1=-1/2
• x=0: y=-(1/2)×0²=0
• x=1: y=-(1/2)×1²=-1/2
• x=2: y=-(1/2)×2²=-2

表にすると、横の値と縦の値の組を移しやすくなります。

図2のように、原点と左右2組の点を座標平面に置きます。横に-2、縦に-2進んだ点が(-2, -2)です。(-1, -1/2)は、原点から左へ1、下へ半目盛りの位置です。横軸と縦軸の目盛りを先に決めれば、分数の位置も見失いません。

図2では点を折れ線で結ばず、頂点の周りも含めてなめらかに通しています。答えは下に開き、対称の軸はy軸です。左右の点が同じ高さにあることを、描いた後にも確かめます。

検算では、例えば(-2, -2)を式に戻します。右辺は-(1/2)×4=-2で、点のyと一致します。(1, -1/2)も右辺が-1/2になり一致します。点が式に合うかと、図でその点を正しい目盛りに置いたかは別の確認です。計算が正しくても、座標を逆に読めば曲線はずれます。

向きと開きを分ける例題

3つの式y=-3x²、y=-(1/3)x²、y=2x²のグラフについて、上に開くものを式で答え、下に開く2つのうち開きが狭いものを式で答えましょう。比較には同じ縮尺の座標平面を用います。

まず係数の符号を見ます。-3と-1/3は負、2は正なので、上に開くのはy=2x²です。残る2つは下に開きます。ここで-3は-1/3より小さいから広い、と数の大小だけで決めてはいけません。

x=1を両方に代入すると、y=-3x²ではy=-3、y=-(1/3)x²ではy=-1/3です。同じ横の位置で前者は原点から縦に3、後者は1/3離れます。そのため、下に開く2つではy=-3x²の方が開きが狭くなります。係数の絶対値3が1/3より大きいことからも同じ判断ができます。

x=-1でも二乗は1です。対応する点はそれぞれ(-1, -3)、(-1, -1/3)となり、右側と同じ高さに戻ります。上向きの式もx=1と-1でy=2です。どの曲線も原点を通り、y軸について対称という条件に合います。向きの判断と、同じ向きの中での開きの判断を分ければ、負号のある比較でも迷いを減らせます。

誤った点から描き直す

例えばy=-x²を描くとき、x=1の点を(1, 1)とし、上に開く曲線を描いたとします。図3の左の点はその誤答、右の点は修正後です。左右対称の形だけを見れば整って見えますが、式の負号と一致しません。

図3の誤りの理由は、1を二乗して1にした後、係数-1を掛け忘れたことです。正しくはy=-(1)²=-1なので、点は(1, -1)です。対称な点も(-1, -1)となります。原点とこの2点を通り、下に開くなめらかな曲線を描き直します。

別の誤りとして、x=-1の二乗を-1として、点(-1, 1)を置く場合があります。(-1)²は正の1です。その後で係数の-1を掛けるので、yは-1です。二乗の段階と係数を掛ける段階を分けて書くと、どちらで符号が変わったか追えます。

さらに、正しい点を直線でつないで角を作る間違いもあります。表の点は曲線の通過点であって、点と点の間が直線だという条件ではありません。原点の周りも左右対称になるように曲げ、点を通ることを確認します。正しい向き、点の位置、曲線のなめらかさを順に点検しましょう。

練習問題

次の問題は、それぞれ座標平面の横軸と縦軸の目盛りを一定間隔に取り、数は整数または分数で答えてください。グラフを描く問題では、示されたxの値に対応する点を打ち、曲線で結びます。

1. y=2x²について、x=-2、-1、0、1、2のときのyを求め、グラフを描いてください。開く向きと対称の軸も答えます。
2. y=-(1/4)x²について、x=-4、-2、0、2、4のときのyを求め、グラフを描いてください。各点が式を満たすことも確かめます。
3. y=4x²、y=(1/2)x²、y=-2x²のうち、上に開くグラフを式で答え、その中で開きが狭いものを式で答えてください。
4. y=-2x²のグラフ上の点として、A(2, -8)、B(-2, 8)、C(-1, -2)が挙げられています。グラフ上にある点を記号で答え、外れた点について同じxに対応する正しい座標を答えてください。

練習の答えと解き方

1. yは順に8、2、0、2、8です。例えばx=-2では、(-2)²=4に2を掛けて8です。(-2, 8)、(-1, 2)、(0, 0)、(1, 2)、(2, 8)を通り、上に開く曲線になります。対称の軸はy軸です。右側の点を式に戻しても、2×1²=2、2×2²=8となり、表の高さと一致します。左右の同じ高さも点の置き間違いの検査に使えます。

2. yは順に-4、-1、0、-1、-4です。x=-4では、二乗して16、さらに-1/4を掛けて-4です。5点を置くと、原点を頂点として下に開きます。x=2では-(1/4)×4=-1、x=4では-(1/4)×16=-4です。負のxでも二乗が同じなので、左側の2点もそれぞれ同じ高さになります。横軸の4と縦軸の-4の位置を確認してから線を引きます。

3. 上に開くのはy=4x²とy=(1/2)x²です。係数が正だからです。この2つでは4の方が1/2より絶対値が大きく、y=4x²の開きが狭くなります。x=1で比べると高さは4と1/2で、前者の方がy軸から同じ横の距離で高い点を通ります。y=-2x²はx=1でy=-2となる下向きの曲線なので、上向きの組には入りません。

4. グラフ上にあるのはAとCです。Aはx=2で-2×2²=-8、Cはx=-1で-2×(-1)²=-2となり、それぞれ示されたyに戻ります。Bはx=-2のとき-2×(-2)²=-8なので、正しい座標は(-2, -8)です。Aと修正したBはy軸について対称な位置にあります。Bの元のy=8は正なので、負の係数で原点以外の点が下側に来るという見通しにも合いません。

点を打つときの確認

方眼に点を置くときは、原点から横へ移動してから縦へ移動します。横と縦の数を逆にすると、計算した表は正しくても、曲線の形や向きが崩れることがあります。特に2つの座標の数が等しくない点は、置いた後に横方向と縦方向を指でたどると確かめやすくなります。軸の数字が省略されている図では、隣り合う目盛りが表す数も先に決めて書き込みます。

表を作るときに左右の値が合わなければ、まず負の数の二乗を調べます。それでも合わないときは、係数を掛けた後の符号や分数の計算を調べます。表が合っているのに図が左右対称でなければ、計算を最初からやり直す前に、各点の横の距離と高さを確かめます。誤りが起きた段階を切り分けると、自分で修正できます。直した点も元の式に代入し、表と図の両方に反映されたことを確認しましょう。

曲線を引いた後は、表にない位置でも式とおおよその高さが矛盾しないか考えます。上向きのグラフなら、原点以外の点がx軸より下に現れることはありません。下向きならその逆です。対称な点が正しく並び、係数の符号と曲線の側が合っているかまで見ると、表から絵への移し間違いを見つけられます。

描く前後に残すメモ

• aの符号で上向きか下向きかを決め、a=0は別に扱います。
• 原点を通り、y軸を対称の軸とします。
• xと-xの二乗は等しく、対応する2点の高さは同じです。
• 同じ縮尺では、係数の絶対値が大きいほど開きは狭くなります。
• 表の点を目盛りに合わせて置き、なめらかな曲線で通します。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが図を描き終えたら、最初に式の係数を指し、どちらへ開くと予想したか聞いてみます。向きの答えが正しく点が逆側なら、代入の計算と座標の置き方を順に見ます。計算したyが正しいのに図が違う場合は、目盛りや座標の順番を確かめると、直す場所が絞れます。

個別指導では、左右の点を1組ずつ式に戻し、対称性が計算と図の両方に表れているかを確かめます。開きの比較で迷う場合は、同じxを2つの式に入れ、原点からの縦の距離を比べます。符号、座標、曲線の順に根拠をつなぐと、描いた放物線を自分の言葉で説明できます。