数検3級 二次方程式の平方根—二乗を孤立させて正負の解を取り出す練習｜武蔵野個別指導塾

二乗される括弧の値を正負に分けてから、文字の値を求めます。孤立させた二乗の右辺が0や負の場合も、元の式で確かめます。

よくあるのは、二乗された文字について根号を付けたところで、負の解を書き落とす場面です。正の数を二乗しても負の数を二乗しても、同じ正の数になることがあります。途中式では二乗の対象をひとまとまりとして見て、正負の両方を出した後に文字を求めます。答えを元の式に戻し、計算が合うことと、もう一方を落としていないことを確かめましょう。

二乗の形から見える3つの型

二次方程式の平方根を使う型では、まず二乗されている部分を見つけます。x² = 16 のように二乗が既に一方にある型なら、二乗して16になる数を考えます。4と-4のどちらも条件を満たします。正の平方根を表す √16 は4ですが、方程式の解を求めるときは負の数も候補になります。

もう一つは、3x² − 6 = 21 のように二乗の項の周りに数が付いている型です。両辺に同じ操作をして数を移し、二乗の部分だけにしてから平方根を考えます。元の式のまま個々の項に根号を付けると、等式を保てません。足し算をほどき、次に係数を割る順で進めると見通しが立ちます。

さらに、(x + 2)² = 9 のように括弧全体が二乗されている型があります。この場合、二乗して9になるのは x ではなく x + 2 です。先に x + 2 = 3 または x + 2 = -3 と分け、そこからそれぞれの x を求めます。二乗の対象を取り違えないことが分かれ目です。

右辺が正とは限りません。実数を二乗した結果は負にならないので、二乗を孤立させた右辺が負なら実数の解はありません。右辺が0なら、二乗される部分は0の1通りです。ここで扱うのは、すでに二乗の形が見える式です。一般の式を二乗の形に作り直す方法には進みません。

二乗の箱と平方根の関係

二乗は同じ数を2回掛ける操作です。正の数と、その符号を反対にした数は二乗すると等しくなります。例えば 5² = 25、(-5)² = 25 です。括弧を付けた後者は負の数全体を二乗しています。これに対し -5² は、5² に負の符号を付けた値なので -25 です。代入の際は負の数を括弧で囲むと区別できます。

図1のように、二乗される部分を箱と考えます。箱の中身が x でも x + 2 でも、まず箱の値を求める段階は同じです。右側が正の数 k なら、箱は √k または -√k です。√k は負でない平方根を表します。したがって、正負をまとめた ±√k の ± は、根号そのものに含まれる記号ではなく、2つの値を示す記号です。

図1では箱の値が3でも-3でも、二乗後は9です。箱の中身が x + 2 なら、この2つはまだ x の答えではありません。両方の式から2を引く必要があります。正の枝と負の枝を分けて書けば、一方にだけ操作をしてしまう誤りも見つけやすくなります。

右辺が0のときは、0を二乗すると0であり、0以外の実数を二乗すると正になります。よって箱の値は0です。±0 と書いても異なる2つの数にはならず、解は1つです。右辺が負のときは、正の数、負の数、0のどれを二乗してもその値にはなりません。実数の範囲では解なしと判断します。

二乗の対象を箱と考える方法は、計算の順序を決める助けにもなります。例えば 2(x − 6)² + 4 = 22 では、箱の二乗を2倍して4を足しています。この操作を逆順にほどき、まず4を引いてから2で割ります。すると (x − 6)² = 9、箱の値は3または-3です。最後に6を足して x = 9 または x = 3 となります。元の左辺では、いずれも括弧の二乗が9なので 2 × 9 + 4 = 22 です。

ここで x = 3 は正の数ですが、括弧の値は-3です。解の符号と、二乗される部分の符号は別々に考えます。箱の値を求める前に括弧の中の数を動かそうとすると、二乗全体への操作と混ざりやすくなります。二乗を孤立させる行、箱の値を2つに分ける行、文字を求める行をそれぞれ書くと、どこで間違えたか追えます。

等式の両辺から同じ数を引くことや、0でない同じ数で両辺を割ることは、等式が成り立つ条件を変えません。一方、両辺に根号を付けて文字を直接取り出す操作では、左辺が負の場合をそのまま表せません。二乗して右辺になる数を探す、という言葉に戻れば、正負の必要性を説明できます。

基本例題：二乗だけを残す

次の方程式を解き、解を整数または根号を使って表してください。

3(x − 1)² + 6 = 33

まず6を両辺から引きます。次に両辺を3で割って、括弧の二乗を孤立させます。

3(x − 1)² = 27

(x − 1)² = 9

ここで二乗して9になるのは x − 1 です。図2のように、3と-3に分けてから両方に1を足します。

x − 1 = 3 または x − 1 = -3

x = 4 または x = -2

図2の分岐は、9の平方根が3と-3であることを表しています。答えが4と-2で、互いに符号を反対にした数ではない点にも注意します。正負が対になるのは x − 1 の値であって、そこから1を足した後の x の値ではありません。

元の式で確かめます。x = 4 なら x − 1 = 3 なので、左辺は 3 × 3² + 6 = 33 です。x = -2 なら x − 1 = -3 なので、左辺は 3 × (-3)² + 6 = 33 です。いずれも右辺と一致します。逆に、元の式を変形すると括弧の値は3か-3のいずれかに限られるため、この2つ以外はありません。

もし最初に6を引かずに両辺を3で割った場合も、左辺の6を含む各項を3で割れば正しく進められます。ただし一部だけを割ると等式が変わります。途中の各行で、左右に同じ操作をしたかを読む習慣が役立ちます。

少し難しい例題：右辺の符号で判断する

次の方程式をそれぞれ解き、実数の解があれば整数または根号を使って表してください。解がなければ、その旨を答えてください。

ア　2(x + 3)² − 5 = 7

イ　2(x + 3)² + 5 = 3

アは両辺に5を足し、2で割ると (x + 3)² = 6 です。6は正なので、x + 3 = √6 または x + 3 = -√6 と分けます。両辺から3を引き、x = -3 + √6 または x = -3 − √6 です。根号の中が平方数でないため、整数には直せません。

確かめると、前者では x + 3 = √6、後者では x + 3 = -√6 です。どちらもその二乗は6で、元の左辺は 2 × 6 − 5 = 7 に戻ります。括弧の値が正負の2通りであり、引く3は両方に作用します。-3 ± √6 とまとめても同じ2つの解です。

イは両辺から5を引き、2で割ると (x + 3)² = -1 です。実数の二乗は負にならないため、実数の解はありません。元の式でも、二乗の部分は0以上なので左辺は5以上です。右辺の3には届かないと、変形前の条件に戻して確かめられます。

この2問の分かれ目は、元の右辺の7と3ではなく、二乗を孤立させた後の6と-1です。元の右辺が正だから解がある、と早合点しないでください。途中で負の係数を割る場合も、割った後の符号を確かめます。例えば負の数で両辺を割ると、右辺の符号も変わります。0になった場合は正負の2通りではなく、括弧の値が0の1通りです。

負の枝を落とした答えを直す

(x + 4)² = 25 を解くとき、「x + 4 = 5 だから x = 1」として終える誤答を考えます。1は確かに元の式を満たしますが、それだけでは解を尽くしていません。(-5)² も25なので、x + 4 = -5 の枝が残っています。

図3のように、x + 4 = -5 からも4を引きます。もう一つの解は x = -9 です。1を戻すと (1 + 4)² = 25、-9を戻すと (-9 + 4)² = 25 です。どちらも元の等式を満たし、括弧の値はそれぞれ5と-5になります。

別の誤りは、x + 4 = ±5 から x = ±1 とすることです。正の枝では 5 − 4 = 1 ですが、負の枝では -5 − 4 = -9 です。±の後ろ全体から4を引く前に2行に分けると、符号の処理を確認できます。答えを代入する確認は誤った候補を見つけますが、正しい候補を落としていないかは、正負の枝を両方書いて点検します。

また、右辺が負の式に機械的に ± を付けても、実数の答えは得られません。まず二乗の右辺が正、0、負のどれかを見ます。解なしという結論も、二乗が0以上である理由と一緒に書けば、計算を途中でやめた場合と区別できます。

正負の枝が必要かどうかは、問題の文章で求めるものによっても確認します。ここでの方程式は実数の x を求めるので、負の解も条件を満たせば答えに含めます。もし別の問題で文字に正の長さという条件が付けば、方程式の解を出した後にその条件に合うかを調べます。計算の途中で負の枝を捨てると、括弧の中身は負でも x 自体は正になる場合を見逃します。

確認には2つの方向があります。求めた値を代入して等式を満たすかを見ることと、変形後の二乗の値から候補を残さず取り出したかを見ることです。前者だけでは、正しい答えを1つ書き忘れても気づけません。後者では、右辺が正なら2つ、0なら1つ、負なら実数では候補がないという分類を使います。

計算が合わなかったときは、最終行から元の式まで順に戻り、括弧の値、二乗の値、係数を掛けた値、定数を足した値を分けて調べます。特に負の数を代入する行では括弧を付けます。どの段階で右辺と食い違ったかがわかれば、すべてを最初から解き直す前に誤りを絞れます。

練習問題

次の4問を解いてください。実数の解があれば整数または根号を使って表し、なければ「実数の解なし」と答えます。先に4問を解いてから、下の答えと照らし合わせましょう。

1. 2x² − 8 = 42
2. (x − 5)² = 12
3. 4(x + 1)² = 0
4. 5(x − 2)² + 8 = 3

答えと解き方

1. 両辺に8を足すと 2x² = 50、2で割ると x² = 25 です。よって x = 5 または x = -5 です。元の左辺に戻すと、どちらも 2 × 25 − 8 = 42 となります。5だけを確かめて終えず、-5の二乗も25になることを確かめます。

2. 二乗される部分は x − 5 ですから、x − 5 = ±√12 です。√12 = 2√3 と整え、x = 5 + 2√3 または x = 5 − 2√3 です。元の括弧に戻すとそれぞれ 2√3、-2√3 となり、二乗はいずれも12です。5から引く枝の符号を、答え全体の符号と混同しないようにします。

3. 4で割ると (x + 1)² = 0 です。x + 1 = 0 なので x = -1 です。元の式に戻すと 4 × 0² = 0 です。0の正負を書き分けても同じ値なので、解は1つです。4で割る前に平方根を取り、括弧の値を0以外にしていないかにも注意します。

4. 両辺から8を引き、5で割ると (x − 2)² = -1 です。実数の二乗は0以上なので、実数の解なしです。元の左辺も8以上となり、3にはなりません。右辺の3が正でも、二乗の部分に残る数は負です。最後まで変形して符号を判断します。

解答を見比べるときは、表し方が違っても値が同じかを確かめます。根号の中に平方数を因数として含む場合は外に出せますが、足し算や引き算の各項を根号の内側へ勝手にまとめることはできません。答えを整える作業と、方程式を満たすかの確認は分けて行います。まず括弧の値が条件どおりかを調べ、その後で答えの形を読み直しましょう。

覚えておくこと

二乗されている部分をひとまとまりとして孤立させます。
右辺が正なら、その平方根の正負を両方取ります。
右辺が0なら二乗される部分は0、負なら実数の解はありません。
括弧の値から文字の値へ、各枝で同じ操作をします。
元の式への代入と、枝の書き落としの両方を点検します。

どこで止まったかを見る

答えが1つ足りないときは、まず二乗を孤立させた行に戻ります。右辺が正なのに正の平方根しか書いていなければ、負の数の二乗を実際に計算します。2つの枝はあるのに答えが合わなければ、括弧を外すための加減を枝ごとに追います。解なしの問題では、元の右辺ではなく孤立後の右辺を見ているか確かめます。

個別指導では、途中式を隠して答えだけを直すのでなく、二乗の対象を指で示し、各行で左右に加えた操作を説明してもらいます。お子さまが自力で正負の枝を作り、それぞれを元の式に戻せるかを見ると、符号の知識と等式の変形のどちらで迷ったかを切り分けられます。二乗の対象を見失わず、解の候補を元の条件まで運びましょう。