高校地学 主系列星の質量と寿命—燃料の量と消費の速さを分けて比例式を作る｜武蔵野個別指導塾

燃料として利用する質量割合と平均光度を分け、条件付きの質量光度関係から主系列寿命を計算します。

よくあるのは、質量の大きい主系列星について、燃料が多いから寿命も長いと答える場面です。燃料の量に注目したところまでは正しい考えです。しかし、同じ時間にどれだけのエネルギーを外へ出すかも比べないと、使い切るまでの時間は決まりません。質量、光度、寿命を別の量として並べ、問題文に与えられた条件から比を作ってみましょう。

要点（結論から）

• 主系列星の主なエネルギー源は中心の水素核融合です。
• 主系列寿命は利用可能なエネルギーを平均光度で割るモデルで見積もります。
• 燃料割合が等しいとき、寿命比は質量比を光度比で割ります。

何を比べる問題か

1つ目は因果を説明する問題です。質量の大きい主系列星は重力によって内部が強く圧縮され、中心の温度や圧力が高くなりやすく、核融合が速く進みます。利用できる燃料が多くても、それ以上に消費の速さが増えれば、主系列にとどまる時間は短くなります。量と速さの両方を書いて初めて理由になります。

2つ目は、質量と光度の比から寿命を計算する問題です。使える燃料の割合が等しいという条件と、質量光度関係が成立する範囲を確かめます。関係式が問題文にない場合、特定の指数を勝手に選べません。光度は恒星が単位時間に放出する全エネルギーで、地球で受け取る見かけの明るさとは違います。

3つ目は、表や図からモデルの限界を読む問題です。燃料に使える割合が星によって違う場合や、光度が時間とともに変化する場合は、単純な質量比だけでは答えが決まりません。何を一定とみなしたかを明記し、そこから外れた条件が結果をどう変えるかを考えます。

燃料と光度から時間を作る

主系列星は、中心で水素からヘリウムへの核融合が主なエネルギー源となっている恒星です。内部の圧力と重力がほぼつり合うため、急激に収縮し続けずに光を放ちます。核融合で放出されたエネルギーは内部を伝わって表面から放射されます。主系列の期間は恒星の一生のうちの1段階であり、その終了は星が消滅する時刻を意味しません。

図1のように、寿命の見積もりには、使える燃料が生み出すエネルギーと、単位時間あたりの放出エネルギーの両方が必要です。図は量の関係を表す模式図で、箱の大きさや矢印の長さは実際の比を表しません。ここで求めるのは主系列の期間であり、現在の年齢や残り時間とは区別します。

図1の「燃料」は星全体の水素をそのまま数えた量ではなく、主系列の間にエネルギー源として利用できる量です。星のすべての物質が中心で反応するとは限りません。質量をM、利用できる燃料の質量割合をq、燃料の単位質量から得られるエネルギーを一定のεとすると、利用可能なエネルギーEは次のように表せます。

E = ε・q・M

光度をL、主系列の期間をtとし、その期間の平均光度を使います。放射以外へのエネルギーの出入りを無視する簡略モデルでは、放出したエネルギーは平均光度と時間の積なので、次の関係が成り立ちます。

E = L・t

t = ε・q・M/L

Eがエネルギー、Lがエネルギーを時間で割った量なので、E/Lの単位は時間です。実際には光度が変化し、エネルギー収支もより複雑です。一定の光度を用いる問題は、平均光度を代表値で近似したモデルと考えます。瞬間の光度が一定だと観測されたわけではありません。

2つの星A、Bでεが等しいとすると、上の式を割って次の比を得ます。分子と分母の並びをそろえることが、逆数の取り違えを防ぐ鍵です。

tA/tB = (qA/qB)・(MA/MB)/(LA/LB)

特にqも等しければ、寿命比は質量比を光度比で割った値です。質量が2倍で光度も2倍なら、燃料を使う割合が同じという条件では寿命は同じです。質量が2倍で光度がそれ以上の倍率なら寿命は短くなり、光度の倍率が2未満なら長くなります。「質量が大きい」だけで式の結果を決めず、2つの倍率を比べます。

問題である範囲の星についてLがMのα乗に比例すると与えられた場合、qが等しければtはMの(1-α)乗に比例します。この関係は、質量光度関係を上の式に代入した結果です。αが1より大きい場合には質量の大きい星ほど寿命が短くなります。指数も適用できる質量の範囲も問題の条件であり、あらゆる主系列星に同じ指数が成り立つという意味ではありません。

主系列は、温度と光度で恒星を並べたHR図で見られる帯です。横軸は左ほど高温、縦軸は上ほど光度が大きい図として考えます。帯に並ぶ異なる星を、1つの星が端から端まで移動する経路として読んではいけません。個々の星の温度や光度は主系列にいる間にも少しずつ変わりますが、帯そのものは異なる星の分布です。

例題1　倍率をそのまま割る

自作のモデル星AとBを考えます。主系列中の平均光度をそれぞれ一定の代表値で表し、利用できる燃料の質量割合と、燃料の単位質量あたりの放出エネルギーは等しいとします。Aの質量はBの2倍、平均光度はBの8倍です。Aの主系列寿命はBの何倍ですか。答えは既約分数で示し、主系列の期間全体を比べます。

図2のように、Bを基準にすると、Aの利用可能なエネルギーは2倍、放出の速さは8倍です。棒の長さは同じ項目の中で比を表していますが、エネルギーと光度の棒どうしの長さは単位が違うため比べません。

燃料の割合と単位質量あたりのエネルギーが等しいので、EA/EB = 2です。時間はエネルギーを光度で割って求めます。

tA/tB = (EA/EB)/(LA/LB)
tA/tB = 2/8
tA/tB = 1/4

答えはBの1/4倍です。Aの燃料は多いのですが、光度の増える倍率のほうが大きいため、使い切るまでの時間は短くなります。図2に戻り、Aが8倍の速さでBの1/4の時間だけ放出したとすると、放出量は8・(1/4) = 2倍です。与えられた利用可能エネルギーの比に戻るので、求めた時間は条件と一致します。

逆に8/2とすると4倍になり、その時間にAが出すエネルギーはBの32倍です。燃料に対応する2倍と合わないので、比の向きの誤りに気づけます。単位を揃えたエネルギーの比に戻す照合は、答えが分数か整数かにかかわらず有効です。

例題2　質量光度関係を使う

別の自作モデルで、質量が基準星Cの1倍以上3倍以下の主系列星について、平均光度Lは質量Mの3乗に比例すると仮定します。燃料として使える質量割合と単位質量あたりの放出エネルギーは等しいものとします。星Dの質量はCの3倍です。Dの平均光度と主系列寿命をそれぞれCの何倍か、整数または既約分数で求めます。

まず、DとCが指定された範囲に入ることを確かめます。次に問題の3乗という条件を光度比へ移します。

MD/MC = 3
LD/LC = 3³
LD/LC = 27
tD/tC = 3/27
tD/tC = 1/9

光度は27倍、寿命は1/9倍です。別解では、tがM/Lに比例するので、このモデルではtがM/M³、すなわちM⁻²に比例すると考えます。質量が3倍なら寿命は3⁻² = 1/9倍となり、同じ結果です。指数を引く操作は、質量と燃料が比例する条件を使った後で行います。

答えを元に戻すと、Dの放出量の比は27・(1/9) = 3です。質量比から得た燃料のエネルギー比3と合います。もしDの質量が指定範囲の外なら、同じ式を使える根拠が不足します。範囲外の星を扱うときは、適切な関係や直接与えられた光度を別に用意する必要があります。

例題3　燃料の割合が違うとき

自作の2つのモデル星P、Qについて、主系列中の平均光度と質量の比がLP/LQ = 16、MP/MQ = 4とします。Pで利用できる燃料の質量割合はQの1/2倍で、単位質量あたりの放出エネルギーは等しいとします。Pの主系列寿命はQの何倍ですか。既約分数で答え、割合の違いを無視した場合との違いも述べます。

まず、質量比と利用割合の比を掛け、利用できる燃料の比を作ります。その後、平均光度の比で割ります。

qP/qQ = 1/2
EP/EQ = (qP/qQ)・(MP/MQ)
EP/EQ = (1/2)・4
EP/EQ = 2
tP/tQ = 2/16
tP/tQ = 1/8

Pの寿命はQの1/8倍です。割合の違いを無視して燃料を4倍とすれば1/4倍になりますが、この値は問題の条件に合いません。逆算すると、正しい寿命比では16・(1/8) = 2となり、利用可能なエネルギーの比を再現します。誤った1/4倍では放出量が4倍となり、実際の条件で求めた2倍を超えます。

この例は、重い星の燃料が常に質量に正比例するとは限らないことを示します。水素の初めの割合、混合の程度、中心で使える範囲などが違えばqも変わりえます。どの程度違うかはここでは与えていないので決めません。寿命の比が与えられたとしても、qと光度のどちらが違うかはその比だけから一意には決まりません。

資料を作るときの条件と誤差

星の質量と光度の関係を調べるなら、まず主系列星として扱える対象を選び、それぞれの質量と全放射の光度を同じ基準で用意します。横軸に質量、縦軸に光度を取った資料を作り、どの範囲なら一定の指数で近似できるかを確かめます。広い範囲に1本の式を無理に当てはめるより、範囲ごとに残差を見ると、近似が外れる場所に気づけます。

見かけの明るさから光度を求める場合は距離や途中の減光が関係します。距離を誤れば光度の推定も変わり、そこから作る寿命の比にも影響します。観測された放射束を同じ値に保って距離を実際より大きく見積もると、逆算した光度は大きくなり、燃料の条件が等しければ寿命の推定値は小さくなります。光度の推定と寿命の推定は、それぞれ別の段階です。

観測資料では未分解の連星が1つの星に見え、合計の光が単独星の光度と取り違えられることもあります。色やスペクトルが似ていても、主系列星という分類や減光の条件を確かめずに光度を一意に決めてはいけません。質量、距離、光度の測定方法や不確かさを資料の脇に記し、比較する星の条件がそろっているかを点検します。

時間の推定でも、星が途中で質量を失う場合や光度が変化する場合は、単一の値を掛ける近似の精度が変わります。実際の変化を細かく扱うには時間ごとのエネルギー収支が必要です。高校の答案では、問題が与えた平均値と燃料割合を使い、どの条件で得た比かを答えに添えます。

間違いの位置を見つけて直す

図3のように、例題1でAの燃料が2倍というところから、寿命も2倍と結論すると、光度8倍を使っていません。矢印の先には、燃料の比を光度の比で割る操作を書きます。模式図は計算の順番を示し、箱の大きさは量の比を表しません。

誤答「燃料が2倍だから寿命は2倍」の理由は、燃料の量と時間あたりの消費量を同じものと扱ったことです。図3のように光度を併記し、2/8 = 1/4と直します。使う順番を声に出すなら「Aのエネルギー比を、Aの光度比で割る」です。AとBを逆にして両方の比を作り直しても、結果は互いに逆数になります。

別の誤りは、光度が8倍だから寿命は必ず1/8倍とすることです。燃料が等しいときに限ればこの考えは通りますが、例題1では燃料が2倍です。燃料と光度を2行に分けて書けば、片方を落としたことが見えます。式を作る前に、それぞれが何倍かという言葉を横に添えるとよいでしょう。

さらに、質量光度関係の指数を覚えて全範囲に当てはめる間違いがあります。問題に与えられた指数と範囲を囲み、対象の質量をその範囲と照らします。範囲の指定がない、または対象が外れている場合は、その式による答えを断定できないと判断します。見かけの明るさを光度として代入する誤りも、距離がそろっていないかもしれないという条件の確認で防げます。

手を動かす5問

以下はすべて自作のモデルです。各問で主系列中の平均光度を代表値で表し、燃料の単位質量あたりに得られるエネルギーは星どうしで等しいとします。比は正の値として扱い、近似の丸めは不要です。答えは各問の後にまとめず、5問を解いてから次の節を見てください。

1. 星Eの質量は星Fの5倍、平均光度は25倍です。燃料として使える質量割合が等しいとき、Eの主系列寿命はFの何倍ですか。既約分数で求めます。
2. 星Gの質量は星Hの1/2倍、平均光度は1/8倍です。燃料として使える質量割合が等しいとき、Gの寿命はHの何倍ですか。整数で求めます。
3. 星Jの質量は星Kの6倍、平均光度は18倍です。Jの燃料として使える質量割合はKの2/3倍です。Jの寿命はKの何倍ですか。既約分数で求めます。
4. ある範囲の主系列星では平均光度が質量の4乗に比例するとします。星Nの質量は同じ範囲の星Mの2倍で、燃料として使える質量割合は等しいとします。Nの平均光度と寿命はMの何倍ですか。それぞれ整数または既約分数で求めます。
5. 自作資料で、星Uの利用可能な燃料のエネルギーは星Vの3倍、平均光度は9倍と示されています。別の星WはVと同じ利用可能エネルギーで、平均光度はVの1/2倍です。U、V、Wの主系列寿命を長い順に並べ、Vを基準とした各比を既約分数または整数で示します。

5問の答えと確かめ方

1. 燃料のエネルギー比は質量比と同じ5です。したがって寿命比は5/25 = 1/5です。Eが25倍の速さで1/5倍の期間に出すエネルギーは25・(1/5) = 5倍となり、条件に戻ります。

2. 燃料のエネルギー比は1/2です。光度比1/8で割ると、(1/2)/(1/8) = 4です。Gの寿命はHの4倍です。逆に、1/8倍の速さで4倍の期間に出すエネルギーは1/2倍であり、燃料の比に合います。質量が小さくても光度がより大きな割合で小さくなることが、この結果につながります。

3. 使える燃料の比は6・(2/3) = 4です。寿命比は4/18 = 2/9です。18・(2/9) = 4と戻せるので、利用割合を含む条件に合います。質量の6倍だけを分子にすると燃料割合の違いを落としてしまいます。

4. 光度比は2⁴ = 16で、寿命比は2/16 = 1/8です。NはMの16倍の光度で1/8倍の期間だけ放射するため、エネルギーは2倍となり、燃料割合が等しいときの質量比に一致します。問題で与えた4乗を、この範囲以外にも使えるとは限りません。

5. Uの寿命は3/9 = 1/3倍、Vは基準なので1倍、Wは1/(1/2) = 2倍です。長い順はW、V、Uです。放出量に戻すと、Uは9・(1/3) = 3倍、Wは(1/2)・2 = 1倍です。どちらも自作資料の燃料エネルギー比と合います。比が正で、順序も数値と一致しています。

要点を手元に残す

• 主系列星の主なエネルギー源は中心の水素核融合です。
• 主系列寿命は利用可能なエネルギーを平均光度で割るモデルで見積もります。
• 燃料割合が等しいとき、寿命比は質量比を光度比で割ります。
• 質量光度関係の指数と適用範囲は問題の条件として確かめます。
• 答えに光度比を掛け、燃料のエネルギー比を再現できるか調べます。

どこで考えが止まったかを見分ける

答案が「重いから長い」で止まるときは、燃料と光度の2行を作り、各倍率を別々に書けるか確認します。比の式が立っていても答えが逆になった場合は、基準にした星を分子と分母の両方でそろえ、放出量へ戻して確かめます。式は合うのに説明が曖昧なら、「燃料が増える倍率より消費の速さが増える倍率が大きい」という比較を言葉にします。

個別指導では、まず問題文から主系列の期間、平均光度、燃料割合を指で示してもらい、その後で式と図の矢印を対応させます。指数が示されない問題では何が不足するかも尋ねます。燃料と放出の速さを別々に見ると、星の寿命を決める比が見えてきます。