高校地学 太陽放射と距離—球面への広がりから受け取るエネルギーを求める｜武蔵野個別指導塾

距離を倍にしたときの受光量と、斜めの面に届く量を、球面の広がりと投影面積から求めます。

よくあるのは、太陽からの距離が倍なら放射束も半分になる、と高校生が考える場面です。遠くなるほど弱くなるという方向は合っていますが、エネルギーが広がる先は線ではなく球面です。さらに、同じ場所でも受ける面を傾けると、面の単位面積に入る量は変わります。距離による広がりと面の向きによる変化を分けて考えましょう。ここでは大気による吸収や地球の熱収支、気候には踏み込みません。

何を比べる問題か

計算の型では、距離を変えたときの放射束の比を求めます。太陽が単位時間に放つエネルギーを一定とし、途中で吸収されず、あらゆる方向へ一様に広がるという条件を置きます。距離の比をそのまま明るさの比にせず、球面の面積の比を経由するのが要点です。

図の読解では、同じ光の束が垂直な面と傾いた面にどのように当たるかを読みます。面の広さそのものと、光の進行方向に垂直な平面に映した広さは別です。どちらの面積を使うかを決めてから式を作ります。

説明の型では、測定値が理想の比と一致しない原因を考えます。距離や面の角度だけで結論を出せるか、遮蔽、検出器の向き、測定する波長の範囲なども確かめます。理想式が外れたことは直ちに法則の否定を意味せず、条件と測定値の両方を調べる入口になります。

光度から面に届く量へ

光度 L は、太陽が単位時間に放出する放射エネルギーです。単位は W で、1 W は 1秒あたり 1 J です。一方、放射束 F は、光の進行方向に垂直な単位面積を単位時間に通過するエネルギーとして扱います。単位は W/m² です。光源全体の出力と、ある位置の面積あたりの受け取り量を区別します。

図1のように、太陽を点状の光源とみなし、放射が等方的に広がるとします。半径 r の球面全体を通過するエネルギーの単位時間あたりの量は L で、1秒間のエネルギーは L・1 s です。球の面積は 4πr² なので、面上で一様な放射束は L をその面積で割ったものになります。図は概念を示す模式図で、太陽の大きさや距離は実寸比ではありません。

図1の内側と外側の球面を通過する総量は、吸収や散乱がなければ等しくなります。しかし外側では同じ総量がより広い面へ分配されます。したがって、光度を一定とすると F=L/(4πr²) です。距離が2倍なら球面積は4倍になり、放射束は1/4です。光が移動中に消えるために弱まるのではなく、広がった面積あたりの量が小さくなります。

ここでの r は太陽の中心からの距離です。点光源の近似は、受光点までの距離が光源の大きさに比べて十分大きい場合に使います。面積は長さの2乗で増えるため、距離の単位をそろえることも必要です。比を取るなら共通する 4π と L が消え、2地点 A、B について FＢ/FＡ=(rＡ/rＢ)² となります。添え字は地点を表し、放射束の比では距離の順序が逆になります。

次に面の向きを考えます。面積 A の平面の法線と光の進行方向がなす角を θ とすると、光に垂直な平面への投影面積は A cosθ です。0°から90°の範囲で、面全体が一様に照らされるなら、単位時間に受けるエネルギーは P=F A cosθ です。単位面積あたりでは F cosθ です。θ は光と面そのものの角度ではなく、光と面に垂直な線との角度です。0°なら正面、90°なら理想的な平面を光がかすめて投影面積は0です。

距離を固定して面を回すと、同じ幅の光束が傾いた面では広い面積に分かれて届きます。受け取る面積を固定する場合には、その面の光に向いた見かけの広さが小さくなると考えても同じです。光の向きと逆向きの法線を選ぶと角度の表し方が変わるので、答案には入射側を向いた法線と角度を図示します。

球面の比と受光面の計算

以下の数値は計算のための自作条件であり、実際の太陽の観測値ではありません。πは比で消えるので数値を代入しません。角度に使う cos60°=1/2、cos45°=√2/2 も問題の条件とします。

例題1　距離を変える

太陽を等方的な点光源とし、途中の吸収を無視します。距離 R の場所で光に垂直な面における放射束が 900 W/m² です。距離 3R の場所の放射束を整数で求めてください。

F₂/F₁=(R/(3R))²
F₂/F₁=1/9
F₂=900/9
F₂=100 W/m²

距離が3倍になると、球面積は9倍です。図2のように、総量が同じまま面積が9倍になり、単位面積に分けられる量が1/9になります。図は模式図で、太陽や距離の実寸比を表していません。

図2の値を逆向きに確かめると、100 W/m² の場所から距離を1/3に戻した場合、放射束は9倍の 900 W/m² です。答えは正で、指定の単位も一致します。別解として、球面積に放射束を掛けた値が両地点で等しいと置いても同じ比が出ます。

例題2　面を傾ける

ある距離の放射束を 800 W/m² とします。面積 2.0 m² の平面の法線と光の進行方向が 60° です。cos60°=1/2 とし、遮蔽や吸収を無視して、この面が1秒に受けるエネルギーを有効数字2桁で求めてください。

投影面積=2.0・1/2
投影面積=1.0 m²
P=800・1.0
P=8.0・10² W
1秒のエネルギー=8.0・10² J

放射束に掛けるのは 2.0 m² ではなく、その投影面積です。答えを投影面積で割ると 800 W/m² に戻ります。1 W は 1 J/s ですから、1秒間のエネルギーを J で表せます。同じ面を正面に向ければ投影面積は 2.0 m² となり、受け取る率は2倍です。距離の変化と角度の変化は別々の要因です。

距離と角度を同時に変える

例題3　2つの測定条件

距離 R で法線を光の方向に向けた面の単位面積あたりの受光率を 360 W/m² とします。距離を 2R に変え、法線と光の角度を 60° にします。cos60°=1/2、等方放射、吸収なしとし、新しい面の単位面積あたりの受光率を整数で求めてください。

距離による放射束の比=(R/(2R))²
距離による放射束の比=1/4
新しい位置の放射束=360/4
新しい位置の放射束=90 W/m²
傾いた面の受光率=90・1/2
傾いた面の受光率=45 W/m²

まず距離による変化を求め、次に面の向きを反映しました。別解は、距離の因子 1/4 と角度の因子 1/2 を掛けて 360/8 とする方法です。逆に45を角度の因子で割って90とし、距離の因子で割れば360に戻ります。比較する面の面積が同じでなくても、単位面積あたりの量ならこの式で比べられます。

測定を設計するなら、太陽を直接見るのではなく、配布された画像や自作の測定表を用います。学校の指導の下で、表に記載された距離と面の法線の角度をそろえ、1項目ずつ変えた組を比較します。たとえば距離の効果を調べる組では角度と検出器を固定し、角度の効果を調べる組では距離を固定します。検出器の面積や感度が違えば、受光率の違いを距離だけに帰すことはできません。

実際の資料では、測定角度の読み取り、距離の基準点、遮蔽物、検出器の応答の違いが結果をずらしえます。照射が一定でなかった場合も、時刻の違う2回の値をそのまま比べると距離の影響と混ざります。複数回の測定と条件の記録を行い、同じ条件でのばらつきと条件を変えた差を見比べます。波長範囲の違う測定値は、そのまま全放射の比較に使えません。

誤答の分岐点

図3のように、距離を2倍にしたのに放射束を1/2とする誤答は、広がりを長さだけで考えた結果です。球面の縦と横の両方の尺度が2倍なので、面積は4倍になります。光度一定、吸収なしという条件の下では、正しい比は1/4です。図3も模式図で、球面の大きさは実寸比ではありません。

図3の訂正では、距離の比を書いた次の行に球面積の比を書きます。その次に放射束の比を逆数として置けば、距離を2倍にして放射束も2倍にする誤りも避けられます。遠くなると単位面積あたりの量は減る、という定性的な確認も加えましょう。

もう1つの誤りは、面と光の角度をそのまま法線との角度にすることです。問題の角度が面との角度なら、直角から引いて法線との角度を求めます。面が光に正対する極端な配置を想像し、そのとき因子が1になるかを確かめると、使う角度を判定しやすくなります。単位についても、W/m² に m² を掛けた結果は W であり、時間を掛けるまでは J ではありません。

練習問題

次の5問は自作の条件です。光は等方的に放たれ、途中の吸収と遮蔽を無視します。各問で太陽の放射は一定とし、必要な値は問題中に示します。

1. 距離 D の位置で放射束が 720 W/m² です。距離 2D の位置の放射束を整数で求めてください。
2. 距離 4D の位置で放射束が 30 W/m² です。距離 D の位置の放射束を整数で求めてください。
3. 放射束が 600 W/m² の場所に面積 3.0 m² の面を置きます。法線と光の角度が60°で、cos60°=1/2 です。面が4.0秒間に受けるエネルギーを有効数字2桁で求めてください。
4. 距離 D の位置で正面を向けた面の単位面積あたりの受光率が 400 W/m² です。距離 2D で法線と光の角度を60°としたときの受光率を整数で求めてください。cos60°=1/2 とします。
5. 同じ距離の2つの面の法線と光の角度がそれぞれ0°と45°です。cos45°=√2/2 とします。面積が等しい2つの面が同じ時間に受けるエネルギーを比べ、45°の面は0°の面の何倍か、根号を使って答えてください。理由には投影面積という語を用いてください。

練習の答えと戻し方

1. 答えは 180 W/m² です。距離の比は2なので、放射束の比は 1/2²=1/4 です。720/4=180 と求めます。180に4を掛けると720となり、元の距離へ戻した放射束を再現します。

2. 答えは 480 W/m² です。距離を 4D から D にすると1/4になり、球面積は1/16です。放射束は16倍なので 30・16=480 です。480を16で割ると30となり、遠い位置の条件に戻ります。距離を小さくした結果が大きいことも確かめます。

3. 答えは 3.6・10³ J です。投影面積は 3.0・1/2=1.5 m²、受光率は 600・1.5=900 W です。4.0秒では 900・4.0=3600 J です。3600を4.0秒と1.5 m²で順に割ると 600 W/m² に戻ります。時間を掛けて初めてエネルギーの単位になります。

4. 答えは 50 W/m² です。距離を2倍にすると放射束は 400/4=100 W/m² です。傾きの因子 1/2 を掛けて 100/2=50 W/m² です。50を1/2で割り、さらに1/4で割れば400に戻ります。面の傾きと距離を同じ因子として扱わないことが鍵です。

5. 答えは √2/2 倍です。同じ距離では両面に入る放射束は同じです。等面積の投影面積の比が cos45°/cos0°=√2/2 なので、同じ時間に受けるエネルギーの比も √2/2 です。0°側の量にこの比を掛けると45°側の量が再現され、因子は0と1の間に収まります。

要点を手元に

光度は光源全体の単位時間あたりの放射エネルギーです。
等方放射で吸収がなければ放射束は距離の2乗に反比例します。
平面が受ける率は放射束に投影面積を掛けて求めます。
距離、角度、面積、時間を別の因子として追います。

答案のどこで止まったか

個別指導では、まず光源から2つの球面までの距離を書き、球面積の比と放射束の比を矢印で結べるかを確かめます。距離の比は正しくても放射束を同じ向きの比にしていれば、球面全体を通る量が一定という条件に戻ります。図の中に単位面積を取ると、総量と面積あたりの量の違いが見えます。

面の問題では、光線、面、法線、角度の4つが答案で対応しているかを見ます。角度が面から測られているのに法線からの角度として使った場合は、正面と真横の配置を描き直します。最後に得た値を元の条件に戻し、単位と増減の向きを照合すると、計算の誤りと条件の読み違いを分けて探せます。太陽放射の広がりは、面積の比から読み解けます。