高校数学C 放物線の決定—通る点と焦点の条件から係数と向きを絞り込む｜武蔵野個別指導塾

通過点を横向きと縦向きの2式へ代入し、焦点までの距離を照らして候補が0本・2本となる場合も判定します。

よくあるのは、理系の高校3年生が1点を通る条件を式に入れた後、横向きと縦向きの候補を混ぜてしまう場面です。点の座標を代入する操作は同じでも、二乗する座標と焦点の位置は違います。焦点までの距離が追加されると、候補を増やす条件なのか、候補を選ぶ条件なのかも整理する必要があります。頂点を原点、軸を座標軸に限って、候補を作る順番と元の条件へ戻す順番を追います。

何が決まると式が決まるか

問題の出方は大きく3種類あります。第1は軸の向きと通過点が与えられる型です。向きが横なら y² = 4px、縦なら x² = 4py と置き、点を代入します。ただし p = 0 は放物線の条件から除きます。通過点の位置によっては、係数が決まらないことや、条件に合う曲線が存在しないこともあります。

第2は軸の向きが指定されない型です。横と縦を別々に調べ、両方が条件を満たせば2本とも答えます。片方で割れないときに、もう一方の式の計算結果を流用してはいけません。原点はどの候補にも通るため、原点を通るという条件だけでは係数は決まりません。

第3は通過点に焦点までの距離が加わる型です。通過点だけで作った候補について焦点を求め、その点から焦点までの距離を調べます。距離は常に0以上なので、距離の二乗を使う際も、指定された距離が負ではないことを先に確かめます。候補を絞った後、式と距離の両方へ答えを戻せば、存在と個数が確定します。

横と縦の候補を分ける

実数 p が0でないとき、横向きの標準形は y² = 4px です。焦点は F(p, 0)、準線は x = -p です。p > 0なら右、p < 0なら左へ開きます。縦向きは x² = 4py で、焦点は F(0, p)、準線は y = -p です。p > 0なら上、p < 0なら下へ開きます。pは符号つきの座標であり、焦点と原点の距離 |p| とは区別します。

図1のように、同じ正の p でも焦点は異なる軸上にあります。横向きの曲線の点 P(a, b) は b² = 4pa、縦向きでは a² = 4pb を満たします。aとbがともに0でなければ、各式からそれぞれ1つの非零のpが決まるので、2本の候補があります。2本の軸は異なるため、同じ曲線として数えません。

一方、Pが原点なら両式は常に成り立ちます。したがってpを決める情報は得られず、横にも縦にも無数の候補があります。Pが原点以外のx軸上なら、横向きでは0 = 4paからp = 0となり不適です。縦向きでは非零の数が0に等しくなるため不可能です。y軸上も同様で、原点以外の軸上の点を通る候補はありません。

この結論は計算の手順にも役立ちます。分母になる座標が0かどうかを先に見れば、0で割る事故を防げます。例えば横向きの式をpについて解く前にa = 0を確認し、0なら元の b² = 4pa に戻ります。bも0なら恒等式、bが0でなければ矛盾です。割れない場合を計算不能として捨てず、元の式で意味を判定します。

基本例題：通過点から両方を作る

頂点が原点、軸が座標軸で、点 P(2, 4) を通る放物線をすべて求め、方程式を整数係数で表してください。

軸の向きは指定されていません。まず横向きに y² = 4px、p ≠ 0 と置きます。Pを代入すると、次のようになります。

4² = 4p・2
16 = 8p
p = 2

pは非零ですから横向きの候補は y² = 8x です。焦点は (2, 0)、準線は x = -2 です。次に縦向きの x² = 4py に同じ点を代入します。

2² = 4p・4
4 = 16p
p = 1/4

こちらもpは非零なので、縦向きの候補は x² = y です。焦点は (0, 1/4)、準線は y = -1/4 です。どちらも正のpなので、それぞれ右と上に開きます。

図2のように2本はPを共有しますが、軸も焦点も異なります。実際にPを戻すと、横向きは 4² = 8・2、縦向きは 2² = 4 です。さらに横向きでは焦点までの距離が4、準線までの距離も |2 + 2| = 4 です。縦向きでは焦点までの距離の二乗が 2² + (4 − 1/4)² = 289/16、距離は17/4で、準線までの距離 |4 + 1/4| と一致します。

候補を作る計算だけでなく、距離も戻してみると、横のpと縦のpを取り違えたときに矛盾が表れます。標準形に代入できることと、問題の点が焦点と準線から等距離にあることは、ここでは同じ候補を別の方向から確かめています。

標準例題：焦点距離で候補を選ぶ

頂点が原点、軸が座標軸で、点 Q(3, 6) を通り、Qから焦点までの距離が 15/2 の放物線をすべて求め、方程式を整数係数で表してください。

Qの両座標は非零なので、横と縦にそれぞれ候補があります。横向きから順に計算します。

6² = 4p・3
36 = 12p
p = 3

横の候補は y² = 12x、焦点は (3, 0) です。Qからの距離は6なので、指定の15/2とは一致しません。通過点の条件は満たしても、距離の条件で除きます。

縦向きでは次のとおりです。

3² = 4p・6
9 = 24p
p = 3/8

候補は x² = (3/2)y、すなわち 2x² = 3y です。焦点は (0, 3/8) で、Qから焦点までの距離の二乗を計算します。

3² + (6 - 3/8)²
= 9 + (45/8)²
= 2601/64

距離は51/8であり、15/2ではありません。したがって条件を満たす放物線は存在しません。候補が2本作れても、追加条件に通るとは限らないことに注意してください。なお、距離が51/8と指定されていたなら、縦向きの候補が残ります。その場合、準線 y = -3/8 までの距離も 6 + 3/8 = 51/8 で、元の等距離条件と一致します。

存在しないと結論するには、横と縦の両方を調べ終える必要があります。先に1本が不適とわかった段階では、もう一方の候補が残っています。また二乗した距離が指定距離の二乗と違えば不適ですが、一致した場合は指定距離が非負かも確認します。距離の二乗が一致するだけでは、負の数を距離として採用できないからです。

発展例題：距離から向きと符号を復元する

頂点が原点、軸が座標軸の放物線が点 R(-4, 2) を通ります。Rから焦点までの距離が5であるとき、条件を満たす方程式をすべて求め、整数係数で表してください。

通過点から横向きのpを決めます。

2² = 4p・(-4)
4 = -16p
p = -1/4

横向きの候補は y² = -x、焦点は (-1/4, 0) です。Rから焦点までの距離の二乗は次の値です。

(-4 + 1/4)² + 2²
= 225/16 + 64/16
= 289/16

距離は17/4であり5ではありません。次に縦向きの候補を求めます。

(-4)² = 4p・2
16 = 8p
p = 2

縦向きの候補は x² = 8y、焦点は (0, 2) です。Rから焦点までの距離は4で、これも5ではありません。よって該当する放物線はありません。横向きはpが負で左へ、縦向きはpが正で上へ開きます。符号を絶対値に変えてから焦点を置くと、別の点までの距離を測ることになるので避けます。

逆に、距離の値を未知のまま考えると、この点について実現できる焦点距離は横の17/4と縦の4です。これは候補を漏れなく求めた後に得られる結論です。両者は異なるため、どちらかの値を指定すれば向きも1つに決まります。一般に、通過点の両座標が非零でも、焦点距離が同じになる場合があるので、この例だけから常に一意だと決めてはいけません。

一般の点 (a, b) について、横と縦の準線までの距離は、それぞれ |a + b²/(4a)| と |b + a²/(4b)| です。a、bが非零であることが分母を作る条件です。たとえば a = b ≠ 0 ならこの2つは等しく、焦点距離を加えても2本が残ります。距離の条件が向きを必ず決めるとは限らない、という反例です。

誤答から割る前の条件へ戻る

点 S(5, 0) を通る横向きの放物線を考えます。「0² = 4p・5 だから p = 0、よって y² = 0 が答え」という解答は誤りです。計算自体は0 = 20pを正しく解いていますが、p ≠ 0という放物線の条件を忘れています。y² = 0が表すのはx軸であり、焦点と準線が分かれた放物線ではありません。

図3のように、横向きの候補では原点以外の軸上の点を通るためにpが0になってしまいます。修正するには、代入前にp ≠ 0を書き、得られたpがその条件に適合するかを最後に照合します。縦向きも調べるなら 5² = 4p・0、すなわち25 = 0となり矛盾です。向きが未指定でもSを通る候補はありません。

別の誤りは原点を代入して0 = 0となったとき、p = 0と決めることです。この等式はpに制限を与えません。非零の実数pを動かせば、横向きにも縦向きにも候補があります。矛盾、恒等式、禁止された値の3つは結論が異なります。式を眺めるときは、数値が出たかどうかより、未知数にどんな制限が生じたかを言葉で書いてください。

練習：先に5問を解く

いずれも頂点は原点、軸は座標軸とし、p ≠ 0とします。方程式を求める問題は整数係数で表してください。距離の問題は分数または整数で答えてください。

1. 横向きで点 (3, -6) を通る放物線の方程式と焦点を求めてください。
2. 縦向きで点 (8, -4) を通る放物線の方程式と焦点を求めてください。
3. 点 (4, 4) を通り、その点から焦点までの距離が5である放物線をすべて求めてください。
4. 点 (0, -3) を通る放物線の本数を求めてください。
5. 原点を通り、焦点と原点の距離が3である放物線の方程式をすべて求め、本数を答えてください。

練習の答えと戻し方

1の解答

横向きなので y² = 4px に代入します。

(-6)² = 4p・3
36 = 12p
p = 3

答えは y² = 12x、焦点は (3, 0) です。代入すると36 = 12・3で、点から焦点までの距離は6です。準線 x = -3 までの距離も |3 + 3| = 6なので、元の距離条件に戻ります。

2の解答

縦向きの x² = 4py に代入します。

8² = 4p・(-4)
64 = -16p
p = -4

答えは x² = -16y、焦点は (0, -4) です。点を戻すと64 = -16・(-4)です。焦点までの距離は8、準線 y = 4 までの距離も |-4 − 4| = 8です。pが負なので下向きに開き、点のy座標の符号とも合います。

3の解答

横向きでは16 = 16pよりp = 1、縦向きでも16 = 16pよりp = 1です。候補は y² = 4x と x² = 4y です。どちらも指定点を代入すると16 = 16となります。

横の焦点 (1, 0) までの距離の二乗は (4 − 1)² + 4² = 25、縦の焦点 (0, 1) までの距離の二乗も 4² + (4 − 1)² = 25です。距離はともに5です。準線までの距離もそれぞれ |4 + 1| = 5ですから、答えは2本ともです。距離が同じであっても軸が異なり、同じ曲線ではありません。

4の解答

横向きでは (-3)² = 4p・0、すなわち9 = 0となり不可能です。縦向きでは 0² = 4p・(-3) からp = 0となりますが、これは条件に反します。したがって0本です。いずれも元の式で矛盾または禁止値を確認したので、割り算によって候補を消していません。

5の解答

原点の代入はどちらの向きでも0 = 0です。焦点と原点の距離は |p| なので、追加条件からp = 3またはp = -3です。横向きと縦向きにそれぞれ適用します。

y² = 12x
y² = -12x
x² = 12y
x² = -12y

答えはこの4本です。すべて原点を通り、焦点は順に (3, 0)、(-3, 0)、(0, 3)、(0, -3) で、原点からの距離は各3です。いずれもpは非零です。原点から各準線までの距離も3なので、距離条件にも戻ります。

手元に残す要点

• 横向きは y² = 4px、縦向きは x² = 4py、どちらもp ≠ 0です。
• 点を代入する前に軸の向きと、割る座標が0かを分けます。
• 焦点には符号つきのpを置き、距離は非負で計算します。
• 候補を通過点と焦点距離へ戻し、0本・1本・複数本を判定します。

どこで止まったかを見分ける

2本の候補を出せないときは、最初に書いた標準形と、二乗した座標を見比べます。横向きでxを二乗していたら焦点の位置から描き直し、縦向きとの違いを言葉にします。計算後にp = 0を採用した場合は、代入式の解と放物線として許される値を別々に丸で囲むと、どこで条件を落としたか追えます。

個別指導で確かめるなら、まず自分の式に指定点を代入して左右が一致するか、その次に焦点の座標から実際の距離を計算できるかを見ます。原点や軸上の点では、割る前の式が恒等式か矛盾かも声に出して判定します。候補を作った理由と除いた理由がつながれば、放物線の本数を根拠を持って答えられます。