武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学III 高次導関数の規則性—数回の微分から一般の形を予想し証明する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 微分法を掘り下げる

三角関数の4回周期と指数関数との積から一般形を予想し、初期値と次の段階への移行を証明する方法を学べます。

演習ノートで、数項の一致だけで証明を終える場面はよくあります。何度か微分して形が繰り返されても、途中で別の形が現れないことは、観察した行だけからは言えません。次の1回で予想の形が保たれる理由まで示すと、任意の回数についての結論につながります。

どこに規則を探すか

第1に、正弦や余弦を繰り返し微分し、指定された回数での符号と関数を求める問いがあります。回数を4で割った余りに注目すると、長い計算を続けずに位置を決められます。角の係数が1以外なら、微分のたびにその係数も掛かります。

第2に、指数関数と三角関数の積を繰り返し微分し、一般の式を求める問いがあります。指数関数は微分後も残りますが、三角関数の係数は積の微分によって混ざります。数回計算して係数の変化を見つけ、帰納法で次の段階に移せるかを確かめます。

第3に、一般式が与えられ、それが本当に高次導関数を表すかを証明する問いがあります。最初の値が合うことと、ある回で成り立つと仮定した式を微分すると次の回の式になることは、別々に示します。ここで扱うのは微分の反復とその証明であり、グラフの凹凸には進みません。

微分の回数を数える

関数 f がある区間で微分可能なとき、その導関数を f′ と書きます。さらに f′ が微分可能なら、その導関数を第2次導関数 f″ と呼びます。同様に微分を繰り返して得られる第n次導関数を f⁽ⁿ⁾ と書きます。数え始めをそろえるため、ここでは f⁽⁰⁾ = f とします。第n次までの導関数が存在することは、記号を使う前に確認します。

例えば sin x と cos x は実数全体で何度でも微分可能です。角は弧度法で表し、(sin x)′ = cos x、(cos x)′ = -sin x を使います。図1のように、矢印を1本進むことが1回の微分に対応します。

図1では4本の矢印を進むと最初の sin x に戻ります。したがって n = 4q + r、q は0以上の整数、r は0、1、2、3のいずれかとすると、第n次導関数は順に sin x、cos x、-sin x、-cos x です。0回目を出発点とするため、余り1は sin x ではなく cos x です。

この説明を任意の回数に適用するには、4回微分すると元の関数に戻ることを使います。実際、上の4段階の各微分が実数全体で成り立ちます。4q回で元に戻るならさらに4回後も戻るので、qについての数学的帰納法で任意のqに広がります。その後にr回進めば余りによる4つの答えが得られます。

角が ax + b の場合、a、bを定数として合成関数の微分を使います。1回微分するたびに角の導関数 a が掛かるので、符号や sin、cos の周期に加えて a のn乗が付きます。a が負なら、その符号も乗数の中に含まれます。例えば2回目には a を2回掛けるので a² です。a = 0でも元の関数は定数であり、1回以上の導関数は0です。0回目には別に元の関数を扱えば、0の0乗を考える必要はありません。

数学的帰納法は、最初の段階の確認と、次へ進む操作の2つからなります。0以上の整数nについての式なら、まず n = 0 で元の関数と一致させます。次に n = k で式が正しいと仮定し、両辺を微分して n = k + 1 の式を得ます。仮定した式を微分できることも必要です。数項の一致は予想の手掛かりであり、次の段階へ進む証明とは役割が異なります。

基本例題：角の係数も数える

関数 f(x) = sin(3x) について、f⁽ⁿ⁾(x) を n を4で割った余りごとに求めてください。n は0以上の整数、角は弧度法とします。答えは sin(3x)、cos(3x) と整数の3の累乗を用いて表します。

まず実数全体で各導関数が存在します。合成関数の微分を順に使うと、次のようになります。

f⁽⁰⁾(x) = sin(3x)
f′(x) = 3cos(3x)
f″(x) = -9sin(3x)
f⁽³⁾(x) = -27cos(3x)
f⁽⁴⁾(x) = 81sin(3x)

図2のように、関数の部分は4段階で戻り、係数は毎回3倍になります。4回で元の式そのものに戻るわけではなく、81倍になって戻る点が重要です。

n = 4q + r とし、r = 0、1、2、3 とします。予想する答えは順に次の4つです。

r = 0：3のn乗 × sin(3x)
r = 1：3のn乗 × cos(3x)
r = 2：-3のn乗 × sin(3x)
r = 3：-3のn乗 × cos(3x)

ここで「-3のn乗」は、3のn乗に負号を付けたものです。n = 0 では最初の式が元の f と一致します。n = k で該当する式が成り立つと仮定すると、各行を微分した結果は次の行に移り、係数は3倍になります。余り3の行を微分した場合も、-cos(3x) の微分は 3sin(3x) なので、余り0の行に移ります。指数も k から k + 1 に増えます。よって帰納法により、示した4つの式は任意の n で成立します。

例えば n = 5 なら余りは1です。4回目の 81sin(3x) をもう1回微分すると 243cos(3x) であり、一般式も同じ結果を返します。この照合は添字や係数の取り違えを見つける助けですが、それ自体は一般の証明ではありません。

標準例題：指数関数と正弦の積

f(x) = eˣ sin x とします。実数全体で f⁽ⁿ⁾(x) を求め、三角関数を sin と cos で表してください。n は0以上の整数、角は弧度法です。

指数関数と三角関数はいずれも実数全体で何度でも微分可能です。積の微分を2回行います。

f′(x) = eˣ sin x + eˣ cos x
       = eˣ(sin x + cos x)
f″(x) = eˣ(sin x + cos x) + eˣ(cos x - sin x)
       = 2eˣ cos x
f⁽³⁾(x) = 2eˣ cos x - 2eˣ sin x
       = 2eˣ(cos x - sin x)
f⁽⁴⁾(x) = 2eˣ(cos x - sin x) + 2eˣ(-sin x - cos x)
       = -4eˣ sin x

1回目では、指数関数を微分した項と正弦を微分した項の両方が必要です。2回目で sin x の項が消え、4回目は元の関数の -4 倍になりました。この関係が後の導関数にも続くことを証明します。

任意の0以上の整数 k について f⁽ᵏ⁺⁴⁾ = -4f⁽ᵏ⁾ と主張します。k = 0 では上の計算で成立します。k で成立すると仮定し、両辺を微分すると f⁽ᵏ⁺⁵⁾ = -4f⁽ᵏ⁺¹⁾ です。両辺の導関数は存在し、定数 -4 はそのまま外に出せます。これは k + 1 の場合なので、帰納法により主張が成立します。

そこで n = 4q + r、r = 0、1、2、3 とすると、答えはそれぞれ次のとおりです。

r = 0：(-4)のq乗 × eˣ sin x
r = 1：(-4)のq乗 × eˣ(sin x + cos x)
r = 2：(-4)のq乗 × 2eˣ cos x
r = 3：(-4)のq乗 × 2eˣ(cos x - sin x)

4回進む操作をq回繰り返し、残りのr回は最初の4行から選びました。q = 0 のときも係数は1です。元の関数に戻して n = 0 を確かめると、最初の行は確かに eˣ sin x です。指数関数があるため、三角関数の単純な4回周期だけをそのまま使うことはできません。

発展例題：係数の更新を証明する

f(x) = e²ˣ cos x とします。n を0以上の整数として、f⁽ⁿ⁾(x) = e²ˣ(Aₙ cos x + Bₙ sin x) と表します。A₀、B₀と、Aₙ₊₁、Bₙ₊₁を Aₙ、Bₙ で表す式を求め、その形が各 n で成り立つことを証明してください。あわせて f⁽³⁾(x) を求めます。角は弧度法です。

実数全体で指数関数と三角関数は何度でも微分可能です。元の式と比較すれば A₀ = 1、B₀ = 0 です。n = k の形が成り立つとし、Aₖ、Bₖ は x によらない定数として微分します。

f⁽ᵏ⁺¹⁾(x) = 2e²ˣ(Aₖ cos x + Bₖ sin x)
             + e²ˣ(-Aₖ sin x + Bₖ cos x)
           = e²ˣ((2Aₖ + Bₖ)cos x + (2Bₖ - Aₖ)sin x)

したがって Aₖ₊₁ = 2Aₖ + Bₖ、Bₖ₊₁ = 2Bₖ − Aₖ です。初期値からこの2式で定数を順に定めれば、今の計算は k + 1 の形そのものです。初期段階と次の段階が確認できたので、帰納法により各 n で所望の形が成立します。

更新式を使って3回目まで進めます。

A₁ = 2・1 + 0 = 2
B₁ = 2・0 - 1 = -1
A₂ = 2・2 - 1 = 3
B₂ = 2・(-1) - 2 = -4
A₃ = 2・3 - 4 = 2
B₃ = 2・(-4) - 3 = -11
f⁽³⁾(x) = e²ˣ(2cos x - 11sin x)

直接、f″(x) = e²ˣ(3cos x − 4sin x) を微分しても同じ式です。元の問題の形に戻すと、n = 0 の係数は確かに (1, 0) であり、x = 0 では3回目の値は2です。更新式の両方を同じ段階の Aₙ、Bₙ から計算することが必要です。先に更新した Aₙ₊₁ を Bₙ₊₁ の式へ入れると、別の規則になってしまいます。

誤答を途中から直す

基本例題で「sin(3x) は4回微分すると sin(3x) に戻る」として、f⁽⁴⁾(x) = sin(3x) とする誤答を考えます。三角関数の種類と符号は戻りますが、内側の 3x を微分した係数を毎回忘れています。図3のように、関数の循環と係数の累積を分けて追うと、どちらが欠けたか見えます。

図3の正しい行では、係数が 1、3、9、27、81 と変わります。したがって f⁽⁴⁾(x) = 81sin(3x) です。例えば x = π/6 なら元の値は1ですが、4回目の値は81であり、誤答の1とは一致しません。ここでは角を弧度法で表しました。値が0になる点だけで比較すると両方が0になり、この誤りを見逃すこともあります。

もう1つの誤りは、最初の4行が合ったことを根拠に「以後も同じ」と結ぶことです。修正するときは、余り3の行から次の余り0の行へ移る場合まで含めて微分し、係数と符号が予想どおりになることを示します。指数関数との積では、4回後に何倍されるかを求め、その関係を微分して後の段階へ伝えます。似た見た目の式でも、周期そのものと定数倍の周期を区別します。

練習：予想と証明を分ける

次の5問では n は0以上の整数とし、三角関数の角は弧度法です。答えは指定された形で表してください。

f(x) = cos(2x) の f⁽ⁿ⁾(x) を、n を4で割った余りごとに sin(2x)、cos(2x) と2の累乗を用いて表してください。
g(x) = sin(-2x + 1) の g⁽⁵⁾(x) を sin または cos を用いて求めてください。
h(x) = e⁻ˣ sin x の h⁽⁴⁾(x) を元の h(x) の定数倍で表してください。
p(x) = eˣ cos x の p⁽⁶⁾(x) を eˣ、sin x、cos x を用いて求めてください。
u(x) = e⁻ˣ cos x について、u⁽ⁿ⁾(x) = e⁻ˣ(Cₙ cos x + Dₙ sin x) とします。初期値と Cₙ₊₁、Dₙ₊₁ の更新式を求め、任意の n で形が成り立つことを証明してください。

練習の解答

すべての実数 x で微分可能です。最初の4回をたどると、次のとおりです。

f′(x) = -2sin(2x)
f″(x) = -4cos(2x)
f⁽³⁾(x) = 8sin(2x)
f⁽⁴⁾(x) = 16cos(2x)

n = 4q + r とすると、r = 0、1、2、3 に対する答えは順に 2のn乗 × cos(2x)、-2のn乗 × sin(2x)、-2のn乗 × cos(2x)、2のn乗 × sin(2x) です。負号は累乗の外に付けます。n = 0 で元の cos(2x) に一致し、各行を微分すると係数が2倍されて次の余りの行になるので、帰納法で示せます。余り3から0への移行でも、sin の微分によって符号は正のままです。

角の導関数は -2 です。これを各段階で掛けます。

g′(x) = -2cos(-2x + 1)
g″(x) = -4sin(-2x + 1)
g⁽³⁾(x) = 8cos(-2x + 1)
g⁽⁴⁾(x) = 16sin(-2x + 1)
g⁽⁵⁾(x) = -32cos(-2x + 1)

したがって答えは -32cos(-2x + 1) です。最初の式に戻り、x = 1/2 とすると角は0です。第4次は0、第5次は -32 となり、最後の式を微分した結果と一致します。負の角の係数を各段階に含めることが符号の確認につながります。

積の両方を微分します。

h′(x) = e⁻ˣ(cos x - sin x)
h″(x) = -2e⁻ˣ cos x
h⁽³⁾(x) = 2e⁻ˣ(cos x + sin x)
h⁽⁴⁾(x) = -4e⁻ˣ sin x

よって h⁽⁴⁾(x) = -4h(x) です。最終行に元の h を戻すと一致します。e⁻ˣ の微分は -e⁻ˣ なので、その負号を各回で保持します。4回で元の三角関数に戻っても、係数は1とは限りません。

実数全体で繰り返し微分できます。順に整理すると次のようになります。

p′(x) = eˣ(cos x - sin x)
p″(x) = -2eˣ sin x
p⁽³⁾(x) = -2eˣ(sin x + cos x)
p⁽⁴⁾(x) = -4eˣ cos x
p⁽⁵⁾(x) = -4eˣ(cos x - sin x)
p⁽⁶⁾(x) = 8eˣ sin x

答えは 8eˣ sin x です。第4次が -4p なので、第6次は -4p″ でもあり、上の答えと一致します。元の関数に対して n = 0 のとき cos x の係数が1であることも、出発点を取り違えていない確認になります。

初期値は C₀ = 1、D₀ = 0 です。n = k で表示が成り立つと仮定して微分します。

u⁽ᵏ⁺¹⁾(x) = -e⁻ˣ(Cₖ cos x + Dₖ sin x)
             + e⁻ˣ(-Cₖ sin x + Dₖ cos x)
           = e⁻ˣ((-Cₖ + Dₖ)cos x + (-Cₖ - Dₖ)sin x)

よって Cₖ₊₁ = -Cₖ + Dₖ、Dₖ₊₁ = -Cₖ − Dₖ です。これらを更新式として定めると、初期値は元の関数に一致し、今の計算によって次の段階の表示も成り立ちます。帰納法で任意の n について証明できました。実際に初期値を代入すると C₁ = -1、D₁ = -1 で、元の u を直接微分した -e⁻ˣ(cos x + sin x) と一致します。

覚えておくこと

高次導関数は、前の導関数をさらに微分して定めます。
三角関数の種類と符号は4回で循環し、角の係数は毎回掛かります。
積では各因子を微分した項を足し、係数の変化も追います。
帰納法では初期段階と、k から k + 1 への移行を示します。

手が止まったときの確かめ方

符号が合わないときは、0回目から4回目までの関数部分と係数部分を別々に書きます。積で項が消えたときは、消える前の2項を残して計算し、符号まで比較します。個別指導で確かめるなら、予想した第k次の式を本人が微分し、第k + 1次の式とどの条件のもとで一致するかを言葉にしてみます。初期値と移行の両方がそろえば、数項の観察は任意の回数を支える証明に変わります。