高校数学III 媒介変数表示の微分法—変化率の比と例外の点を見分ける｜武蔵野個別指導塾

変化率の比が使える条件から、同じ点に戻る場合と両方の変化率が0の点まで、例外の点から見直す媒介変数の微分です。

よくあるのは、演習ノートで dx/dt が0なら必ず鉛直接線だと判断する場面です。たしかに縦の変化が残る場合には鉛直方向の接線が現れますが、横と縦の変化が同時に0になる場合は、その情報だけでは方向を決められません。まず2つの変化率を同じ t で計算し、0になるかを確かめてから次の式を選びます。

どのような問いに現れるか

媒介変数 t を使って x と y が別々に与えられたとき、ある t に対応する点で dy/dx を求める問いがあります。x を t について解くより先に、両方を t で微分すると計算が短くなることがあります。ただし割り算の分母が0でないことが前提です。

もう1つは、同じ座標に異なる t が対応する問いです。座標が同じでも、そこへ至る曲線の部分が異なれば傾きも異なります。点の座標だけで t を1つに決めず、与えられた範囲で元の2式を満たす t を調べます。

さらに、dx/dt が0の点の扱いを問うことがあります。dy/dt が0でなければ鉛直方向を調べられますが、両方が0なら比は0/0です。局所的に x と y の関係を書き直したり、近くの点との割線の傾きを調べたりして、個別に結論を出します。ここでは曲線の分類や第二次導関数には進みません。

変化率を同じ媒介変数でそろえる

x = f(t)、y = g(t) とし、t = a の近くで f と g は微分可能とします。f′(a) ≠ 0 で、その近くで x を独立変数とする微分可能な関数 y = F(x) として曲線を表せるとき、合成関数の微分から次が成り立ちます。

g′(a) = F′(f(a)) f′(a)
F′(f(a)) = g′(a)/f′(a)

つまり、対応する点で dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) です。図1のように、分子と分母は同じ t で評価します。f′ がその近くで連続で f′(a) ≠ 0 なら、十分近くで符号が一定なので f はそこで単調です。したがって局所的に x を逆にたどれ、上の関係を使えます。計算例ではこの条件も確認します。

図1の矢印は、t の変化から x と y の変化をそれぞれ追うことを表します。横の変化率で縦の変化率を割る順です。逆にすると dx/dy であり、両方が0でない場合でも一般に別の値です。

差商からも比の意味を見られます。h ≠ 0 で、さらに f(a+h) ≠ f(a) のとき、対応する2点を結ぶ直線の傾きは次です。

(g(a+h) - g(a))/(f(a+h) - f(a))
= {(g(a+h) - g(a))/h}/{(f(a+h) - f(a))/h}

h → 0 で分子と分母はそれぞれ g′(a)、f′(a) に近づきます。後者が0でなければ比も g′(a)/f′(a) に近づきます。差商の分母が0にならないことを確かめる手間が、公式の分母条件に隠れています。

一方 f′(a) = 0、g′(a) ≠ 0 なら、t の変化に対する横の変化は縦に比べて高次に小さくなります。近くの異なる点について Δx/Δy → 0 なので、割線の方向は鉛直に近づきます。これは dy/dx が有限値として存在するという意味ではありません。両方0ならこの議論の分母にも使えず、別の検討が必要です。

条件を使う順序にも意味があります。はじめに元の2式がその t で定義されることを確認し、次にそれぞれの微分可能性を調べます。その上で横の変化率を計算します。分母が0でなければ比を求め、最後に対応点へ戻します。この順序なら、式を整理した結果として見かけ上は代入できる値が現れても、もとの除外条件を見落としにくくなります。

また、割線の傾きは対象の点と異なる点について定義します。媒介変数が異なっても同じ座標を表す場合は、2点が一致して割線を作れないことがあります。そのような値を除いて近づけ、極限を確認します。局所的な式を使う場合も、その式を満たす点が実際に元の媒介変数で近くに現れる範囲を併記すると、片側からの接近を見失いません。

基本例題：比を作ってから点を戻す

x = t² + t、y = t³ + 2t とします。t = 1 に対応する点と、その点での dy/dx を整数または分数で求めてください。

両式は多項式なので、すべての実数 t で微分可能であり、導関数も連続です。まず対応点を求めます。

x = 1² + 1 = 2
y = 1³ + 2・1 = 3

次に t で微分します。

dx/dt = 2t + 1
dy/dt = 3t² + 2

図2のように t = 1 で横は3、縦は5の変化率です。dx/dt = 3 ≠ 0 なので近くで x を変数として扱え、比を使えます。

dy/dx = (3t² + 2)/(2t + 1)
t = 1 のとき dy/dx = 5/3

答えは点 (2, 3)、傾き 5/3 です。図2の対応点は元の2式に t = 1 を戻して得たものです。傾きの式を先に作っても、分母が0になる t = -1/2 にその式を代入してはいけません。そこで何が起こるかは元の2つの変化率に戻って調べます。

標準例題：同一点に戻る2つの値

x = t² − 1、y = t(t² − 1) とします。点 (0, 0) に対応する実数 t をすべて求め、それぞれの曲線の部分で dy/dx を整数または分数で求めてください。

両式は多項式です。まず x = 0 を解き、得た値を y に戻します。

t² - 1 = 0
t = 1 または t = -1
t = 1 のとき y = 1・(1 - 1) = 0
t = -1 のとき y = -1・(1 - 1) = 0

したがって両方とも指定の点に対応し、x = 0 の候補はこれで尽くされています。2つの微分を作ります。

dx/dt = 2t
dy/dt = 3t² - 1
dy/dx = (3t² - 1)/(2t)  （t ≠ 0）

2つの候補では分母が0でなく、導関数も連続なので比を使えます。それぞれ代入します。

t = 1 のとき dy/dx = (3 - 1)/2 = 1
t = -1 のとき dy/dx = (3 - 1)/(-2) = -1

答えは t = 1 で1、t = -1 で -1 です。点は同じでも、それぞれの t の近くにある曲線の部分は別です。点全体を1つの y = F(x) としてまとめてしまうと、この2つの傾きを区別できません。各 t の近くで別々に x を変数とする関数として扱うことが要点です。

発展例題：両方0から局所的な式へ

x = t²、y = t² + t⁴ とします。t = 0 に対応する点を求め、曲線上でその点へ近づく割線の傾きの極限を整数で求めてください。また、その点で有限の傾きを持つ接線を答えてください。

2式は多項式です。t = 0 では (x, y) = (0, 0) で、変化率を調べると次の通りです。

dx/dt = 2t
dy/dt = 2t + 4t³
t = 0 では dx/dt = 0、dy/dt = 0

したがって変化率の比に t = 0 を直接代入すると0/0になり、公式だけでは値が出ません。元の式から t² = x、t⁴ = x² なので、曲線上の関係は次です。

y = x + x²
x = t² ≧ 0

近くの曲線上の点は x > 0 から原点に近づきます。原点とその点を結ぶ割線の傾きは次です。

(y - 0)/(x - 0) = (x + x²)/x = 1 + x
lim[x→0+] (1 + x) = 1

よって求める極限は1、接線は y = x です。元の2式に戻すと y − x = t⁴、x = t² ですから、t ≠ 0 の割線の傾きは 1 + t² となり、同じ極限を得ます。ここでは両方が0でも鉛直ではありません。比を約分して得た式を端点に形式的に代入するだけでなく、割線の極限を使って端点の方向を確かめています。

誤答を直す：0の組を見分ける

「dx/dt = 0 だから鉛直接線」と書いてしまったら、dy/dt をその同じ t で調べ直します。図3のように、横の変化率が0という同じ出発点から、縦が0でない場合と0の場合に分かれます。

例えば x = s²、y = 3s では s = 0 で dx/ds = 0、dy/ds = 3 です。原点と近くの点との Δx/Δy = s/3 は0に近づき、接線は x = 0 です。元の式でも s = 0 は原点に対応します。

対して x = s²、y = 2s² では両方の変化率が s = 0 で0です。元の式から y = 2x、x ≧ 0 なので、原点に向かう割線の傾きは2です。接線は y = 2x であり、鉛直とは限りません。図3の両方0の枝は「鉛直でない」と断定する枝でもありません。例えば x = s³、y = s² では Δx/Δy = s → 0 となり、原点で鉛直方向です。0/0は答えではなく、元の式に戻る合図です。

別の誤りは、同一点を見つけた時点で1つの t だけを使うことです。元の2式と t の範囲に戻って候補を列挙し、候補ごとに分母と分子を確認すれば、異なる曲線の部分を混同せずに済みます。

練習問題

答えは整数または分数で表し、接線は x と y の式で書いてください。各媒介変数の範囲は実数全体です。

1. x = 2t + 1、y = t² − 3t のとき、t = 2 の対応点と dy/dx を求めてください。
2. x = u² + 2u、y = u³ − u のとき、u = 1 の対応点と dy/dx を求めてください。
3. x = v² − 4、y = v(v² − 4) のとき、原点に対応する v と、それぞれの曲線の部分の dy/dx を求めてください。
4. x = w²、y = 2w² + w⁴ のとき、w = 0 の点へ曲線上から近づく割線の傾きの極限と接線を求めてください。
5. x = z² + 1、y = 4z − 2 のとき、z = 0 の対応点での接線を求めてください。

練習の解答

1

両式は多項式で、dx/dt = 2 ≠ 0 です。t = 2 を元の式に戻すと x = 5、y = -2 です。

dy/dt = 2t - 3
dy/dx = (2t - 3)/2
t = 2 のとき dy/dx = 1/2

答えは (5, -2)、1/2 です。横の変化率2で縦の変化率1を割っています。

2

両式の導関数は連続です。指定値で x = 1 + 2 = 3、y = 1 − 1 = 0 と、元の2式から対応点を確かめます。

dx/du = 2u + 2
dy/du = 3u² - 1
u = 1 で dx/du = 4 ≠ 0
dy/dx = (3u² - 1)/(2u + 2)
u = 1 で dy/dx = 2/4 = 1/2

答えは (3, 0)、1/2 です。分母が0になる u = -1 にこの比をそのまま適用することはできません。

3

x = 0 から v² = 4、つまり v = 2 または v = -2 です。元の y = v(v² − 4) に戻すと、いずれも y = 0 です。候補はこの2つです。

dx/dv = 2v
dy/dv = 3v² - 4
dy/dx = (3v² - 4)/(2v)  （v ≠ 0）
v = 2 では dy/dx = 8/4 = 2
v = -2 では dy/dx = 8/(-4) = -2

両候補で dx/dv ≠ 0 です。答えは v = 2 で2、v = -2 で -2 です。

4

w = 0 は元の2式で原点に対応し、両変化率は0です。x = w² と w⁴ = x² を用いて元の曲線上の関係を作ります。

y = 2x + x²
x ≧ 0
y/x = 2 + x  （x > 0）
lim[x→0+] y/x = 2

極限は2、接線は y = 2x です。元の媒介変数でも、w ≠ 0 の割線の傾きは 2 + w² であり、同じ値に近づきます。

5

z = 0 を元の式に入れると点は (1, -2) です。両式は微分可能で、dx/dz = 2z、dy/dz = 4 ですから、この点では前者が0、後者が0でありません。

Δx = z²
Δy = 4z
Δx/Δy = z/4  （z ≠ 0）
lim[z→0] Δx/Δy = 0

割線は鉛直方向へ近づきます。したがって接線は、対応点を通る x = 1 です。dy/dx を0で割って有限の傾きとして扱わないことが判断の鍵です。

持ち帰る式

• dx/dt ≠ 0 の局所的な範囲で、dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) です。
• 同じ点に複数の t が対応するときは、各 t の近くを別々に調べます。
• dx/dt = 0 でも dy/dt ≠ 0 なら、割線の鉛直方向を調べます。
• 両方0なら、元の式や割線の極限に戻ります。

手が止まったときの見分け方

分数の形が作れたのに代入で分母が0になるなら、その点では公式の条件が外れています。分子も0かを書き、0でないなら横と縦の変化の比を逆向きに調べ、両方0なら局所的な関係式か割線に戻ります。個別指導で確かめるなら、対応点を出す2式、候補となる媒介変数、そこでの2つの変化率を順にノートに並べてみてください。どの条件で計算が止まったかが見えれば、次に調べる式も決まります。媒介変数の値ごとに曲線の方向を見極めます。